Q-lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gibt es eine [mm] \IQ-lineare [/mm] Abb. f: [mm] \IQ^2 \rightarrow \IQ^3 [/mm] und drei Vektoren v1, v2, v3 [mm] \in \IQ^2, [/mm] die
f(v1)= [mm] \vektor{1 \\ 0\\0}, [/mm] f(v2)= [mm] \vektor{0 \\ 1\\0}, [/mm] f(v3)= [mm] \vektor{0 \\ 0\\1}
[/mm]
erfülllen? Geben sie ein Bsp. an, oder beweisen sie die Nichtexistenz. |
Hallo,
so ich habe mal nachgedacht und würde sagen, eine solche Abb. gibt es nicht. Denn wenn ich mir eine entsprechende Abbildungsmatrix vorstelle, dann handelt es sich dabei um eine 3x2-Matrix. und wenn ich dann ein LGS erstelle, dann bekomme ich mit den Vektoren [mm] v_{i} [/mm] zu viele Unbekannte für die Anzahl der Gleichungen. Ich bin mir dabei aber nicht sicher, ob das so richtig ist. Wenn da mal jemand bitte etwas zu sagen könnte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mo 04.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gibt es eine [mm]\IQ-lineare[/mm] Abb. f: [mm]\IQ^2 \rightarrow \IQ^3[/mm]
> und drei Vektoren v1, v2, v3 [mm]\in \IQ^2,[/mm] die
>
> f(v1)= [mm]\vektor{1 \\ 0\\0},[/mm] f(v2)= [mm]\vektor{0 \\ 1\\0},[/mm]
> f(v3)= [mm]\vektor{0 \\ 0\\1}[/mm]
>
> erfülllen? Geben sie ein Bsp. an, oder beweisen sie die
> Nichtexistenz.
> Hallo,
>
> so ich habe mal nachgedacht und würde sagen, eine solche
> Abb. gibt es nicht. Denn wenn ich mir eine entsprechende
> Abbildungsmatrix vorstelle, dann handelt es sich dabei um
> eine 3x2-Matrix. und wenn ich dann ein LGS erstelle, dann
> bekomme ich mit den Vektoren [mm]v_{i}[/mm] zu viele Unbekannte für
> die Anzahl der Gleichungen. Ich bin mir dabei aber nicht
> sicher, ob das so richtig ist. Wenn da mal jemand bitte
> etwas zu sagen könnte...
Nimm an, eine solche Abb. würde existieren. Zeige: unter dieser Annahme sind die Vektoren [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] linear unabhängig.
Das kann aber nicht sein (warum ?)
FRED
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ok, die annahme hatte ich auch schon formuliert (stolz wie Oskar :) ), nur war mir nicht klar wo der widerspruch herkommen soll. Danke für den Tipp. :)
habe mir dann überlegt, es giltfür lin. Abb.: f(0)=0
so dann mal [mm] \lambda_1 f(v_1) [/mm] + [mm] \lambda_2 f(v_2) [/mm] + [mm] \lambda_3 f(v_3)=0 [/mm] aufgestellt und nach kurzer Rechnung stellt man fest: [mm] \lambda_i [/mm] =0
und weil die abb ja lin sein soll, kann ich jetzt umschreiben:
[mm] \lambda_1 f(v_1) [/mm] + [mm] \lambda_2 f(v_2) [/mm] + [mm] \lambda_3 f(v_3)=f(\lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 v_3)=0=f(0) [/mm] mit [mm] \lambda_i [/mm] =0 [mm] \Rightarrow v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] , [mm] v_3 [/mm] lin. unabh. und das steht im Widerspruch dazu, dass drei Vektoren aus [mm] \IQ^2 [/mm] immer lin abh. sein müssen.
