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| Aufgabe | Hallo, ich hätte eine Frage:
Wie löse ich die Gleichung [mm] x^2 [/mm] - x - 3 = 0 in Q(√2), also bei quadratischer Erweiterung?
Ich bin echt am Verzweifeln, weil ich einfach nicht weiß, wie das funktioniert, und in der mir zur Verfügung stehenden Literatur fand ich leider nichts!!
Vielen Dank für die Hilfe!!
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Hallo, ich hätte eine Frage:
Wie löse ich die Gleichung [mm] x^2 [/mm] - x - 3 = 0 in Q(√2), also bei quadratischer Erweiterung?
Ich bin echt am Verzweifeln, weil ich einfach nicht weiß, wie das funktioniert, und in der mir zur Verfügung stehenden Literatur fand ich leider nichts!!
Vielen Dank für die Hilfe!!
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Mo 30.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Ich schätze mal, dass es keine Lösung in Q(√2) gibt.
1.Variante: Die Lösung im Oberkörper R ist kein Element von Q(√2).
2.Variante: Du setzt x= a + b√2 an (a,b aus Q) und versuchst a und b zu bestimmen. (Geht aber nicht auf!)
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Hallo,
danke für deine schnelle Antwort!! Ich kann also solche Gleichungen lösen, indem isch x durch a + b√2 ersetze und für a, b aus Q versuche, eine Lösung zu finden?! Sind solche Gleichungen alle so lösbar??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Ja, dieser Ansatz führt (theoretisch) immer zum Ziel.
Dabei ist aber folgendes zu beachten:
Du erhälst dann 2 Polynom-Gleichungen jeweils in "gemischten" (rationalen) a und b. Die sind i. A. schwer zu lösen.
Ist Dir klar wie und warum Du zwei Gleichungen erhälst?
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Hi MicMuc,
erst mal vielen Dank, dass du dich am Feiertag mit meinem Problem befasst!!!
Ich weiß nicht so genau, wie und warum ich 2 Gleichungen erhalte!! Ich hatte einfach die mir gegebene Gleichung [mm] x^2 [/mm] - x - 3 = 0 nach x umgestellt und die Nullstellen berechnet: x1,2 = 0,5 +- √(13/4)= 0,5 +- 0,5√13. Und dann dachte ich, dass ich 0,5 + 0,5√13 und 0,5 - 0,5√13 irgendwie auf die Form a + b√2 bringen kann, was aber nicht funktioniert :(
Somit wärde die Gleichung in Q(√2) für meinen Horizont jedenfalls doch gar nicht lösbar. Oder?
Gruß
Clara
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Das entspricht der Variante 1:
Du gibst die Lösungen in Oberkörper R an und argumentierst, dass diese nicht in Q(√2) liegen.
(Dazu reicht es hier zu zeigen, dass √13 nicht in Q(√2) liegt.)
Variante 2:
Wenn Du x=a+b√2 ansetzt und die linke Seite ausrechnest, kommst Du auf einen Ausdruck der Form:
c+d√2
Dabei sind c und d eigentlich Polynomausdrücke in den Variablen a und b.
Damit nun gilt:
c+d√2=0, muss:
1) c = 0 und
2) d= 0 gelten.
Daher kommen dann die "zwei neuen Gleichungen".
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Hi MicMuc,
das mit den Gleichungen verstehe ich jetzt. Ich habe jetzt links statt x die Form a+b√2 eingesetzt und erhalte über umformen a2 + 2b2 a 3 + 3b√2 = 0 die beiden Gleichungen
1) a2 + 2b2 a 3 = 0 (wobei c = a2 + 2b2 a 3)
2) 3b√2 = 0 (wobei d = 3b)
Es ist mir auch klar, dass c und d Null sein müssen. Soweit ist alles ok.
Aber was mache ich jetzt mit den Gleichungen 1) und 2) eigentlich weiter? Muss ich zeigen, dass diese nicht Null werden können? Aber sie können ja Null werden, nämlich für a1,2 = 0,5 +- 0,5√13 und b = 0.
