Quader < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Delia00 |
Hallo Zusammen,
ich komm leider bei folgender Aufgabe überhaupt nicht weiter. Wir hatten auch bisher nicht das Thema "Extremwertaufgaben" behandelt. Kann mir da bitte jemand weiter helfen.
Verpackungsform: Quader
Die Summe aus Länge, Breite und Höhe des Pakets darf nur 180 cm
betragen. Welche Maße muss der Karton haben, damit möglichst viel verstaut werden kann?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Sa 20.11.2010 | | Autor: | moody |
Guten abend,
wie weit bist du mit denn mit der Aufgabe gekommen? Du hast als Hauptbedingung dass das Volumen des Quaders maximal werden soll.
Das bedeutet ja dass du diese Bedingung als Funktion schreiben kannst und diese dann ableitest und die Extrema bestimmst.
Da du ja einige Variablen hast ist es natürlich hilfreich diese anders auszudrücken. Als Nebenbedingung hast du das der die Summe von Länge, Breite und Höhe 180cm betragen soll.
Kommst du nun etwas weiter?
lg moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Delia00 |
Genau das Gleiche meinte mein Bruder auch. Leider hatten wir diese Art von Vorgehensweise leider noch nicht im Unterricht.
Geht es auch ohne diese Vorgehensweise??
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Hallo Delia,
es wäre praktisch, wenn Du in Deinem Benutzerprofil Deine Klassenstufe einigermaßen angeben könntest (so genau ist die Einteilung ja gar nicht). Dann ist es leichter zu überblicken, was Ihr womöglich schon hattet und was nicht.
Die meisten solcher Aufgaben setzen voraus, dass man so eine Funktion bestimmt und dann ermittelt, wo sie ihren höchsten Wert hat. Dazu gibt es einige mathematische Werkzeuge, von denen die meisten aber erst in der gymnasialen Oberstufe behandelt werden. In der Mittelstufe geht das nur bei quadratischen Funktionen über die Bestimmung des Scheitelpunktes einer Parabel.
Die liegt hier aber nicht vor. Die Aufgabe verlangt also eher eine Übertragung von einer Erkenntnis in zwei Dimenision (in der Ebene) auf eine in drei Dimensionen (im Raum).
Weißt Du, welche Kantenlängen ein Rechteck haben muss, damit seine Fläche so groß wie möglich ist, wenn alle vier Kanten zusammen 40cm lang sind?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 So 21.11.2010 | | Autor: | Delia00 |
Ist folgende Begründung zu der Aufgabe richtig??
Also der Boden soll eine quadratische Grundfläche haben, d.h. Länge=Breite
Und die Summe aus Länge, Breite und Höhe darf nur 180cm betragen.
Daraus folgt dann doch, dass die Maße jeweils 60cm betragen dürfen, um so viel wie möglich zu verstauen.
Ist diese Begrüdung richtig??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 So 21.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ist folgende Begründung zu der Aufgabe richtig??
>
> Also der Boden soll eine quadratische Grundfläche haben,
> d.h. Länge=Breite
Ah, das ist eine Zusatzinfo, die die Aufgabe eindeutig lösbar macht.
>
> Und die Summe aus Länge, Breite und Höhe darf nur 180cm
> betragen.
Das ist dann die Nebenbedingung.
>
> Daraus folgt dann doch, dass die Maße jeweils 60cm
> betragen dürfen, um so viel wie möglich zu verstauen.
>
> Ist diese Begrüdung richtig??
Das Ergebnis stimmt, aber die Begründung nicht.
Dazu mal folgendes.
Du hast einen Quader mit quadratischer Grundfläche, die Seitenlänge nenne ich mal a und der Höhe h.
Also gilt:
[mm] V(a,h)=a^{2}*h.
[/mm]
Jetzt kommt die Nebenbedingung ins Spiel:
Es gilt 2a+h=180, also h=180-2a
Das kannst du jetzt mal in die Volumenformel einsetzen, so dass sich
[mm] V(a)=a^{2}*(180-a) [/mm] ergibt.
