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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Sa 02.06.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | 3. Vor einem Museum befindet sich ein Pavillon, der als gläserne Pyramide mit quadratischer Grundfläche ausgeführt ist. Die Punkte A(4|2|0), B(10|-6|0) und D(12|8|0) sind Ecken der Pyramidenfläche. Die Spitze S der Pyramide befindet sich in einer Höhe h = 10m senkrecht über der Mitte der Grundfläche; die Maßeinheit ist 1m.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der vierten Ecke C der Pyramidengrundfläche und der Spitze S der Pyramide.
b) Berechnen Sie die Länge der Pyramidenkanten AB und AS.
Die Punkte A, B und S legen die Ebene [mm] $E_1$ [/mm] fest, die Punkte A, D und S die Ebene [mm] $E_2$.
[/mm]
c) Geben Sie die Gleichungen der Ebenen [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] in Parameterdarstellung an.
d) Geben Sie die Gleichungen der Schnittgeraden s der Ebenen [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] an.
e) Berechnen Sie den Winkel zwischen Schnittgerade s und der Pyramidengrundfläche. |
hallo zusammen,
könnte mir jemand bei a) und b) helfen? ich komm einfach nicht darauf.
c)
[mm] $E_1$ [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \kappa \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $E_2$ [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \kappa \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\kappa$ \in\IR
[/mm]
Die erste Zahl gibt waagerechte Position an, die zweite nach hinten in den Raum hinein und die dritte nach oben. Mit dem Ortsvektor [mm] $\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] fahre ich zum Punkt A und von dort aus mit den Richtungsvekoren in die jeweilige Richtung weiter.
d)
Die Schnittgerade s verläuft auf der Strecke AS
$s: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
e)
Der Winkel besteht zwischen den Streckne AB und AS, somit kann ich mit $cos [mm] \gamma [/mm] = [mm] \vec [/mm] A * [mm] \vec [/mm] S / [mm] |\vec [/mm] A| * [mm] |\vec [/mm] S|$
passt das so, somit muss ich nur noch die Punkte einsetzen und ausrechen, aber dazu brauche ich noch den Punkt von S, siehe a)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Sa 02.06.2007 | | Autor: | itse |
hallo zusammen,
hier einge Ergänzung, passt dies so alles? Vielen Dank im Voraus.
zu a)
[mm] $\vec [/mm] a + [mm] \vec [/mm] b = [mm] \vec [/mm] c$
[mm] $\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 10 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 14 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $0,5*\vec [/mm] a + 10 = vec s$
$0,5 [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + 10 = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 10 \end{pmatrix}$
[/mm]
zu b)
$AB = [mm] |\vec [/mm] a| + [mm] |\vec [/mm] b|$
$AB = [mm] \wurzel{20} [/mm] + [mm] \wurzel{136}$ [/mm] = 16,13 cm
$AS = [mm] 0,5*|\vec| [/mm] + [mm] 10^2$
[/mm]
$AS = 0,5* [mm] \wurzel{20} [/mm] + [mm] 10^2$
[/mm]
$AS = 0,5* [mm] \wurzel{20} [/mm] + [mm] 10^2$ [/mm] = 10,11 cm
zu e)
[mm] $\vec [/mm] a * [mm] \vec [/mm] s = 10$
Betrag von [mm] $\vec [/mm] s = [mm] \wurzel{105}$
[/mm]
$ cos [mm] \gamma [/mm] = [mm] \vec [/mm] A [mm] \cdot{} \vec [/mm] S / [mm] |\vec [/mm] A| [mm] \cdot{} |\vec [/mm] S| $
$ cos [mm] \gamma [/mm] = 10 / [mm] \wurzel{20} [/mm] * [mm] \wurzel{105} [/mm] $
$ [mm] \gamma [/mm] = 77,4°$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Sa 02.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo itse
Da sind leider viele Fehler. auch im nächsten post.
1. der Vektor von A nach D also D-A zu B addiert ergibt den Punkt C (du musst doch eine Parallele zu AD durch B haben.