Dann könnte ich ja zB sagen: a + b√2 = 0,5 + 0,5√13 + 0*√2 (wobei a = 0,5 + 0,5√13 und b = 0), aber dies entspricht gerade nicht a + b√2, weil zumindest a (wegen der enthaltenen √13) nicht Element von Q ist. Und dann hätte ich also quasi auch mit Variante 2 das Ergebnis, dass die mir gegebene Gleichung in Q(√2) nicht lösbar ist!!
Und eine Frage hätte ich außerdem noch: Wie wäre das Ergebnis, wenn ich für b = 0 bekäme, für a aber zB 3. Dann hätte ich ja a + b√2 = 3 + 0*√2 = 3. Würde das Ergebnis in Q(√2) liegen?
Es tut mir leid, ich stelle mich wahrscheinlich ziemlich dumm an, aber ich habe schon Bücher gewälzt aber nirgendwo gefunden, wie man in Q(√2) rechnet!!
Danke schon mal im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Also dann machen wir das einmal:
1) In [mm] $x^2-x-3$ [/mm] setzen wir [mm] $x=a+b\wurzel{2}$ [/mm] ein:
[mm] $(a+b\wurzel{2})^2-(a+b\wurzel{2}) [/mm] -3$
[mm] $=a^2+2ab\wurzel{2}+2b^2-a-b\wurzel{2}-3$
[/mm]
[mm] $=(a^2+2b^2-a-3) [/mm] + [mm] (2ab\wurzel{2}-b\wurzel{2})$
[/mm]
Jetzt soll gelten:
[mm] $(a^2+2b^2-a-3)=0$ [/mm] und [mm] $2ab\wurzel{2}-b\wurzel{2}=0$
[/mm]
Hier würde man wohl bei der zweiten Gleichung anfangen:
[mm] $2ab\wurzel{2}-b\wurzel{2}=0$
[/mm]
[mm] $b\wurzel{2}(2a-1)=0$
[/mm]
Es gibt zwei Fälle:
I) $b=0$ bzw. [mm] $a=\bruch{1}{2}$.
[/mm]
Zu I) Wir suchen nun eine echt rationalen Lösung der Gleichung, wie wir eigentlich schon wissen, gibt es die nicht ...
Zu II) Für uns eigentlich viel interessanter, [mm] $a=\bruch{1}{2}$ [/mm] einsetzen:
[mm] $\bruch{1}{4} [/mm] + [mm] 2b^2-\bruch{1}{2}-3=0$
[/mm]
... ergibt
[mm] $b^2=\bruch{13}{8}$
[/mm]
Geht auch nicht.
Aber zumindest hat man hier nun eine Gleichung, die von der Ausgangsgleichung verschieden ist. Theoretisch könnte es also passieren, dass Du eine rationale Lösung für b findest.
Zusammen mit [mm] $a=\bruch{1}{2}$ [/mm] hättest Du dann eine Lösung aus Q(√2), die aber nicht in Q selbst liegt.
2) Jede rationale Zahl liegt auch in Q(√2), hast Du eigentlich schon selber hingeschrieben ...
3) Allgemein rechnet man in Q(√2) halt gerade mit den Zahlen a+b√2, a,b rational.
Bemerkung: Das in Q(√2) alle Zahlen obige Form haben ist zuerst einmal gar nicht klar.
Zuerst einmal definiert man Q(√2) als den kleinsten Oberkörper von Q der auch die Zahl √2 enthält. Dies sagt noch nichts über eine expilizite Dartstellung aller Zahlen in Q(√2) aus. Es ist aber hier sehr einfach zu zeigen, dass jede Zahl aus Q(√2) die Form a+b√2 besitzt.