Und von dieser - nur noch von a abhängenden - Volumenfunktion kannst du jetzt mal das Maximum bestimmen. Denke daran, auch die notwendige Bedingung zu überprüfen.
Hast du den Wert für a, bei dem V(a) maximal wird, kannst du noch die höhe h bestimmen und das konkrete Volumen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 So 21.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Marius,
das Problem ist ja, das Extremwertaufgaben noch gar nicht behandelt wurden. Das Maximum einer Funktion dritten Grades ist dann schwer zu finden, wenn überhaupt.
Hier wird man wohl nur argumentieren können, dass die Lösung symmetrisch sein muss, wie in zwei Dimensionen auch. Beweisen kann man es dann wohl noch nicht.
Trotzdem ist mir die Begründung auch zu dünn.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 So 21.11.2010 | | Autor: | Delia00 |
Ist es möglich, die Aufgabe auch ohne die Vorgehensweise bei Extremwertaufgaben zu lösen??
Begriffe wie Ableitung und Maximum und so haben wir bisher noch nicht behandelt
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Hallo Delia,
Du kannst erst einmal aufgrund der Analogie zum ebenen Problem (Lösung: Quadrat) hier die Lösung wohl ein Würfel sein wird. Die Kantenlänge ist dann a=60cm.
Wenn Du zeigen kannst, dass für beliebiges [mm] s,t\in\IR [/mm] folgendes gilt:
[mm] (a-s-t)(a+s)(a+t)
...dann bist Du fertig und hast alles gezeigt, was zu zeigen ist.
Versuchs mal.
Achte aber darauf, dass sowohl s als auch t positiv oder negativ oder Null sein können. Wenn beide Null sind (und nur dann) ist das Kleiner-Zeichen falsch an dieser Stelle. Dann sind nämlich beide Seiten gleich.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 So 21.11.2010 | | Autor: | Delia00 |
Darf ich noch fragen, wie du auf diese Ungleichung gekommen bist??
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> Darf ich noch fragen, wie du auf diese Ungleichung gekommen
> bist??
Klar. Die Summe der drei Kantenlängen muss 3a sein, aber so kann jede beliebige Aufteilung dargestellt werden. Und ich will ja zeigen, dass jede andere Aufteilung als die in drei gleiche Teile zu einem kleineren Volumen führt. Das ist der Ansatz.
Übrigens ist die Ungleichung "symmetrisch" in s und t, das heißt, man kann die beiden auch vertauschen, ohne dass sich etwas ändert. Daher brauchst Du z.B. nicht die beiden Fälle s<0,t>0 und s>0,t<0 zu untersuchen, einer reicht.
Damit sind folgende Fälle zu unterscheiden:
1) s<0,t<0
2) s<0,t>0
3) s>0,t>0
4) s=0,t<0
5) s=0,t>0
Das sieht nach viel aus, ist aber gar nicht so schlimm. Wenn Du es erstmal allgemein ausgerechnet hast, fällt ja schon viel weg, und der Rest ist einigermaßen übersichtlich. Je nachdem, wie Du ausklammerst, kann aber noch die Unterscheidung |s|<|t| und |s|>|t| stellenweise nötig werden, bzw. die Frage, ob s-t größer oder kleiner als Null ist. Oder gleich.
Viel Erfolg,
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 So 21.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Ist es möglich, die Aufgabe auch ohne die Vorgehensweise
> bei Extremwertaufgaben zu lösen??
>
> Begriffe wie Ableitung und Maximum und so haben wir bisher
> noch nicht behandelt
Hallo Delia00,
wohnst du in einem Bundesland, in dem der grafikfähige Taschenrechner ein Standardwerkzeug des Mathematikunterrichts ist?
Dann ist diese Aufgabe ohne Ableitungen leicht lösbar...
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 So 21.11.2010 | | Autor: | Delia00 |
wir dürfen leider keinen GTR benutzen. Ich werd es aber mal mit den hilfreichen Tipps von reverend probieren.
Danke
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