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Mo 04.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> ok, die annahme hatte ich auch schon formuliert (stolz wie
> Oskar :) ), nur war mir nicht klar wo der widerspruch
> herkommen soll. Danke für den Tipp. :)
>
> habe mir dann überlegt, es giltfür lin. Abb.: f(0)=0
>
> so dann mal [mm]\lambda_1 f(v_1)[/mm] + [mm]\lambda_2 f(v_2)[/mm] + [mm]\lambda_3 f(v_3)=0[/mm]
> aufgestellt und nach kurzer Rechnung stellt man fest:
> [mm]\lambda_i[/mm] =0
> und weil die abb ja lin sein soll, kann ich jetzt
> umschreiben:
>
> [mm]\lambda_1 f(v_1)[/mm] + [mm]\lambda_2 f(v_2)[/mm] + [mm]\lambda_3 f(v_3)=f(\lambda_1 v_1[/mm]
> + [mm]\lambda_2 v_2[/mm] + [mm]\lambda_3 v_3)=0=f(0)[/mm] mit [mm]\lambda_i[/mm] =0
> [mm]\Rightarrow v_1[/mm] , [mm]v_2[/mm] , [mm]v_3[/mm] lin. unabh. und das steht im
> Widerspruch dazu, dass drei Vektoren aus [mm]\IQ^2[/mm] immer lin
> abh. sein müssen.
>
> Stimmt das so?
Nein. Seien [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \IQ [/mm] und sei
[mm] \lambda_1v_1+ \lambda_2v_2+ \lambda_3v_3=0
[/mm]
Jetzt mußt Du zeigen: [mm] \lambda_1= \lambda_2= \lambda_3=0
[/mm]
FRED
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ich vermute mal die Strategie des Beweises habe ich verstanden nur falsch notiert, oder?
Neuer Versuch:
> Seien [mm]\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \IQ[/mm] und
> sei
>
> [mm]\lambda_1v_1+ \lambda_2v_2+ \lambda_3v_3=0[/mm]
es gilt kern [mm] \phi= [/mm] 0
also [mm] f(\lambda_1 v_1 +\lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3)=f(0)=0=\lambda_1 f(v_1)+\lambda_2 f(v_2)+\lambda_3 f(v_3)=0 \gdw \lambda_i=0
[/mm]
Dann wären aber auch [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] lin. unabh. und das kann nicht sein, weil drei Vektoren aus [mm] \IQ^2 [/mm] immer lin. abh. sind.
Besser?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Mo 04.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> ich vermute mal die Strategie des Beweises habe ich
> verstanden nur falsch notiert, oder?
>
> Neuer Versuch:
>
> > Seien [mm]\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \IQ[/mm] und
> > sei
> >
> > [mm]\lambda_1v_1+ \lambda_2v_2+ \lambda_3v_3=0[/mm]
>
> es gilt kern [mm]\phi=[/mm] 0
Hä ? Was soll das ?
>
> also [mm]f(\lambda_1 v_1 +\lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3)=f(0)=0=\lambda_1 f(v_1)+\lambda_2 f(v_2)+\lambda_3 f(v_3)=0 \gdw \lambda_i=0[/mm]
>
> Dann wären aber auch [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] lin. unabh. und das kann
> nicht sein, weil drei Vektoren aus [mm]\IQ^2[/mm] immer lin. abh.
> sind.
>
> Besser?
Ja
FRED
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Ich dachte, [mm] ker(\phi)=0 [/mm] brauche ich, um f(0)=0 setzen zu können.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mo 04.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich dachte, [mm]ker(\phi)=0[/mm] brauche ich, um f(0)=0 setzen zu
> können.
Was hat [mm] \phi [/mm] mit f zu tun ?
Für eine lineare Abbildung f gilt immer (!): f(0)=0.
Da gibts nichts zu setzen.
FRED
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Oh sorry, ich hatte da einen tippfehler, ich meinte natürlich kern(f)=0, also f(0)=0. Das hatte ich an der Stelle gemeint.
vielen Dank.
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> ich meinte
> natürlich kern(f)=0, also f(0)=0
Hallo,
irgendwie gibt's bei Dir ein Mißverständnis in Bezug auf den Kern.
Wie schon erwähnt: wenn f linear ist, ist grundsätzlich f(0)=0. Es ist dabei völlig schnuppe, ob der Kern nur aus der Null besteht oder größer ist.
Wenn Du "Kern(f)=0" verwendest, müßtest Du erstmal zeigen, daß diese Aussage überhaupt stimmt. Aber wofür? Du brauchst sie bei Deiner Argumentation nicht.
LG Angela
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