Quadrat zerlegen in n Quadrate < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:14 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Toellner |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
"Für welche Zahlen n lässt sich ein gegebenes Quadrat durch endlich viele gerade Schnitte so zerlegen, dass man daraus n gleiche Quadrate zusammensetzen kann?"
Vermutung: für alle natürlichen Zahlen.
Beweisidee:
Für n=1 ist nichts zu beweisen.
Für n=2 teilt man das Quadrat an den Diagonalen und legt aus den 4 Dreiecken zwei (gleiche) Quadrate.
Für alle n=a²+b² (a,b natürlich) teilt man das Quadrat in ein Quadrat-Gitter mit Maschenweite von 1/n der Grundseite. Hat die linke untere Ecke die Koordinaten (0|0), so hat der Gitterpunkt (a|b) bzw. (2a|2b) den Abstand Wurzel(n) bzw. 2 Wurzel(n) vom Ursprung, usw. (Pythagoras). Parallelen bzw. Senkrechten dazu im Abstand Wurzel(n) bzw. Vielfache davon kann man ebenso durch Gitterpunkte zeichnen. So bekommt man ein neues Quadratgitter mit Maschenlänge Wurzel(n), dessen Eckpunkte alle auf dem ursprünglichen Gitter liegen.
Es ist dann leicht zu zeigen, dass die Teile, die an den Kanten des Ausgangsquadrates überstehen, sich zeilenweise bzw. spaltenweise zu einem Wurzel(n)-Quadrat ergänzen, und die Teile an den Ecken ergeben auch ein Wurzel(n)-Quadrat.
Nun gibt es aber eine Lösung für n=3, das sich ja nicht als Summe zweier Quadrate darstellen lässt. Dafür ist 3=2²-1², und damit lässt sich (analog zur obigen Idee) tatsächlich ein Puzzle konstruieren, das aufgeht.
Geht das für alle Zahlen?
Gibt es evtl. schon Lösungen? (Ich habe bisher keine gefunden.)
Grüße R. Toellner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Di 12.07.2005 | | Autor: | HomerSi |
Hallo,
also ich bin mir nicht ganz sicher aber ich denke mal für alle n, wobei n=1 oder gerade ist. Ich hatte jetzt nicht genug Zeit darüber nach zu denken, ist also nur eine Vermutung. Ich denk zu Hause noch mal intensiv drüber nach und komm Morgen wieder wenn es geht.
mfg
HomerSi
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Hallo,
so wie ich das verstanden habe, lässt Du es auch zu, dass man die Quadrate durch zusammenschnippeln von Dreiecken zusammensetzt, so wie Du das ja bei n=2 durch Teilen an der Diagonale tust. Wenn Du beliebig viele Schnitte zuläßt, dann dürfte der beweis recht einfach sein.
Du kannst dann nämlich durch Induktion beweisen. Aus jedem Quadrat kannst Du ein kleineres Quadrat rausschneiden.
Da die Zerlegung in kleinere Quadrate unabhängig von der Größe des Ausgangsquadrates möglich ist (vorausgesetzt Du hast eine kleine Schere und Deine Quadrate sind nicht aus Atomen zusammengesetzt :o) kannst Du also zum Induktionsanfang davon ausgehen, dass Du aus Deinem Quadrat ein kleineres Quadrat ausschneidest und davon n kleinere Quadrate auschneiden kannst.
Der Rest, der übrig bleibt hat dann die Form eines rechten Winkels und Du musst nur noch beweisen, dass Du daraus ein Quadrat bilden kannst.
Ich weiss grad nicht, wie, aber das dürfte nicht besonders schwer sein. Muss ich mir mal überlegen.
Oh gerade fällts mir ein, wie es eigentlich ganz leicht gehen müsste:
Es reicht eigentlich zu zeigen, dass man ein Rechteck durch zerschnippeln in Dreiecke in ein anderes Rechteck mit beliebiger Höhe umwandeln kann, denn man kann ja den "Winkel" von oben sehr einfach in ein Rechteck umwandeln.
Müssen die Quadrate eigentlich gleich groß sein?
Wie sieht das ganze eigentlich aus, wenn man nur Quadrate betrachtet, die eine ganzzahlige Seitenlänge haben?
