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| Aufgabe | | [mm] 2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2 [/mm] |
Ich soll hier quadratisch ergänzen, habe allerdings keine Ahnung, wie ich das machen soll!
Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke.
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> [mm]2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2[/mm]
> Ich soll hier quadratisch ergänzen, habe allerdings keine
> Ahnung, wie ich das machen soll!
Hallo,
ich habe keine Ahnung, was Du machen sollst - oder sagn wir so: ich kann es dem, was Du schreibst, nicht entnehmen.
Vielleicht erzählst Du mal, worum es geht, und was das Ziel Deiner quadratischen Ergänzung sein soll.
Gruß v. Angela
> Kann mir jemand weiterhelfen?
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Hej Pippi Långstrump!
Das ist eine zwar nicht schwierige, aber doch irgendwie fortgeschrittene Aufgabe:
[mm] 2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2 [/mm] soll quadratisch ergänzt werden.
Dazu hast Du verschiedene Möglichkeiten - daher auch Angelas Frage, worum es nun eigentlich geht, bzw. wo Du hinwillst.
Zum einen kannst Du den Ansatz [mm] 2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2=(ax+by+c)^2+R(x,y) [/mm] verfolgen, wobei a,b,c reelle Zahlen sind und R(x,y) ein Restglied bezeichnet, das von x,y abhängt, aber quadratfrei ist.
Zum andern kannst Du versuchen, folgende Darstellung zu wählen:
[mm] 2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2=(dx+e)^2+(fy+g)^2+(hx+jy)^2+S(x,y)
[/mm]
Dabei sind d,e,f,g,h,j wieder reelle Zahlen und S(x,y) wieder ein quadratfreies Restglied, siehe oben.
Beides ist wohl lösbar. Fragt sich eben nur, welche Lösung Du eigentlich suchst.
Hej då,
reverend
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Hallo!
Tut mir leid, aber ich bin gestern nicht mehr ins Forum bzw. zu meinen Diskussionen gelangt.
Ziel meiner Aufgabe ist es, die affine Normalform zu bestimmen.
Durch diese Aufgabe wird eine Quadrik gegeben, welche ich bestimmen muss.
Danke vorab.
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Hallo nochmal,
ja, das Forum zieht gerade auf einen neuen Server um, da hängt es noch manchmal.
Wer sagt denn, dass hier quadratische Ergänzung(en) sinnvoll ist/sind?
Ich bekomme da zwei sich schneidende Geraden heraus.
Da wäre der Ansatz [mm] 2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2=(ax+by+c)(dx+ey+f) [/mm] hilfreicher.
Grüße
reverend
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Hallo!
Ich komme auch auf zwei sich schneidende Geraden...
Allerdings habe ich es mit EWerten und EVektoren gelöst!
Wie kommst du auf den Ansatz bzw. wann wende ich soetwas an?
Habe an quadr. Ergänzung gedacht, weil man das in solchen Aufgaben auch anwenden kann und ich die q.E. leider nicht verstehe....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Mi 01.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zuerst mal ein link zur quadratischen Ergänzung.
Wenn du die Koeffizeinten aus
[mm] 2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2=(ax+by+c)(dx+ey+f) [/mm]
bestimmen willst, multipliziere aus, also:
$ (ax+by+c)(dx+ey+f) $
$ =ad*x²+ae*xy+af*x+bd*xy+be*y²+bf*y+cd*x+ce*y+cf $
$ =ad*x²+(ae+bd)*xy+(af+cd)*x+be*y²+(bf+ce)*y+cf $
Und jetzt kannst du mit den Koeffizientenvergleich arbeiten, es gilt ja:
[mm] 2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2=ad*x²+(ae+bd)*xy+(af+cd)*x+be*y²+(bf+ce)*y+cf
[/mm]
Also ad=2 und (ae+bd)=1 und be=-6 und af+cd=4 und bf+ce=1 sowie cf=2
Marius
=
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Danke Marius.
Wenn ich diese Aufgabe jetzt aber mit quadr. Ergänzung und Substitution lösen will bzw. soll, wie gehe ich dann vor?
Mir ist klar, dass ich Binome "formen" soll und Terme, welche ich zuviel dazugebe, dann wieder abziehen muss.
Kann mir vielleicht jemand schrittweise erklären, wie ich hier vorgehen muss?
Ich habe zwar eine Musterlösung, aber leider hilft mir die auch nicht weiter...
Gruß Pippi
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Hallo pippilangstrumpf,
> Danke Marius.
>
> Wenn ich diese Aufgabe jetzt aber mit quadr. Ergänzung und
> Substitution lösen will bzw. soll, wie $ [mm] 2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2 [/mm] $gehe ich dann vor?
>
> Mir ist klar, dass ich Binome "formen" soll und Terme,
> welche ich zuviel dazugebe, dann wieder abziehen muss.
