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| Aufgabe 1 | Aufgabe 03.: Größter Wert- kleinster Wert einer quadratischen Funktion
Begründe: Der Graph einer jeden quadratischen Funktion f mit y=ax²+bx+c (a ungleich 0) hat einen Scheitelpunkt,also einen Punkt mit dem größten bzw. kleinsten Funktionswert von f, je nachdem ob a größer od. kleiner als 0 gilt.Gehe von der Normalparabel aus. |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 04.: Extremstelle und Extremwert einer quadratischen Funktion
An der Südseite einer Garagenwand soll ein rechteckiges Kräuterbeet abgezäunt werden. Es stehen 16m Brettumfang zur freien Verfügung. Wie groß muss man x wählen,damit der Flächeninhalt y des Beetes möglich groß wird? Welches ist der größte Flächeninhalt? Hinweis: Stelle zunächst eine Funktionsgleichung für y auf. Man kann sie dann in die Scheitelpunktsform bringen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Zahlenliebhaber *g*,
da ich eine akute Matheschwäche habe und mir Zahlen und Zusammenhänge leider nur seeeeehhr schlecht vorstellen kann, gehöre ich nicht zu den Leuten die über Begründungen und Zahlen knobeln können und zu einem logischem Ergebnis kommen. Daher brauche ich EURE Hilfe.
Mit der Aufgabe 03. bin ich restlos überfordert und habe auch nach langem Überlegen keinen vernünftigen Ansatz für eine Begründung gefunden.
Bei der Aufgabe 04 war ich schon weiter, eine Seite muss doch 8 ergeben und die anderen beiden 4? Und so kommt man dann auf 32 m²??!!! Richtig? Aber wieso komm ich darauf? Ich habe die ganze Zeit rumprobiert?! Aber da muss es doch eine logische Erklärung , ja viell. sogar eine Formel geben? Wie mache ich das bloß? Und was hat das überhaupt mit der scheitelpunktsform und den quadratischen Funktionen zu tun? Wo ist da bloß der Zusammenhang?*hrrrrrrr* Das ist zum Haare sträuben!!! Hilft mir!! Ich sitze schon seit 2 1/2 Stunden dabei, und probiere und probiere..
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Hallo,
das ist von der Sache her erst mal klar, oder? Wie begründet man das? Berechne allgemein den Hoch- bzw. Tiefpunkt der Funktion mit den bekannten Mitteln. Zeige, dass das gefundene relative Extremum auch absolutes Extremum ist! Untersuche also, ob z.B. für den Fall a>0 gilt
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow-\infty}f(x)=\infty.
[/mm]
Monotonie ist dabei auch wichtig!
Viele Grüße
Daniel
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Hallo Daniel,
dankeschön für die Beantwortung meiner Aufgabe. Jedoch hatten wir diese Formel noch nicht , und daher versteh ich sie leider nicht und kann sie dementsprechend auch nicht benutzen. Würde nicht auch eine einfachere Erklärung gehen?
Liebe Grüsse
Sabrina
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Hallo Sabrina,
wenn ihr die Grenzwerte noch nicht hattet (Verstehe ich aber nicht, weil du ja Ableitungen offensichtlich schon hast!), dann siehe Sigrids Posts!
Viele Grüße
Daniel
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Ableitungen hatte ich nur in einem gewissen Maße, als ich in den USA Pre.Calc hatte. In Deutschalnd hatte ich die aber noch nicht. Und da ich mich ja bei einem Referat auch an die anderen halten muss, sollte ich wohl beide Lösungswege zeigen. Abel wieso benutze ich hier denn eine Ableitung, das habe ich nämlich nie verstanden.. wann man die benutzt bzw. wieso?
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hallo,
im prinzip kann man das über ein extremwertproblem lösen(flächeninhalt)
man hat den umfang=16m und nutzt,da rechteckiges beet die umfangsformel als nebenbedingung (u=2a+2b )
dann setzt man ein und stellt nach einer variablen um (16=2a+2b /-2a
16-2a=2b /:2
8-a=b)
nun haben wir unsere zeilfunktion (flächeninhaltsformel, da wir den Flächeninhalt ja suchen)
A=a*b
nun einsetzten
A=a*(8-a)
A=8a-a²
nun bildet man die erste ableitung, da man ja einen maximalen flächeninhalt sucht (das weist auf extrema hin)
A'=8-2a
Null setzen und lösen
0=8-2a /-8
-8=-2a /:-2
4=a
einsetzten und b berechnen
8-a=b
8-4=4
also wäre die lösung a=4 und b=4
also ist der maximale flächeninhalt nur möglich wenn ein quadrat vorliegt
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Danekschön für die Benatwortung meiner Frage. So weit versteh ich das auch.