Gruß
Jürgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:35 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Jürgen,
vielen Dank für Deine Idee!
Aber es sollten schon endlich viele gerade Schnitte sein und aus den Teilen sollte man lauter gleiche Quadrate (insgesamt n Stück) zusammensetzen, d.h: die Teile überlappen sich nicht, es bleibt auch nichts übrig.
Gruß, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Mo 18.07.2005 | | Autor: | jbulling |
Hallo Richard,
ändert diese Einschränkung aber tatsächlich so viel?
Das müsst doch trotzdem genauso zu beweisen sein, oder übersehe ich da etwas?
Gruß
Jürgen
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:14 Do 04.08.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Jürgen,
ich war in Urlaub und konnte Deinen Vorschlag erst jetzt richtig lesen.
Erst mal Dank dafür.
Es bleibt aber für den Induktionsschritt von n zu n+1 zu zeigen, wie Du aus dem Quadrat ein kleineres rausschneidest, das als Fläche n/(n+1) vom Ganzen hat, bzw. einen Winkel konstruierst mit 1/(n+1) der Fläche: die n+1 Quadrate sollen ja hinterher gleich sein. Dann müsstest Du angeben, wie genau der Winkel so zerlegt werden kann, dass man daraus ein Quadrat legen kann.
Es sind konkrete, geometrische Konstruktionsschritte gesucht!
Grüße, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Fr 19.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich denke die Frage ist jetzt, auch angesichts abgelaufener Fälligkeit und Alternativlösung, überholt, daher treibe ich sie mit dieser Mitteilung aus der Übersicht der offenen Fragen heraus. 
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Fr 19.08.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo,
ich habe inzwischen selbst einen Beweis gefunden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man kann eine Strecke mit Hilfe des Strahlensatzes leicht in n gleiche Teile teilen: das mache ich mit den Quadratseiten (hier im Beispiel n = 3).
Über einer Seite errichte ich dann den Thaleskreis und die Höhe über der Strecke p = 1, dann entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse n und Kathete (blau) a² = pn (nach dem Kathetensatz). Da p = 1 war, ist a = [mm] \wurzel{n}. [/mm] Leider ist die Wurzel auf dem Bild zum ? mutiert...
Jetzt verlängere ich die Quadratseite, die dem Thaleskreis gegenüberliegt, zur Grundlinie g und verlängere die andere Kathete, bis sie g schneidet: die dazu paralelle Strecke (rot, bis runter zu g) ist dann [mm] n\wurzel{n}.
[/mm]
Das zeigt sich am leichtesten, wenn man das überstehende Dreieck oben in die rechte untere Ecke des roten Parallelogramms schiebt. Dann sind Paralellogramm und Quadrat via Scherung flächengleich, also
n² = [mm] \wurzel{n}x [/mm] und damit x = [mm] n\wurzel{n}.
[/mm]
Teilt man das Parallelogramm immer in n-Abständen durch senkrechte Schnitte, können die Teile parallel zu g verschoben werden und füllen dabei das Quadrat exakt aus.
Man zerlegt also das Quadrat entsprechend, legt aus den Teilen das Parallelogramm, daraus das Rechteck mit den (blauen) Seiten [mm] \wurzel{n} [/mm] und [mm] n\wurzel{n}, [/mm] welches man dann durch n Schnitte in [mm] \wurzel{n} [/mm] x [mm] \wurzel{n} [/mm] Quadrate zerlegen kann.
Grüße R. Toellner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Sa 20.08.2005 | | Autor: | Toellner |
hallo Stefan,
danke für die Blumen!
Zum Hintergrund: Ich suche Aufgaben für mathem. Wettbewerbe, die sich (wenigstens theoretisch) mit den Kenntnissen aus der Schule lösen lassen und noch nirgendwo veröffentlicht sind.
Der Vorschlag von J. Bulling hat dann eine kompliziertere Lösung, die ich schon hatte, zu der hier vorgestellten vereinfacht.
Bei der Gelegenheit: dieses Mathe-Forum ist sehr gut aufgebaut und durchdacht! Ich freu mich, hier mitmachen zu können...
Grüße, Richard
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