>
> Kann mir vielleicht jemand schrittweise erklären, wie ich
> hier vorgehen muss?
> Ich habe zwar eine Musterlösung, aber leider hilft mir die
> auch nicht weiter...
Schreibe
[mm] 2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2[/mm]
zunächst so:
[mm] 2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2=\left(\alpha x + \beta y + \gamma\right)^{2}-\beta^{2}*y^{2}-2*\beta*\gamma*y-\gamma^{2}-6y^{2}+y+2[/mm]
[mm]\gdw 2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2=\left(\alpha x + \beta y + \gamma\right)^{2}-\left(6+\beta^{2}\right)*y^{2}+\left(1-2*\beta*\gamma\right)*y+\left(2-\gamma^{2}\right)[/mm]
[mm]\gdw 2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2=\left(\alpha x + \beta y + \gamma\right)^{2}-\left( \ \left(6+\beta^{2}\right)*y^{2}+\left(2*\beta*\gamma-1\right)*y+\left(\gamma^{2}-2\right) \ \right)[/mm]
Die Koeffizienten [mm]\alpha, \ \beta, \ \gamma[/mm] erhältst Du,
wenn Du die Polynome
[mm]2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2[/mm]
und
[mm]\left(\alpha x + \beta y + \gamma\right)^{2}-\beta^{2}*y^{2}-2*\beta*\gamma*y-\gamma^{2}-6y^{2}+y+2[/mm]
miteinander vergleichst.
Läßt sich
[mm]\left(6+\beta^{2}\right)*y^{2}+\left(2*\beta*\gamma-1\right)*y+\left(\gamma^{2}-2\right)[/mm]
in der Form
[mm]\left(\delta*y+\varepsilon\right)^{2}[/mm]
schreiben, dann kannst Du das sogar in der Form
[mm]\left(\alpha x + \beta y + \gamma\right)^{2}-\left(\delta*y+\varepsilon\right)^{2}[/mm]
schreiben.
> Gruß Pippi
Gruß
MathePower
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> Ich komme auch auf zwei sich schneidende Geraden...
> Allerdings habe ich es mit EWerten und EVektoren gelöst!
> Habe an quadr. Ergänzung gedacht, weil man das in solchen
> Aufgaben auch anwenden kann und ich die q.E. leider nicht
> verstehe....
was meinst du mit "solchen Aufgaben" genau ?
Hallo Pippi,
ich glaube, du hast die obige wichtige Frage
von Angela immer noch nicht beantwortet:
Wozu brauchst du die Umformung bzw.
welche Form soll denn das Ergebnis haben ?
Ist die Transformation der Gleichung in
Hauptachsenform gefragt, .... ???
LG Al-Chw.
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Mein Ziel ist es, dass ich zeigen soll, welche Quadrik (Aufgabe siehe oben) dargestellt wird!
Sorry, habe ich vergessen zu sagen!
Pippi
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> [mm] 2x^2+x\,y-6y^2+4x+y+2=0
[/mm]
> Mein Ziel ist es, dass ich zeigen soll, welche
> Quadrik durch obige Gleichung dargestellt wird!
>
> .......
>
> Pippi
Hallo Pippi,
um eine Quadrik im [mm] \IR^2 [/mm] oder mit anderen
Worten einen Kegelschnitt zu untersuchen,
kann man z.B. so vorgehen, wie es da kurz
dargestellt wird: ![[]](/images/popup.gif) Kegelschnitte
Man berechnet zuerst den nötigen Drehwinkel
(bzw. einen der möglichen Drehwinkel) [mm] \varphi [/mm]
nach der Formel
$\ [mm] tan(2\,\varphi)=\bruch{2\,b}{a-c}$
[/mm]
und führt dann die Drehung des Koordinaten-
systems aus. Ich habe dies bei deinem Beispiel
ausprobiert. Es ist aber nicht ganz so "schön",
weil man dann keine runden Zahlen mehr
hat. In den neuen Koordinaten (ich nenne
sie u und v statt x und u) bekomme ich
gerundet die Gleichung:
$\ [mm] 2.03u^2-6.03v^2+4.05u+\red{7.5\,}v+2=0$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier war der Fehler ! Richtig müsste es heißen:
$\ [mm] 2.03u^2-6.03v^2+4.05u+\blue{0.75\,}v+2=0$
[/mm]
(Grund: Das "E-1" am Ende der Zahl auf dem
Taschenrechner übersehen ... )
Das gemischte Glied (mit $\ u*v$) ist tatsächlich
verschwunden, was das Ziel der Drehung war.
