Quadr. Ergänzung und PQ-Formel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Nikurasu |
| Aufgabe | 1) x² + 60*x + 20 = 0
2) x² + 16*x - 17 = 0
Formuliere bei 1) die quadratische Ergänzung.
Formuliere bei 2) die PQ-Formel
|
Ich habe leider keine Ahnung, wie die quadratische Ergänzung und die p,q-Formel geht, weil wir danach Wahrscheinlichkeitsbegrechnungen gemacht haben.
Könnte jemand für mich die oberen Gleichungen sowohl mit der quadratischen Ergänzung als auch mit der PQ-Formel lösen?
Ich schreibe die Arbeit und steige leider durch die Erklärungen im Internet nicht so ganz durch.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mo 18.06.2007 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Zahlen kannst du am Schluss sicher selbst einsetzen.
Ziel ist eine Gleichung der Form: (x+a)^2=b
weil man die durch wurzelziehen lösen kann.
pq- formel ist das Ergebnis der quadratischen Erg.
erinner dich an (x+a)^2=x^2+2ax+a^2
$x^2+px+q=0$
$x^2+2*p/2*x=-q$
unser a von oben ist also p/2, fehlt a^2d.h. (p/2)^2 das "ergänzen" wir damit die Gleichung richtig bleibt auf beiden Seiten:
$x^2+2*p/2*x+(p/2)^2=-q +(p/2)^2$
jetzt haben wir die Form , die wir wollen
$(x+p/2)^2=p^2/4-q$
mit der quadratischen Ergänzung sind wir fertig, denn jetzt haben wir ja die einfache Gleichung die du lösen kannst.
Für Leute, die lieber auswendig lernen als denken, schreibt man noch das Ende als sog. p-q Formel hin
$(x+p/2)^2=p^2/4-q$ daraus$x+p/2=\pm\wurzel{p^2/4-q)$
und schliesslich:
$x_{1,2}=-p/2\pm\wurzel{p^2/4-q)$
So jetzt leg das neben dich und mach es Stück für Stück mit deinen 2 Gleichungen, indem du für p und q deine Zahlen einsetzt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Nikurasu |
Danke, soweit, ich verstehe allerdings dein Teil nach
jetzt haben wir die Form, die wir wollen
$ [mm] (x+p/2)^2=p^2/4-q [/mm] $
nicht. Wie kommt man auf diese Formel. Ansonsten verstehe ich das ganze wohl...
$ [mm] x^2+2\cdot{}p/2\cdot{}x+(p/2)^2=-q +(p/2)^2 [/mm] $
Dort kommt bei mir bei Aufgabe 2 raus:
x² + 2 * (16/2) * x + (16/2)² = 17 + (16/2)²
Ergebnis auf der linken Seite: x² + 16x + 64
Ergebnis auf der rechten Seite: 81
Das kann doch nicht?
Und wie komme ich nachher zum nächsten Schritt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Youri |
Hallo Nikurasu!
Ich versuch's nochmal anders.
Sowohl die quadratische  Ergänzung als auch die PQFormel sind Möglichkeiten, Lösungen für quadratische Gleichungen der Form
[mm]x^2+px+q=0[/mm] zu finden.
Du machst Dir hierbei eine binomische Formel zu nutze.
Wissen musst Du also unbedingt, das folgende Gleichheit gilt:
[mm] (a + b)^2=a^2+2ab+b^2[/mm]
Nehmen wir mal folgendes Beispiel:
[mm] 3x^2+6x-40=5[/mm]
Bevor Du überhaupt anfängst, zu versuchen derartige Gleichung zu lösen,
bringst Du sie bitte in die "Normalform" - Du sorgst dafür, dass auf der rechten Seite "0" steht, und vor dem Quadrat eine "1".
Also:
| -5
| :3
[mm] x^2+2x-15=0[/mm]
Jetzt kannst Du entweder einfach die PQFormel anwenden.
Es gilt bei Gleichungen folgenden Typs:
[mm] x^2+px+q=0[/mm]
[mm] x_{1/2}= -\bruch{p}{2} \pm \wurzel{\bruch{p^2}{4}-q}[/mm]
Du identifizierst also die Elemente Deiner gegebenen Gleichung mit p bzw. q und benutzt die Lösungsformel.
Hier im Beispiel:
p=2
q=-15
Also: [mm]x_{1/2} = -\bruch{2}{2} \pm \wurzel{\bruch{2^2}{4}-(-15)}[/mm]
Hier kannst Du nun also die beiden Lösungen Deiner Gleichung ablesen.
Der zweite Weg über die quadratische Ergänzung benutzt die Herleitung der PQFormel.
Wieder das Beispiel:
[mm] x^2+2x-15=0[/mm]
Du versuchst mittels der binomischen Formeln diese Gleichung wie folgt umzuformen.
[mm] (a + b)^2=a^2+2ab+b^2[/mm]
In diesem Fall entspricht a Deinem x, b ist unbekannt, muss aber ermittelt werden.
Der gemischte Term 2x hilft Dir dabei.
Bei teilweiser Ersetzung ergibt sich folgendes Bild:
[mm] (x + b)^2=x^2+2bx+b^2[/mm]
Um jetzt b zu ermitteln, vergleichst Du den Term 2bx mit dem mittleren Term Deiner quadratischen Gleichung.
Es muss gelten:
$2bx=2x$
Dann bleibt für b in diesem Fall nur die Möglichkeit $b=1$ - einverstanden?
Wenn jetzt a und b bekannt sind, kannst Du das Binom berechnen:
[mm] (x+1)^2=x^2+2x+1[/mm]
Vergleich mit der Ausgangsgleichung:
[mm] x^2+2x-15=0[/mm]
Siehst Du die Ähnlichkeit? 
Also:
[mm] x^2+2x-15=0[/mm]
[mm] x^2+2x+1-1-15=0[/mm]
[mm] (x^2+2x+1)-1-15=0[/mm]
[mm] (x+1)^2-1-15=0[/mm]
[mm] (x+1)^2-16=0[/mm]
[mm] (x+1)^2=16[/mm]
[mm] (x+1)=\pm\wurzel{16}[/mm]
[mm] x_{1/2}=\pm4-1[/mm]
Du ergänzt/addierst also das Quadrat des b's um die binomische Formel anwenden zu können, und ziehst es wieder ab, um das Ergebnis der Gleichung nicht zu verändern.
Hilft Dir das bei Deinen Aufgaben?
Lieben Gruß,
Andrea.
|
|
|
| |
|
x1/x2 = - [mm] (\bruch{p}{2})+-\wurzel{(\bruch{p}{2})^{2}+q } [/mm]
ist die PQ-Formel.
Bei einer quadratischen Gleichung ist immer
[mm] x^{2}+px+q=0.
[/mm]
Einfach dann einsetzen.
Bei der ersten aufgabe wäre das:
x1= - [mm] \bruch{60}{2}+\wurzel{((\bruch{60}{2})^2)+20}
[/mm]
x2= - [mm] \bruch{60}{2}-\wurzel{((\bruch{60}{2})^2)+20}
[/mm]
Hoffe es hilft dir weiter.
Schöne Grüße
|
|
|
|
