Pyramide max. Volumen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Aus einer Kugel soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen geschnitten
werden. |
[Hallo, Habe jetzt doch noch eine ähnliche Aufgabe hier gefunden, also versuch ichs damit erstmal]
[...]
Und wem gerade langweilig ist, der könnte mir ne Idee zu dieser Aufgabe sagen:
| Aufgabe 2 | | Welche senkrechte, regelmäßige Pyramide mit einem Quadrat der Seitenlänge a als Grundfläche und der Seitenkante s hat den größten Rauminhalt? |
Ansatz: [mm] V_{P}=\bruch{1}{3}*G*h=\bruch{1}{3}*a^2*h
[/mm]
Da dachte ich man könnte h mit dem Satz des Phythagoras herausfinden, aber da die eine Seite des Dreiecks auf der Diagonalen liegt, bin ich mir nicht sicher, wie lang diese Seite dann ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Di 10.10.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Laura,
> Aus einer Kugel soll ein Zylinder mit möglichst großem
> Volumen geschnitten
> werden.
Wenn du dir einen Schnitt mitten durch die Kugel mit einbeschriebenen Zylinder, senkrecht zur Grundfläche machst, dann erhälst du eine Kreis mit einbeschribenen Rachteck. Mit hilfe des Pythagoras kannst du jetzt einen Zusammenhang zwischen dem Durchmesser der Kugelm der Höhe des Zylinders und dem Durchmesser der Grundfläche des Zylinders herstellen. Siehst du das? Damit bekommst du eine Nebenbedingung.
>
> [Hallo, Habe jetzt doch noch eine ähnliche Aufgabe hier
> gefunden, also versuch ichs damit erstmal]
>
> [...]
> Und wem gerade langweilig ist, der könnte mir ne Idee zu
> dieser Aufgabe sagen:
>
> Welche senkrechte, regelmäßige Pyramide mit einem Quadrat
> der Seitenlänge a als Grundfläche und der Seitenkante s hat
> den größten Rauminhalt?
>
> Ansatz: [mm]V_{P}=\bruch{1}{3}*G*h=\bruch{1}{3}*a^2*h[/mm]
>
> Da dachte ich man könnte h mit dem Satz des Phythagoras
> herausfinden, aber da die eine Seite des Dreiecks auf der
> Diagonalen liegt, bin ich mir nicht sicher, wie lang diese
> Seite dann ist...
>
Deine Überlegungen sind völlig richtig. Die Länge der Diagonalen kannst du jetzt mit Hilfe der Quadratseite a ausdrücken: $ [mm] a^2 [/mm] + [mm] a^2 [/mm] = [mm] d^2 [/mm] $
Vielleicht hilft dir das schon. Sonst melde dich.
Gruß
Sigrid
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Danke schon mal für deine Antwort :)
Kannst du vielleicht mal gucken, ob ich die Zylinderaufgabe so richtig gelöst habe?:
Satz des Phythagoras:
[mm] r_{z}^2 [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2} h_{z})^2=r_{k}^2
[/mm]
[mm] r_{z}^2 [/mm] = [mm] r_{k}^2 [/mm] - [mm] (\bruch{1}{2} h_{z})^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] V_{z}= \pi*( r_{k}^2 [/mm] - [mm] (\bruch{1}{2} h_{z})^2)*h
[/mm]
= [mm] \pi*( r_{k}^2 [/mm] - [mm] (\bruch{1}{4} h_{z})^2)*h
[/mm]
= [mm] r_{k}^2 \pih- \bruch{1}{4} h_{z})^3 \pi
[/mm]
1. Ableitung
[mm] V_{z}= \pi r_{2}^2- \bruch{3}{4}\pi*h_{z}=0
[/mm]
ist das so richtig?
= [mm] \wurzel{\bruch{3}{4}}*h [/mm] = r
Achja, und warum kann ich eigentlich einfach so einen Längsschnitt machen? Das ganze wird ja dann eindimensional und irgendwie versteh ich nicht, warum dass dann auf den ganzen Zylinder zutrifft... :-/
Jetzt noch zu der Pyramide  .:
[mm] V_{P}=\bruch{1}{3}*a^2*h
[/mm]
d=2a
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}d=a
[/mm]
[mm] a^2+h^2=s^2
[/mm]
[mm] h^2=s^2-a^2
[/mm]
h=s-a
[mm] \Rightarrow V_{P}= \bruch{1}{3}*a^2*(s-a)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}*a^2s [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*a^3
[/mm]
V'_{P}= [mm] \bruch{2}{3}a- a^2
[/mm]
a= 0 oder a= [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
V"{P}= a- [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
V"{0}= - [mm] \bruch{2}{3} [/mm]
V"{ [mm] \bruch{2}{3}}= [/mm] 0??
