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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Fr 14.06.2013 | | Autor: | Rated-R |
| Aufgabe | Sei [mm] q(x)=x^T.A.x [/mm] eine quadratische Form mit
[mm] A=\pmat{ 0 & 1/4 & 0 \\ 1/4 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0}
[/mm]
berrechnen sie die zu A kongurente Diagonalmatrix [mm] D=P^T.A.P [/mm] sowie die Matrix [mm] P^T [/mm] |
Hallo,
die Aufgabe scheint eigentlich leicht nur komm in in der Rechnung nicht weiter
[mm] (A|E_3)= (\vmat{ 0 & 1/4 & 0 \\ 1/4 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0}|\vmat{ 1 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 &0 & 1})
[/mm]
(leider nicht die richtige Syntax, ich hoffe ihr versteht was ich meine)
ich muss jetzt die erste Matrix auf eine Diagonalform bringen, also das Gleichungssystem lösen, ist ja ähnlich wie Inverse, aber leider hat meine Matrix A nicht den vollen Rang,
[mm] (A|E_3)'_{Zeile3-4*Zeile1}= (\vmat{ 0 & 1/4 & 0 \\ 1/4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}|\vmat{ 1 & 0& 0 \\ 0 & 1 & 0\\ -4 &0 & 1})
[/mm]
wie kann ich jetzt die erste Matrix auf Dia. Form bringen, oder habe ich etwa falsch verstanden?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß Tom
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> Sei [mm]q(x)=x^T.A.x[/mm] eine quadratische Form mit
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1/4 & 0 \\ 1/4 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> berrechnen sie die zu A kongurente Diagonalmatrix [mm]D=P^T.A.P[/mm]
> sowie die Matrix [mm]P^T[/mm]
Hallo,
> wie kann ich jetzt die erste Matrix auf Dia. Form bringen,
> oder habe ich etwa falsch verstanden?
Ja.
Es geht hier nicht darum, die Inverse von A zu bestimmen, sondern um das, was oben gesagt wird.
Sichworte: Eigenwerte, Eigenvektoren, orthogonale Diagonalisierung
oder auch "Orthogonalbasis bzgl A".
LG Agela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Rated-R |
Hi angela,
danke für deine Hilfe.
Eigenwerte wären 0, 1/4*sqrt(17),-1/4*sqrt(17)...eigentlich unschöne
wäre dann [mm] D=\pmat{ 1/4*sqrt(17) &0 &0 \\ 0 & -1/4*sqrt(17) &0 \\ 0 &0 & 0 }
[/mm]
jetzt müssten die Eigenvektoren die Spalten von [mm] P^T [/mm] sein
Aber eigentlich ist das ja Ähnlichkeit und nicht Kongruenz, ich habe irgendwie Kongruenz als Diagonalmatrix aufgefasst die nur die Einträge {-1,0,1} enthält also die Signatur.
gruß Tom
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> Hi angela,
>
> danke für deine Hilfe.
>
> Eigenwerte wären 0,
> 1/4*sqrt(17),-1/4*sqrt(17)...eigentlich unschöne
>
> wäre dann [mm]D=\pmat{ 1/4*sqrt(17) &0 &0 \\ 0 & -1/4*sqrt(17) &0 \\ 0 &0 & 0 }[/mm]
>
> jetzt müssten die Eigenvektoren die Spalten von [mm]P^T[/mm] sein
>
> Aber eigentlich ist das ja Ähnlichkeit und nicht
> Kongruenz,
Hallo,
wenn Du eine orthogonale Matrix P gefunden hast, die tut was sie soll, dann ist die Aufgabe gelöst.
Da auch [mm] P^T=P^{-1} [/mm] ist, sind die Matrizen sagar ähnlich. Stört's wen?
> ich habe irgendwie Kongruenz als Diagonalmatrix
> aufgefasst die nur die Einträge {-1,0,1} enthält also die
> Signatur.
Davon steht im Aufgabentext zumindest nichts.
Aber wie bereits gesagt: Du kannst Dich ja auch auf die Suche nach inrdenddrei Vektoren machen, die paarweise orthogonal bzgl A sind.
LG Angela
>
> gruß Tom
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