Da hat sich zwar bei dir ein Fehler eingeschlichen, da du die Wand mitberechnet hast aber das habe ich schon umformuliert. War ja auch ganz einfach *g*. mhm , jedoch verstehe ich nciht wieso du eine Ableitung benutzt, mit welcher Begründung?
Gibt es nicht auch einen anderen Rechenweg mit der Scheitelpunktsform?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Sa 04.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Sabrina
Warum jemand um den Scheitel einer Parabel zu finden Ableitungen benutzt, kann man nicht genau sagen! Es liegt wahrscheinlich daran, dass das Ableiten in Klasse 11 und 12 so eingetrimmt wird, dass man alles Einfachere vergisst.
Einen mathematischen Grund dafür gibt es nicht! Es gibt Leute, die ne Gerade ableiten, um festzustellen, dass sie kein Maximum ausserhalb unendlich hat.
Also vergiss im Zusammenhang mit Parabeln die Ableitung!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Do 02.02.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Sabrina,
Erst einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aufgabe 03.: Größter Wert- kleinster Wert einer
> quadratischen Funktion
> Begründe: Der Graph einer jeden quadratischen Funktion f
> mit y=ax²+bx+c (a ungleich 0) hat einen Scheitelpunkt,also
> einen Punkt mit dem größten bzw. kleinsten Funktionswert
> von f, je nachdem ob a größer od. kleiner als 0 gilt.Gehe
> von der Normalparabel aus.
Du hast ja schon gelernt, eine quadratische Funktionsgleichung in die Scheitelpunktsform zu bringen. Das musst du hier nun allgemein machen:
[mm] y = a\ x^2\ +\ b\ x\ +\ c [/mm]
[mm] = a\ (x^2\ +\ \bruch{b}{a}\ x\ +\ \bruch{c}{a}) [/mm]
[mm] = a\ (x^2\ +\ \bruch{b}{a}\ x\ +\ (\bruch{b}{2a})^2 - (\bruch{b}{2a})^2\\+\ \bruch{c}{a}) [/mm]
[mm] = a ((x + \bruch{b}{2a})^2 -\ (\bruch{b}{2a})^2\\+\ \bruch{c}{a}) [/mm]
Jetzt überlege dir, dass 0 der kleinstmögliche Wert für [mm] (x + \bruch{b}{2a})^2 [/mm] ist.
Kannst du jetzt alleine weiter?
> Aufgabe 04.: Extremstelle und Extremwert einer
> quadratischen Funktion
> An der Südseite einer Garagenwand soll ein rechteckiges
> Kräuterbeet abgezäunt werden. Es stehen 16m Brettumfang zur
> freien Verfügung. Wie groß muss man x wählen,damit der
> Flächeninhalt y des Beetes möglich groß wird? Welches ist
> der größte Flächeninhalt? Hinweis: Stelle zunächst eine
> Funktionsgleichung für y auf. Man kann sie dann in die
> Scheitelpunktsform bringen.
Wenn du die Seiten des Rechtecks x und y nennst, ist der Flächeninhalt
[mm] A=y \cdot x [/mm]
und der Umfang
sorry, die richtige Bedingung ist
[mm] U = 2x + y = 16 [/mm]
Wenn du jetzt die Gleichung [mm] 2(x + y) = 16 [/mm] nach y löst und in die erste einsetzt, erhälst du eine quadratische Funktionsgleichung, die du dann in die Scheitelpunktsform bringen musst. Nur Mut! Versuch's mal!
Du kannst dein Ergebnis ja hier aufschreiben. Wir gucken dann, ob alles stimmt.
Gruß
Sigrid
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Wieso muss ich denn bei der ersten Aufagbe (03.) das Ganze in die Scheitelpunktsform bringen, das hat doch damit für die Begründung wenig zu tun, oder? Du musst dir vorstellen, du erklärst einem Kind was ein Haus ist, wenn du versuchst mir Parabeln beizubringen *g*. Das mit der Umformung zur Scheitelpunktsform kann ich jedoch nachvollziehen nur nicht das Wieso? und wie es dann weitergeht. Muss ich jetzt für die Formel 0 einsetzen?
Die Augabe bei 4. ist dann falsch da die Wand ja nicht mitgerechnet wird.