2. Du brauchst den Mittelpunkt des Quadrates, darüber senkrecht ist S. Der Mittelpunkt ist in Der Mitte von AC oder von BD also M=(A+B)/2 senkrecht darüber ist S, also S=M+(0,0,1)
die Längen mit Pythagoras: Abstand des Punktes P1=(x1.y1.z1) von P2=(x2,y2,z2) ist
[mm] $d=\wurzel{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2}$
[/mm]
das wendest du auf die gegebenen Punkte an.
Deine Ebenen konntest du gar nicht angeben, ohne s zu kennen. sie sind also falsch.
E1: [mm] A+\lambda*\overrightarrow{AB}+\mu*\overrightarrow{AS} [/mm]
entsprechend E2.
Du musst doch sicher sein, dass die 2 Richtungsvektoren in der Ebene liegen, die gefragt ist.
Wenn du die Ebenen hast, kannst du sie hoffentlich schneiden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:01 So 03.06.2007 | | Autor: | itse |
hier meine neue lösung, danke für die antwort.
nur bei den ebenengleichungen und bei der geradengleichung bin ich mir nicht sicher. ich muss dies doch begrenzen? die pyramide ist ja nicht endlos lang. ansonsten könnte man mit den richtungsvektoren an einen punkt fahren, der nicht mehr in der ebene oder auf der gerade liegt.
a)
$C = [mm] \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
$S= [mm] \begin{pmatrix} 14 \\ -4 \\ 10 \end{pmatrix}$
[/mm]
b)
da konnte ich mit deiner Formel nichts anfangen -> $ [mm] d=\wurzel{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2} [/mm] $
c)
[mm] $E_1: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $E_2: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
somit bin ich durch den ortsvektor beim Punkt A, nun möchte ich bei durch die richtungsvektoren in der ebene hin- und herfahren können. also (1|0|0) somit nach links und rechts, (0|0|1) somit nach oben und unten, bei [mm] $E_2$ [/mm] (0|1|0) somit kann man nach hinten fahren und vorne fahren und durch (0|0|1) nach oben und unten.
d)
$s: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
durch den ortsvektor wieder an Punkt A und durch (0|0|1) kann ich entlang an der Schnittgerade fahren
e)
[mm] $\gamma [/mm] = 52,58°$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:33 So 03.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Dein Punkt M scheint mir nicht richtig zu sein.
Du hast Punkt A und C. Da kann die x-Koordinate für M wohl nicht 14 sein (sie muss ja in der Mitte liegen).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:55 So 03.06.2007 | | Autor: | itse |
hallo,
danke für den hinweis, hab vergessen durch 2 zu teilen
$s: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix}$
[/mm]
somit ergibt sich für den winkel der wert [mm] $\gamma [/mm] = 64,29°$
jetzt müsste es stimmen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 So 03.06.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Itse,
> hier meine neue lösung, danke für die antwort.
>
>
> nur bei den ebenengleichungen und bei der geradengleichung
> bin ich mir nicht sicher. ich muss dies doch begrenzen? die
> pyramide ist ja nicht endlos lang. ansonsten könnte man mit
> den richtungsvektoren an einen punkt fahren, der nicht mehr
> in der ebene oder auf der gerade liegt.
>
>
> a)
>
> [mm]C = \begin{pmatrix} 18 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]S= \begin{pmatrix} 14 \\ -4 \\ 10 \end{pmatrix}[/mm]
Hier hat sich Leduart leider vertan. S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche, das ist aber der Schnittpunkt der Diagonalen, bzw. der Mittelpunkt der Diagonalen AD oder BD.
Du erhälst dann S(11;1;10). Bitte überprüfen.
>
>
> b)
>
> da konnte ich mit deiner Formel nichts anfangen ->
> [mm]d=\wurzel{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2}[/mm]
Wie habt ihr denn im Unterricht die Länge eines Vektors bzw. einer Strecke berechnet?
Auf die Kante AB bezogen, sagt die Formel:
[mm]d=\wurzel{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}[/mm]
>
>
> c)
>
> [mm]E_1: \vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]E_2: \vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> somit bin ich durch den ortsvektor beim Punkt A, nun möchte
> ich bei durch die richtungsvektoren in der ebene hin- und
> herfahren können. also (1|0|0) somit nach links und rechts,
> (0|0|1) somit nach oben und unten, bei [mm]E_2[/mm] (0|1|0) somit
> kann man nach hinten fahren und vorne fahren und durch
> (0|0|1) nach oben und unten.