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Hi MicMuc,
ich Dussel hab mich verrechnet und ein a unterschlagen!! Wirklich sehr nett, dass du mir so ausführlich geantwortet hast!! Ich habe nur noch eine letzte Frage zu Deiner Antwort: Wenn ich zB die Lösung a = ½ und für b auch eine rationale Lösung finde, wieso ist das dann eine Lösung aus Q(√2), die aber nicht in Q selbst liegt?? Das versteh ich nicht? ½ ist doch eine rationale Zahl, und wenn ich für b auch eine rationale Lösung finde, habe ich dann nicht eine Lösung die sowohl in Q als auch Q(√2) liegt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Nehem wir einmal an [mm] $a=\bruch{1}{2}$ [/mm] führt zu
[mm] $b^2=\bruch{25}{4}$.
[/mm]
Dann hast die Lösungen
[mm] $\bruch{1}{2}+\bruch{5}{2}\wurzel{2}$ [/mm] und
[mm] $\bruch{1}{2}-\bruch{5}{2}\wurzel{2}$ [/mm]
gefunden.
Dies sind sicherlich keine rationalen Zahlen, da [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] keine rationale Zahl ist.
Beweisidee:
Angenommen [mm] $\bruch{1}{2}+\bruch{5}{2}\wurzel{2}$ [/mm] ist rational, dann ist auch
[mm] $\bruch{5}{2}\wurzel{2}$ [/mm] rational, dann ist auch
[mm] $\wurzel{2}$ [/mm] rational. Widerspruch
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Hi MicMuc,
Deine Erklärung ist absolut plausibel. Die Zahl selbst 1/2 + 5/2√2 (also mit a = 1/2 und
b = 5/2) liegt nicht in Q. Logisch. Aber diese Zahl liegt in Q(√2), und sie ist dann eine Lösung für meine in Q(√2) zu lösende Gleichung, denn es müssen ja nur a und b selbst in Q liegen (und natürlich auch 2)!!! Nur hier bekomme ich für b eben keine rationale Zahl, sondern √(13/4), und somit gibt es keine in Q(√2) liegende Lösung. Alles klaro soweit.
Abschließende Frage: Wie wäre es denn, wenn ich als Lösung a = 0 und/oder b = 0 bekomme? Liegt diese Lösung dann trivialer Weise in Q(√2), auch wenn √2 wegen b = 0 quasi herausfällt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
a=0: Du erhälst ein (gebrochenes) Vielfaches von √2
b=0: Du erhälst eine echt rationale Zahl
a=0=b: Du erhälst 0 (liegt in jedem Körper ...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Di 01.05.2007 | | Autor: | clarakami |
Hi MicMuc,
vielen Dank für Deine klasse Hilfe!!!! Konnte jetzt die Aufgaben alle sinnvoll bearbeiten!! 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:18 Di 01.05.2007 | | Autor: | clarakami |
Hi MicMuc,
ich bins doch noch mal. Ich habe alle Gleichungen nun lösen können. Aber bei einer Aufgabe komme ich nicht weiter:
Es soll untersucht werden, ob a= [mm] \wurzel[3]{10 + 6*\wurzel{3}} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{10 - 6*\wurzel{3}} [/mm] in einer quadratischen Erweiterung von Q liegt.
Ich habe versucht, diesen Ausdruck in die Form a = b + c√d zu bringen, allerdings misslingt das!
Hast Du vielleicht eine Idee?
Gruß
clarakami
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Du solltest nicht den Ansatz [mm] a+b\wurzel{2}machen, [/mm] weil du dabei zuviel rechnen musst. Dieses Verfahren lohnt sich evtl. bei Polynomen höheren Grades, weil dort die Nullstellenbestimmung oft komplizierter ist.
Löse einfach deine Gleichung wie herkömmlich mit der p-q-Formel und versuche, den Wurzelausdruck auf [mm] \wurzel{2} [/mm] zu vereinfachen. Gelingt dies nicht wie bei dieser Aufgabe, gibt es keine Lösung.
