Quadrat im Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Do 13.12.2012 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Welches ist das flächenmäßig kleinste Dreieck, welches ein Quadrat der Seitenlänge 4 enthält? |
Hallo,
Ich habs mal so gemacht, dass die eine Ecke des Quadrats gleich mit einer Ecke vom Dreieck ist, sodass ich ein rechtwinkliges Dreieck habe und die Hypotenuse die gegenüberliegende Ecke des Quadrates berührt. Daraus dann den Funktionsterm zu erstellen, abzuleiten und das Minimum von 32 FE zu finden, war nicht das Problem.
Doch wie kann gezeigt werden, dass das Quadrat in dem Fall auch optimal platziert ist...?
Danke schon mal im Voraus.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
im rechwinkligen dreieck kannst du - mühsam zeigen, dass das die beste Lage ist, aber du kannst auch ein gleichschenkliges Dreieck nehmen, das Quadrat auf der Grundseite a, Hohe h.
du kommst wieder auf 32FE (h=a=8) jetzt musst du nur zeigen, dass wenn du eine Seite "flacher machst, also nicht mehr gleichschenklicg, dass sich dann die Fläche vergrößert.
Aber so allgemein gestellt ist das problem schwer exakt zu lüsen mit Schulmitteln,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 13.12.2012 | | Autor: | ms2008de |
Danke, hab eben nochmal drüber nachgedacht:
Es dürfte an für sich doch völlig egal sein, wo ich exakt eine Seite a vom Quadrat an eine Seite x des Dreiecks anlege, hauptsache es erfolgt überhaupt irgendwo?
Also es ist doch bei jedem optimalen Dreieck so, dass wenn ich eine Seite a des Quadrats auf eine Seite x des Dreiecks leg, x eine Länge von 8 LE und eine Höhe von 8 LE besitzt, wobei der Höhenfußpunkt natürlich irgendwo auf a liegen muss, ganz egal, ob dieses Dreieck nun am Ende gleichschenklig ist oder nicht. Und da die Formel fürs Dreiecks schließlich [mm] 0,5*x*h_{x} [/mm] ist, könnte es damit doch gezeigt werden oder?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Do 13.12.2012 | | Autor: | chrisno |
Du hast recht. Die Höhe des Dreiecks ist 8 LE, die Grundseite ebenfalls. Dei Winkel sind fast egal, nur darf an der Grundseite kein stumpfer Winkel anliegen.
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