Quadratische Ergänzung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Wann muss ich denn die quadratische Ergänzung machen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
das wollte ich wissen ;).
Ich hab hier ne Beispielaufgabe:
f(x)=x²-6x+3-3+3
=(x-3)²-6
Und meine Frage ist jetzt, wie man hinten auf die -6 kommt.
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Hallo.
Also noch mal zu deiner ersten Frage, wann du die quadratische Ergänzung benutzen musst:
Du benutzt sie, wenn du Nullstellen von etwas suchst, die allgemeine Formel dafür lautet:
[mm] x^{2} [/mm] + px + q = 0
So, nun zu deiner Beispielaufgabe:
Ich gehe davon aus, das die Ursprungsaufgabe wie folgt lautete:
[mm] x^{2} [/mm] - 6x + 3 = 0
Das du nicht auf die -6 kommst, liegt daran, dass sich in deinem Beispiel ein Fehler eingeschen hat.
Es heißt nicht [mm] x^{2} [/mm] - 6x + 3 - 3 + 3 sondern [mm] x^{2} [/mm] - 6x + [mm] 3^{2} [/mm] - [mm] 3^{2} [/mm] + 3.
Die ersten 3 Zahlen des Terms fasst du zu der Binomischen Formel zusammen, deshalb (x - [mm] 3)^{2}.
[/mm]
Die restlichen - [mm] 3^{2} [/mm] + 3 ergeben schließlich die -6.
Weißt du wie man auf die + [mm] 3^{2} [/mm] - [mm] 3^{2} [/mm] kommt? Weil das ist ja genau die quadratische Ergänzung.
Liebe Grüße, Nadine
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Huch, dummer Fehler. ;)
Aber ich weiß leider nicht, wie man auf die Ergänzung kommt. Wenn du so lieb wärst und mir das nochmal erklären könntest :) Weil ich schreib morgen Mathe ^^
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:50 Do 13.10.2005 | | Autor: | Pacapear |
Hi.
Klar erklär ich es dir gerne.
Also du hast ja die Ausgangsform [mm] x^{2} [/mm] + px + q bzw. [mm] x^{2} [/mm] - px + q
Auf die quadratische Ergänzung kommt man wie folgt:
[mm] x^{2} [/mm] + px + [mm] (\bruch{p}{2})^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{p}{2})^{2} [/mm] + q bzw. [mm] x^{2} [/mm] - px + [mm] (\bruch{p}{2})^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{p}{2})^{2} [/mm] + q
(Das ist die allgemeine Formel für die quadratische Ergänzung)
Betrachte nun die ersten 3 Teile des Terms: [mm] x^{2} [/mm] + px + [mm] (\bruch{p}{2})^{2} [/mm]
bzw. [mm] x^{2} [/mm] - px + [mm] (\bruch{p}{2})^{2}.
[/mm]
Das ergibt die binomische Formeln: (x + [mm] p)^{2} [/mm] und (x - [mm] p)^{2}
[/mm]
Dann bleibt noch der hintere Teil: - [mm] (\bruch{p}{2})^{2} [/mm] + q
Das rechnest du nun einfach aus.
Das ergibt dann im gesamten sowas wie in deinem Beispiel, also z.B. (x + [mm] 2)^{2} [/mm] - 5
Ganz wichtig: Hinter der Klammer muss auf jeden Fall ein Minus stehen! Steht dort ein Plus, so existieren für die vorgegebene Gleichung KEINE Nullstellen.
Steht garnix hinter der Klammer, so kann man Nullstellen bestimmen
Weißt du, wie man weiter auf die Nullstellen kommst, wenn man die quadratische Ergänzung gemacht hat?
LG, Nadine
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Steh grad voll auffem Schlauch :D
Biddi erklären *sorry*
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft | | Datum: | 21:11 Do 13.10.2005 | | Autor: | Pacapear |
Hallo.
Also am besten erklär ich dir die Nullstellenbestimmung an einem Beispiel:
1. Fall: Hinter der Klammer steht ein Minus
(x + [mm] 2)^{2} [/mm] - 9 = 0
So, nun musst du aus beiden Teilen die Wurzel ziehen. Beachte: aus der 4 kann man die positive und negative Wurzel ziehen.
[mm] \Rightarrow [/mm] x + 2 + 3 = 0 und x + 2 - 3 = 0
Nun einfach ausrechen: x + 5 = 0 und x - 1 = 0
also: x = -5 und x = 1
Das heißt, du hast 2 Nullstellen gefunden, und zwar an den Stellen x = -5 und x = 1. Als Punkt hättest du dann (-5 / 0) und (1 / 0)
2. Fall: Hinter der Klammer steht ein Plus
(x + [mm] 2)^{2} [/mm] + 9 = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] keine Lösung.
Wie schon gesagt, wenn hinter der Klammer ein Plus steht, dann liefert die Gleichung keine Lösung. Die Gleichung hat also keine Nullstellen.
3. Fall: Hinter der Klammer steht nix
(x + [mm] 2)^{2} [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] (x + 2) * (x + 2) = 0
Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] (x + 2) = 0 und (x + 2) = 0
Also x = -2 und x = -2
Du hast also eine doppelte Nullstelle.
Doppelte Nullstelle bedeutet: Der Graph berührt die Achse, bei einer einfachen Nullstelle schneidet er die Achse.
Soweit alles klar, oder hast du noch Fragen oder vielleicht ein weiteres Beispiel bei dem du Hilfe brauchst? Ansonsten viel Glück für die Klausur morgen.
LG, Nadine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Do 13.10.2005 | | Autor: | Pacapear |
Alles klar.
Viel Glück morgen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Do 13.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Nadine!
> Das ergibt die binomische Formeln: (x + [mm]p)^{2}[/mm] und (x -
> [mm]p)^{2}[/mm]
Vermutlich ist es ein Tipp- oder Flüchtigkeitsfehler, aber hier muss in der Klammer jeweils [mm]\br{p}{2}[/mm] stehen!
> Dann bleibt noch der hintere Teil: - [mm](\bruch{p}{2})^{2}[/mm] +
> q
>
> Das rechnest du nun einfach aus.
>
> Das ergibt dann im gesamten sowas wie in deinem Beispiel,
> also z.B. (x + [mm]2)^{2}[/mm] - 5
>
> Ganz wichtig: Hinter der Klammer muss auf jeden Fall ein
> Minus stehen! Steht dort ein Plus, so existieren für die
> vorgegebene Gleichung KEINE Nullstellen.
Das stimmt so nicht ganz, es kann durchaus vorkommen, dass dort ein Plus steht. Wie du richtig sagst, hat die Funktion dann zwar keine Nullstellen, sprich die Gleichung mit der du angefangen hast, hätte keine Lösung, aber man verwendet die quadratische Ergänzung auch in anderem Zusammenhang (z.B. Scheitelform von Parabeln) und da kann das mit dem Plus schon sein!
Gruß taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Do 13.10.2005 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Taura.
Ja, dem kann ich zustimmen mit dem Plus. Allerdings habe ich das nicht mit in die Antwort eingebracht, da es ja darum ging, was die Quadratische Ergänzung ist, und wie man die Nullstellen bestimmt.
Und dafür sind ja nur die 3 Fälle MINUS, PLUs und NIX hinter der Klammer von Bedeutung.
LG, Nadine
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Wenn du eine Aufgabe bekommst, wo steht "Löse mit quadratischer Ergänzung", dann würde ich es auch so machen. Ansonsten bevorzuge ich die 
PQFormel![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