Die Richtungsvektoren sind leider falsch. Als Richtungsvektoren nimmst du zwei Verbindungsvektoren der Punkte, also für die erste Ebene z.B.
$ [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] $ und $ [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] $
>
>
> d)
>
> [mm]s: \vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> durch den ortsvektor wieder an Punkt A und durch (0|0|1)
> kann ich entlang an der Schnittgerade fahren
Zeichne dir mal die Pyramide auf, dann siehst du, welche Kante zu beiden Ebenen gehört. Diese nimmst du dann als Richtungsvektor der Schnittgeraden.
Gruß
Sigrid
>
>
> e)
>
> [mm]\gamma = 52,58°[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 So 03.06.2007 | | Autor: | itse |
> > [mm]S= \begin{pmatrix} 14 \\ -4 \\ 10 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Hier hat sich Leduart leider vertan. S liegt senkrecht über
> dem Mittelpunkt der Grundfläche, das ist aber der
> Schnittpunkt der Diagonalen, bzw. der Mittelpunkt der
> Diagonalen AD oder BD.
>
> Du erhälst dann S(11;1;10). Bitte überprüfen.
wie kommst du auf (11|1|10)?
> > b)
> >
> > da konnte ich mit deiner Formel nichts anfangen ->
> > [mm]d=\wurzel{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2}[/mm]
>
> Wie habt ihr denn im Unterricht die Länge eines Vektors
> bzw. einer Strecke berechnet?
> Auf die Kante AB bezogen, sagt die Formel:
>
> [mm]d=\wurzel{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}[/mm]
die gleiche Formel, hat nur etwas anders ausgesehen.
Länge $ [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \wurzel{100} [/mm] = 10 m$
Länge $ [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] = [mm] \wurzel{150} [/mm] = 12,25 m$
> > c)
> Die Richtungsvektoren sind leider falsch. Als
> Richtungsvektoren nimmst du zwei Verbindungsvektoren der
> Punkte, also für die erste Ebene z.B.
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AS}[/mm]
[mm] $E_1: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 6 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 10 \end{pmatrix}$
[/mm]
Bei der Ebene E1 hab ich ja AB und AS, B-A und S-A
[mm] $E_2: \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+ \lambda \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 10 \end{pmatrix}$
[/mm]
Bei der Ebene E2 hab ich ja AD und AS, D-A und S-A
> > d)
> Zeichne dir mal die Pyramide auf, dann siehst du, welche
> Kante zu beiden Ebenen gehört. Diese nimmst du dann als
> Richtungsvektor der Schnittgeraden.
AS ist die Schnittgerade zwischne E1 und E2, somit $ s: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 10 \end{pmatrix} [/mm] $
> > e)
durch den neuen Punkt von S ergibt sich ein Winkel zwischen s und AB von 67,09°, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 So 03.06.2007 | | Autor: | riwe |
da sind meiner ansicht nach zu viele fehler drinnen
ich stelle dir mal meine (hoffentlich richtigen) ergebnisse rein zu deiner orientierung:
[mm] \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AD}\to [/mm] C(18/0/0)
[mm]\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\to M(11/1/0)\to S(11/1/10)[/mm]
[mm]|AB|=10[/mm] und [mm]|AS|=5\sqrt{6}[/mm]
[mm] E_{ABS}: \vec{x}=\vektor{11\\1\\10}+s\vektor{3\\-4\\0}+t\vektor{7\\-1\\10}
[/mm]
[mm] E_{ADS}: \vec{x}=\vektor{11\\1\\10}+s\vektor{4\\3\\0}+t\vektor{7\\-1\\10}
[/mm]
für die ebenen habe ich einfach die bereits bekannten vektoren gewählt.
da gibt es natürlich zahllose andere parameterdarstellungen.
g: [mm] \vec{x}=\vektor{11\\1\\10}+t\vektor{7\\-1\\10}
[/mm]
[mm] sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{6}}\to \alpha=54.74°
[/mm]
und dazu ein bilderl
viel spaß beim nachrechnen
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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