Q als Z-Modul < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] \IQ [/mm] als [mm] \IZ-Modul [/mm] nicht endlich erzeugt und nicht frei ist. |
Hi zusammen!
Bin wieder mal über einer Algebra-Aufgabe...
Also mein Ansatz:
[mm] \IZ [/mm] x [mm] \IQ \to \IQ
[/mm]
[mm] (r,\bruch{a}{b}) \mapsto \bruch{ra}{b}
[/mm]
also [mm] r*\bruch{a}{b}=\underbrace{\bruch{a}{b}+...+\bruch{a}{b}}_{r mal}=\bruch{ra}{b}
[/mm]
Nun kommen aber die Schwierigkeiten:
also [mm] \IQ [/mm] ist als [mm] \IZ-Modul [/mm] nicht endlich erzeugt, das kann ich ja folgern, wenn [mm] \IQ [/mm] nicht frei ist, dann hat es ja gar keine Basis, also auch keine endliche, oder?
Sonst habe ich noch daran gedacht, dass [mm] \IZ [/mm] die 1 enthält, aber das wäre eher ein Argument für die Unendlichkeit von [mm] \IQ [/mm] und dann überlege ich noch, ob man das ganze begründen kann, weil [mm] \IQ [/mm] ein Körper ist und deshalb kein Torsionselement ausser Null hat.
Bin ich da auf dem Holzweg? Oder könnte mir jemand einen Tipp geben?
Dann muss ich auch noch zeigen, dass [mm] \IQ [/mm] frei ist, also [mm] \IQ [/mm] besitzt keine Basis. Da bin ich etwas einfallsloser...
Wäre sehr froh um Unterstützung! Vielen lieben Dank..
Ersti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Do 15.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> also [mm]\IQ[/mm] ist als [mm]\IZ-Modul[/mm] nicht endlich erzeugt, das kann
> ich ja folgern, wenn [mm]\IQ[/mm] nicht frei ist, dann hat es ja gar
> keine Basis, also auch keine endliche, oder?
nein, dass kann man nicht. es gibt durchaus moduln, die ein (endliches) erzeugendensystem besitzen, welches aber nicht linear unabhängig ist, sie sind also nicht frei, dennoch endlich erzeugt. betrachte etwa [mm] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ [/mm] als [mm] $\mathbb{Z}$-modul: [/mm] hat dieser ein endliches erzeugendensystem? ist er frei?
> Sonst habe ich noch daran gedacht, dass [mm]\IZ[/mm] die 1 enthält,
> aber das wäre eher ein Argument für die Unendlichkeit von
> [mm]\IQ[/mm] und dann überlege ich noch, ob man das ganze begründen
> kann, weil [mm]\IQ[/mm] ein Körper ist und deshalb kein
> Torsionselement ausser Null hat.
> Bin ich da auf dem Holzweg?
ich glaube mit torsion kommt man hier nicht weiter. aber überlege dir mal, wenn du ein endliches erzeugendensystem [mm] $(\frac{a_1}{b_1}, [/mm] ..., [mm] \frac{a_n}{b_n})$ [/mm] hättest, könntest du dann auch [mm] $\frac{1}{2\prod_{i=1}^nb_n}$ [/mm] erzeugen? mach' dir das am besten mal an ein paar beispielen für $n = 1$ oder $n =2$ klar...
grüße
andreas
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