Irgendwie hab ich mich da wohl vertan... Was passiert eigentlich mit dem s? Hätte ich es nach s umstellen müssen? oder wie bestimm ich s?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mi 11.10.2006 | | Autor: | SLe |
Zum Zylinder:
Ich krieg für das Volumen des Zylinders raus:
[mm] \pi*r²*h [/mm] - [mm] 1/4*h³*\pi
[/mm]
Als Ableitung dann:
[mm] \pi*r² [/mm] - [mm] 3/4*h²*\pi [/mm] = 0
daraus krieg ich dann:
h = [mm] r*2/\wurzel{3}
[/mm]
Dein Ergebnis stimmt ja dann wieder. Vielleicht nur Probleme mit der Darstellung.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Laura,
> Danke schon mal für deine Antwort :)
> Kannst du vielleicht mal gucken, ob ich die
> Zylinderaufgabe so richtig gelöst habe?:
> Satz des Phythagoras:
In der Rechnung sind noch ein paar Fehler. Das meiste sind aber wohl Schreibfehler. Ich korrigiere in deiner Rechnung:
>
> [mm]r_{z}^2[/mm] + [mm](\bruch{1}{2} h_{z})^2=r_{k}^2[/mm]
> [mm]r_{z}^2[/mm] = [mm]r_{k}^2[/mm]
> - [mm](\bruch{1}{2} h_{z})^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]V_{z}= \pi*( r_{k}^2[/mm] - [mm](\bruch{1}{2} h_{z})^2)*h_z[/mm]
> = [mm]\pi*( r_{k}^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{4} h_{z}^2)*h_z [/mm]
> = [mm]r_{k}^2 \pi \cdot h_z- \bruch{1}{4} h_{z}^3 \pi[/mm]
>
> 1. Ableitung
>
> [mm]V_{z}'= \pi r_{k}^2- \bruch{3}{4}\pi*h_{z}^2=0[/mm]
>
> ist das so richtig?
> = [mm]\wurzel{\bruch{3}{4}}*h[/mm] = r
Vorsicht. Du musst die Gleichung nach [mm] h_z [/mm] lösen, der Radius der Kugel ist ja gegeben.
>
>
> Achja, und warum kann ich eigentlich einfach so einen
> Längsschnitt machen? Das ganze wird ja dann eindimensional
zweidimensional
> und irgendwie versteh ich nicht, warum dass dann auf den
> ganzen Zylinder zutrifft... :-/
Wichtig ist, dass du aus dem Schnitt einen Zusammenhang zwischen die Zyklindergrößen und dem gegebenen Kugelradius findest und das funktioniert ja.
>
> Jetzt noch zu der Pyramide .:
>
> [mm]V_{P}=\bruch{1}{3}*a^2*h[/mm]
> d=2a
Das stimmt leider nicht. Es gilt
$d = a [mm] \cdot \wurzel{2} [/mm] $
Siehst du, warum?
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}d=a[/mm]
> [mm]a^2+h^2=s^2[/mm]
Auch hier stimmt was nicht. Das rechtwinklige Dreieck wird gebildet aus h, d und s.
Da musst du noch mal neu rechnen.
Gruß
Sigrid
> [mm]h^2=s^2-a^2[/mm]
> h=s-a
> [mm]\Rightarrow V_{P}= \bruch{1}{3}*a^2*(s-a)[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{3}*a^2s[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}*a^3[/mm]
> V'_{P}= [mm]\bruch{2}{3}a- a^2[/mm]
>
> a= 0 oder a= [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> V"{P}= a- [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
> V"{0}= - [mm]\bruch{2}{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> V"{ [mm]\bruch{2}{3}}=[/mm] 0??
>
> Irgendwie hab ich mich da wohl vertan... Was passiert
> eigentlich mit dem s? Hätte ich es nach s umstellen müssen?
> oder wie bestimm ich s?
>
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Hi,
da es von Hand schneller geht, hier der nächste Versuch:
![[]](/images/popup.gif) hie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Do 12.10.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Laura,
> Hi,
> da es von Hand schneller geht, hier der nächste Versuch:
>
> hie
Zur Pyramide:
Leider steckt da noch ein Fehler im Ansatz. Zeichne dir einmal einen Schnitt durch die Pyramide, der durch die Spitze und zwei gegenübeliegende Eckpunkte der Grundfläche geht. Du erhälst dann ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis d und den Schenkeln s. Dieses Dreieck wird durch die Pyramidenhöhe h in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt. In diesen Dreiecken sind h und $ [mm] \bruch{d}{2} [/mm] $ die Katheten und s die Hypotenuse.
Jetzt bist du wieder dran.
Zum Zylinder:
Für die Höhe [mm] h_z [/mm] erhälst du im nächsten Schritt:
$ [mm] h_z [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{4}{3}\ r_k^2} [/mm] = [mm] \bruch{2\ r_k}{\wurzel{3}} [/mm] $.
Jetzt prüfst du noch, ob es sich tatsächlich um eine Maximum handelt (hinreichende Bedingung).
Dann setzt du diesen Wert in die Zielfunktion ein und erhälst das maximale Volumen in Abhängigkeit von [mm] r_k.
[/mm]
Bei Einsetzen in die Nebenbedingung erhälst du die Höhe des maximalen Zylinders.
Gruß
Sigrid
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So, danke für deine Geduld .
Hab es jetzt nochmal versucht... Verzweifel langsam echt. :-/
Ich hoffe man kanns einigermaßen lesen. Sonst schreib ichs später nochmal ab.
hier
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Sa 14.10.2006 | | Autor: | Laura1988 |
Ich glaubs nicht! Das hab ich jetzt auch raus :) .
Ich schreib meinen Rechenweg später mal ganz auf. Wäre nett, wenn du den dann nochmal kurz überfliegen könntest.
Vielen vielen Dank :)
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![[]](http://laura.ja-nee.de/Pyramide.JPG){kind=small}
hie![[]](http://laura.ja-nee.de/Pyramide20001.JPG){kind=small}
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