Die U Formel heisst dann ja , 2 a+ b. Dann habe ich doch A= 16y-2y² und dann in der Scheitelpunktsform f(x)=(4-1y)² oder? Und wie dann wieter? Auflösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Sa 04.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Sabrina
Wir fangen noch mal bei dem Kleinkind an (-;
Eine Normalparabel [mm] y=x^{2} [/mm] kennst du noch. da das Quadrat einer Zahl immer positiv ist, ist sie überall größer als 0, ausser für x=0. das ist also der tiefste Punkt, der auch Scheitel genannt wird. wenn man sie umdreht, also [mm] y=-x^{2} [/mm] ist bei x =0 der höchste Punkt, weil alle andern negativ sind.
Wenn man die Normalparabel breiter oder flacher macht, indem man sie mit dem Faktor a mult, also [mm] y=a*x^{2}, [/mm] ändert sich daran nix!
nächster Schritt: ich schieb die Parabel nach oben oder unten, indem ich zu jedem Punkt noch b addiere also [mm] y=a*x^{2}+b. [/mm] jetzt ist der tiefste (oder höchste) Punkt nicht mehr 0 sondern b, aber noch immer bei x=0.
jetzt kommt der nächste Schritt: nach rechts oder links verschieben um das Stück c .
Den meisten Schülern fällt dabei schwer, dass man nach rechts verschiebt, also in positiver Richtung, aber statt x jetzt (x-c) schreiben muss:
also heisst die nach rechts (und oben) verschobene Parabel jetzt
[mm] y=a*(x-c)^{2}+b. [/mm] Dass es x-c heissen muss, kann man leicht einsehen, der tiefste Punkt soll ja bei x=c sein, da ist die Klammer 0, alle anderen Werte der Klammer im Quadrat sind natürlich größer.
Damit hast du ne ausführliche Erklärung, wie sie dein L. wohl will, ausgehend von der Normalparabel. Nur sieht sie wenn sie irgendwo vorkommt nicht immer so aus: Also wenn man [mm] y=a*(x-c)^{2}+b. [/mm] hat, sieht man sofort wo der tiefste Punkt ist. 1. a muss pos. sein und dann ist der tiefste Punkt bei x=c,y=b. (a negativ ist es der höchste Pkt)
[mm] $y=a*(x-c)^{2}+b=a*x^{2}+2*a*c*x+ (c^2+b)$. [/mm] Und wenn man jetzt die Buchstaben, die ja nur Kurzschreibweisen für mögliche Zahlen sind umtauft:
2*a*c=B, [mm] c^2+b)=C [/mm] dann hat man die Gleichung :
[mm] $y=ax^2+B*x+C$
[/mm]
nur der kann man den tiefsten Punkt nicht mehr so gut ansehen! aber deshalb ist er ja immer noch da!
Wenn man sich gut erinnert , 2ac=B kann man c wieder finden :c=B/2a,
und dann [mm] b=C-c^{2} [/mm] und kennt den tiefsten Punkt.
Ein bissel Zeit musst du dir nehmen um das zu lesen (das Kleinkind liest das Bilderbuch ja auch nicht nur ein mal!)
Und dann erklärs in der Schule, und die sind garantiert begeistert:
Wenn man Mate versteht ist sie wirklich schööön!
Gruss leduart
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Dankeschön für diese Erklärung. Also diese Erklärung war schon mal nicht schlecht, nen Großteil habe ich sogar verstanden. Ich werde mir die jetzt ausdrucken und noch 1-2x in Ruhe lesen. Falls ich Fragen habe , melde ich mich selbstverständlich.
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Die U Formel heisst dann ja , 2 a+ b. Dann habe ich doch A= 16y-2y² und dann in der Scheitelpunktsform f(x)=(4-1y)² oder? Und wie dann wieter? Auflösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Sabrina,
> Aufgabe 04!
> Die U Formel heisst dann ja , 2 a+ b. Dann habe ich doch
> A= 16y-2y²
Pass auf, dass du bei der Variablenwahl konsequent bleibst. Am besten nennst du die eine Seite x und die andere y. Dann ist U=2x+y.
also : 2x+y=16.
Für A ergibt sich dann
[mm] A(x) = f(x) = 16x - 2 x^2 [/mm]
[mm] f(x) = -\ 2x^2 + 16x [/mm]
[mm] = -2(x^2 - 8x) [/mm]
[mm] = -2 (x^2 - 8x +4^2 - 4^2) [/mm]
[mm] = -2 ((x - 4)^2 -16) [/mm]
[mm] = -2(x - 4)^2 + 32 [/mm]
Der Scheitelpunkt ist also S(4;32)
Den größten Funktionswert erhälst du also, wenn x = 4. y ist dann 16-2*4 = 8
Der maximale Flächeninhalt ist [mm] 32 m^2 [/mm]
.
und dann in der Scheitelpunktsform f(x)=(4-1y)²
> oder?
Leider nein.
Gruß
Sigrid
Und wie dann wieter? Auflösen?
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