Anderes Beispiel: [mm] x^2-6x+1=0 [/mm]
x=3 [mm] \pm \wurzel{8}=3 \pm 2\wurzel{2}
[/mm]
oder [mm] x^2-2/5x+1/50=0 [/mm]
x=1/5 [mm] \pm \wurzel{1/25-1/50}=1/5 \pm \wurzel{1/50}=1/5 \pm \wurzel{2/100}=1/5 \pm 1/10\wurzel{2}=
[/mm]
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Hallo HJKweseleit,
vielen Dank für die Hilfe!!!!!!!!!!!! Verstehe jetzt dank Ihnen und MicMuc in etwa, wie das funktioniert!!
Eine Frage hätte ich noch:
Wenn man bei a = 3√(10 + 6√3) + 3√(10 - 6√3) (die äußeren Wurzeln sollen jeweils Kubikwurzeln sein)
prüfen soll, ob a in einer quadratischen Erweiterung von Q liegt, muss ich also auch einfach versuchen, diesen Ausdruck in die Form a = b + c√d zu bringen (b, c, d Element Q)? Wenn das gelingt, liegt a in der quadratischen Erweiterung?!
Dankeschön,
clarakami
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Völlig richtig. Wie man das aber "einfach" nachweist, sehe ich im Moment nicht. Der Ausdruck erinnert an die Lösung einer kubischen Gleichung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Wenn Du nachweisen kannst das die obige Zahl z.B. die Nullstelle eines über Q irreduziblen Polynoms vom Grad 3 ist, sagt die Theorie, dass die Zahl in keiner quadratischen Erweiterung von Q liegen kann.
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Hi MicMuc,
??? was ist denn ein über Q irreduziblen Polynoms vom Grad 3 ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Das wäre ein Polynom in Q[x] vom Grad 3, welches in Q[x] über Q keinen linearen Teiler (x-q) besitzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Di 01.05.2007 | | Autor: | clarakami |
Hi MicMuc,
danke für deine Erklärung, auch wenn ich nícht weiß, wie ich das machen kann :-(, also ich wüsste jetzt nicht, wie ich das rechnen oder zeigen kann. Aber wahrscheinlich ist der Rechenweg wohl doch sehr aufwendig? Ich will dich jetzt auch nicht weiter nerven, du hast mir schon genug geholfen heute!!
clara
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Hallo MicMuc,
ich hätte da noch eine Anmerkung zu der Gleichung [mm] x^2 [/mm] - x - 3 = 0.
Bei Verwendung der p-q-Formel erhalte ich als Nullstellen x1,2 = 0,5 +- √(13/4)= 0,5 +- 0,5√13. Da könnte ich ja sagen, dass a = 0,5 und b = +-0,5, also 2 rationale Zahlen, aber wegen √13 liegt die Lösung nicht in Q(0,5√2).
Wenn ich die Variante 2 gehe und für x die Zahl a + b√13 einsetze, dann erhalte ich ja die beiden Gleichungen [mm] a^2 [/mm] + [mm] 2b^2 [/mm] -a - 3 = 0 und
2ab√2 - b√2 = 0. Über die zweite Gleichung kriege ich a = o,5 und b = 0.
Setze ich a = 0,5 in Gleichung 1 ein, kriege ich [mm] 2b^2 [/mm] = 13/4, also [mm] b^2 [/mm] = 13/8, also b = √(13/8) = 0,5√(13/2). Also quasi bekäme ich hier als Lösung a= 0,5 und b = 0,5, aber hier habe ich dann
√(13/2) statt wie oben √13. Ich dachte, dass ich über Variante 2 genau die Lösung(en) bekomme, die ich bei der p-q-Formel raushatte, aber das ist wohl Quatsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Mi 02.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Natürlich bekommst Du die gleichen Lösungen heraus:
[mm] $\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{13}{8}} \cdot \wurzel{2}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{2} \pm \bruch{\wurzel{13}}{2}$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Mi 02.05.2007 | | Autor: | clarakami |
Alles klar, da hatte ich mich irgendwie verzettelt!! 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Mi 02.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dann erlaube ich mir mal, das ganze als Mitteilung statt als Frage zu werten.
Marius
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