Quadr. Term faktorisieren < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Wie komme ich von [mm] x^2 [/mm] - 8x + 15 auf (x-3) (x-5). Ist das eine Linearfaktorzerlegung? Ich finde einfach nicht, wie man das hier löst.
Danke schon mal für eure Hilfe!!
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Hallo,
[mm] $x^{2} [/mm] -8x+ 15 = [mm] x^{2} [/mm] -3x-5x + 15 = x(x-3)-5(x-3) = (x-3)(x-5)$
> linearfaktorzerlegung
ja
Gruss
kushkush
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Hallo Vokabulator,
es gibt hier zwei Möglichkeiten. Das gilt für alle Zerlegungen, wo ein Term [mm] x^2+bx+c [/mm] zerlegt werden soll - Achtung: das [mm] x^2 [/mm] steht allein da, hat also keinen Vorfaktor. Wenn Du also einen Term [mm] Ax^2+Bx+C [/mm] zerlegen willst, dann musst Du erst einmal alles durch A teilen, um das folgende anzuwenden.
Die eine Möglichkeit ist die, die kushkush Dir vorgerechnet hat. Das ist nicht immer leicht zu finden.
Es hilft aber, wenn man weiß, dass für eine Zerlegung [mm] x^2+bx+c=(x-m)*(x-n) [/mm] sowohl m als auch n Nullstellen der Funktion [mm] f(x)=x^2+bx+c [/mm] sein müssen, also sowohl [mm] m^2+bm+c=0 [/mm] gilt als auch [mm] n^2+bn+c=0.
[/mm]
Außerdem sind, wenn b und c ganzzahlig sind, sowohl m als auch n echte Teiler von c. Wenn wie hier also c=15 ist, so kommen für m und n nur die Werte [mm] \pm1, \pm3, \pm5 [/mm] und [mm] \pm15 [/mm] in Frage.
Die zweite Möglichkeit ist viel einfacher und funktioniert direkt, aber dazu müsstet Ihr schon quadratische Gleichungen und vor allem die  PQFormel (oder die Mitternachtsformel) gehabt haben. Habt Ihr?
Grüße
reverend
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Danke erstmal euch beiden.
Ja, pq-Formel und abc-Formel hatte ich schon.
Mein Problem ist noch folgendes: Wozu brauch ich denn die Linearfaktorzerlegung hier überhaupt? Um die Nullstellen zu berechnen? die hab ich doch nach pq/abc-Formel sowieso?
Und wie faktorisiere ich einen Term wie:
18x² + 9x + 1?
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Hallo Vokabulator,
> Danke erstmal euch beiden.
>
> Ja, pq-Formel und abc-Formel hatte ich schon.
>
> Mein Problem ist noch folgendes: Wozu brauch ich denn die
> Linearfaktorzerlegung hier überhaupt? Um die Nullstellen
> zu berechnen?
> die hab ich doch nach pq/abc-Formel sowieso?
Ja, wenn du aber ein höhergradiges Polynom hast, so kann man anhand der Zerlegung die NSTen "besser ablesen"
Ansonsten ist das oft nützlich bei der Integration von gebr. rationalen Funktionen, etwa [mm] $\int{\frac{1}{x^2+3x+2} \ dx}$
[/mm]
Da macht man i.d.R. eine Partialbruchzerlegung und bekommt eine Summe zweier einfacher Integrale, die sich weit einfacher berechnen lassen als das Ausgangsintegral.
Noch schlimmer, wenn du etwa ein Polynom 3. oder 4. Grades im Nenner hast ...
>
> Und wie faktorisiere ich einen Term wie:
>
> 18x² + 9x + 1?
Klammere zunächst $18$ aus und bestimme die NSTen von [mm] $x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{18}$ [/mm] mittels p/q-Formel.
Oder du haust direkt mit der Mitternachtsformel drauf ...
Gruß
schachuzipus
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Okay... soweit klar... also bei quadr. Gleichungen bringen Linearfaktorzerlegungen eigentlich nichts?
Wenn ich aber einen Polynom 3. Grades in Linearfaktoren zerlege, dann rate ich ja eine Nulstelle und teile dann das Polynom durch diese, um dann bei einer quadr. Gleichungen anzukommen und da die pq-Formel anzuwenden (oder abc). Und dann hab ich die Nullstellen. Und die setz ich dann mit umgedrehtem Vorzeichen in die Linearfaktoren ein. Aber die Nullstellen sind doch schon die Lösungen? Wozu muss ich das mit den LFZ denn noch machen?
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Hallo Vokabulator,
> Okay... soweit klar... also bei quadr. Gleichungen bringen
> Linearfaktorzerlegungen eigentlich nichts?
Doch, genauso viel wie bei Gleichungen höheren Grades.
> Wenn ich aber einen Polynom 3. Grades
das Polynom; im Akkusativ hier also: ein Polynom.
> in Linearfaktoren
> zerlege, dann rate ich ja eine Nulstelle und teile dann das
> Polynom durch diese, um dann bei einer quadr. Gleichungen
> anzukommen und da die pq-Formel anzuwenden (oder abc). Und
> dann hab ich die Nullstellen. Und die setz ich dann mit
> umgedrehtem Vorzeichen in die Linearfaktoren ein. Aber die
> Nullstellen sind doch schon die Lösungen?
Ja, das hast Du alles ganz richtig begriffen.
> Wozu muss ich
> das mit den LFZ denn noch machen?
Es ist einfach eine hilfreiche Schreibweise, die für einige Dinge nützlich ist.
Du könntest ja auch fragen, warum Du einen Abbiegevorgang mit dem Fahrrad eigentlich vorher per Handzeichen anzeigen sollst. Man sieht doch sowieso, wenn Du abbiegst, und das tust Du ja auch ohne Handzeichen. Die Hand auszustrecken ist zusätzliche Arbeit, und du musst dazu den Lenker loslassen, was die Fahrsicherheit beeinträchtigt.
Das ist mit den Linearfaktoren ähnlich. Die Funktion bleibt die gleiche, aber sie wird für Dich (und andere "Verkehrsteilnehmer"  ) leichter durchschaubar.
Sachen wie Partialbruchzerlegung oder Ableitungen hattet Ihr noch nicht, aber da erweist sich die Schreibweise in Linearfaktoren oft als praktisch.
Ansonsten hast Du natürlich Recht - die Nullstellen bleiben die gleichen, egal ob ich die Funktion als "normales" Polynom darstelle oder in Linearfaktoren oder im Hornerschema oder noch anders.
Grüße
reverend
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okay... also so ganz überzeugt bin ich noch nicht, aber wenn die woanders mal wichtiger sind... naja...
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