Nun kann man separat für u und v die q.E.
durchführen:
$\ [mm] 2.03*(u^2+\green{2\,}u)-6.03*(v^2\red{-1.24}\,v)+2=0$ [/mm]
$\ [mm] 2.03*(u^2+\green{2\,}u)-6.03*(v^2\blue{-0.124}\,v)+2=0$
[/mm]
Hinweis: Die grüne 2 ist keine "exakte" Zwei,
sondern steht für [mm] 1.9962\approx [/mm] 2.00 !)
$\ [mm] 2.03*(u^2+2\,u\red{\,+1})\blue{\,-2.023}-6.03*(v^2-0.124\,v\red{\,+0.38})\blue{\,+0.023}+2=0$
[/mm]
(Rote Zusatzterme durch die blauen kompensiert)
$\ [mm] 2.03*(u+1)^2-6.03*(v-0.062)^2=0$
[/mm]
Da jetzt (nach der Korrektur des vorherigen Fehlers)
rechts eine Null steht, haben wir nun doch nicht
eine Hyperbel, sondern ein Paar sich kreuzender
Geraden. Etwas grob gerundet kann man die
Gleichung auf die Form [mm] (u+1)^2=3v^2 [/mm] bringen
bzw.
$\ [mm] v=\pm \bruch{1}{\sqrt{3}}*|u+1|$
[/mm]
LG Al-Chw.
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Nachdem ich nun wusste, dass es sich wirklich
um ein Geradenpaar handeln muss, habe ich
mir die kleine Mühe gemacht, den Term mit
einem Zwei-Klammer-Ansatz zu zerlegen:
$\ T(x,y)\ =\ [mm] 2x^2+xy-6y^2+4x+y+2$
[/mm]
$\ =\ [mm] (\pm\,...\,x\ \pm\ [/mm] ...\ y\ [mm] \pm\ [/mm] ...)* [mm] (\pm\,...\,x\ \pm\ [/mm] ...\ y\ [mm] \pm\ [/mm] ...)$
Zu den x setzte ich die Faktoren 1 und 2,
ebenso für die konstanten Glieder. Bei
den y die Faktoren 2 und 3. Dann ein
wenig mit Vertauschungen und mit den Vor-
zeichen jonglieren, und, simsalabimseli:
$\ T(x,y)\ =\ [mm] (2\,x-3\,y+2)*(x+2\,y+1)$
[/mm]
Die beiden Geraden, welche zusammen den
Graph der Gleichung T(x,y)=0 darstellen,
haben die Gleichungen
$\ [mm] 2\,x-3\,y+2\,=\,0$ [/mm] und $\ [mm] x+2\,y+1\,=\,0$
[/mm]
oder:
$\ [mm] y\,=\,\bruch{2}{3}*(x+1)$ [/mm] und $\ [mm] y\,=\,-\,\bruch{1}{2}*(x+1)$
[/mm]
Es handelt sich also um die beiden Geraden
mit den Steigungen [mm] m_1\,=\,\bruch{2}{3} [/mm] und [mm] m_2\,=\,-\,\bruch{1}{2} [/mm] ,
welche einander im Punkt (-1/0) kreuzen.
Der Tangens des Schnittwinkels [mm] \alpha [/mm] ist
$\ [mm] tan(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{m_1-m_2}{1+m_1*m_2}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{7}{4}$
[/mm]
Dies entspricht tatsächlich ungefähr dem
Tangenswert des 60°-Winkels, der sich
als Winkel zwischen den beiden Geraden
$ \ [mm] v=\pm \bruch{1}{\sqrt{3}}\cdot{}|u+1| [/mm] $
im gedrehten Koordinatensystem (wobei
die Gleichungen durch grobes Runden ent-
standen sind) ergibt. Denn es ist ja
$\ tan(60$°$\ [mm] )=\sqrt{3}=1.732...\ \approx [/mm] 1.75\ =\ [mm] \bruch{7}{4}$
[/mm]
Der genaue Winkel ist [mm] $\alpha\ \approx\ [/mm] 60.26$° .
LG Al-Chw.
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Rückfrage oben noch aktuell!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Calli |
Hallo, um auf die Frage im Eröffnungsbeitrag zurück zu kommen:
$ [mm] 2x^{2}+xy-6y^{2}+4x+y+2=0 [/mm] $
Die gefragte quadratische Ergänzung ist: [mm] \bruch{2}{16}y^{2}
[/mm]
$ [mm] 2x^{2}+xy+\bruch{2}{16} y^{2}-6y^{2}-\bruch{1}{8} y^{2}+4x+y+2=0 [/mm] $
$ [mm] 2(x+\bruch{y}{4})^2-\bruch{49}{8} y^2+4x+y+2=0 [/mm] $
Substitution: $ [mm] x+\bruch{y}{4}=u\ [/mm] ;\ y=y $
$ [mm] 2u^2-\bruch{49}{8} y^2+ [/mm] ... =0 $
... usw.
mit dem bereits bekannten Ergebnis.
Ciao Calli
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