Quadratische Formen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
| Aufgabe | Sei V ein zweidimensionaler K-Vektorraum und Q: V [mm] \mapsto \IR [/mm] eine quadratische Form. Zeigen Sie:
a) Ist [mm] K=\IR [/mm] , so gibt es eine Basis [mm] B={v_1,v_2} [/mm] von V, sodass Q eine der folgenden Formen hat:
Q( [mm] \lambda_1v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2v_2) [/mm] = [mm] \lambda^{2}_1 [/mm] + [mm] \lambda^{2}_2 [/mm] (resp. = [mm] \lambda^{2}_1-\lambda^{2}_2, =-\lambda^{2}_1 -\lambda^{2}_2, =\lambda^{2}_1, =-\lambda^{2}_1, [/mm] =0)
b) Ist [mm] K=\IC [/mm] , so gibt es eine Basis [mm] B={v_1,v_2} [/mm] von V, sodass Q eine der folgenden Formen hat:
Q( [mm] \lambda_1v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2v_2) [/mm] = [mm] \lambda^{2}_1 [/mm] + [mm] \lambda^{2}_2 [/mm] (resp. [mm] =\lambda^{2}_1, [/mm] =0) |
Hallo!
Kann mir jemand bei einem Ansatz für die Aufgabe helfen, denn ich versteh nicht wie Q irgendeine der obengenannten Formen haben kann. In der Aufgabe heißt es ja zunächst
Q( [mm] \lambda_1v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2v_2) [/mm] = [mm] \lambda^{2}_1 [/mm] + [mm] \lambda^{2}_2
[/mm]
Aber wie kommen die auf diese Aussage?Wo sind [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] hin verschwunden? Wie kommen die auf die verschiedenen Lösungen usw.
Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben wie ich diese quadratische Form bearbeiten kann!
Danke im voraus!
MfG
Pubär
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:58 Di 23.05.2006 | | Autor: | baskolii |
Wie habt ihr denn quadratische Formen definiert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Di 23.05.2006 | | Autor: | Pubaer |
Wir haben die quadratische Form folgendermaßen definiert:
Sei S= { [mm] x_1,x_2 [/mm] } eine Basis von E. Dann ist [mm] \phi [/mm] :E [mm] \mapsto [/mm] K eine quadratische Form genau dann, wenn es Elemente [mm] d_{ij} \in [/mm] K gibt, so daß [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \summe_{i} \summe_{j} d_{ij}a_i a_j [/mm]
[mm] \forall x=\summe_{i} a_i x_i
[/mm]
Außerdem kann eine quadratische Form meherere erzeugende Bilinearformen haben.
Aber genau diese Definition ist ein Teil meines Problems, da ich sie nicht verstehe. Vielleicht kann mir ja jemand dabei helfen, wie ich sie im Bezug zur Aufgabe verstehen muss.
Gruß
Pubär
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Mi 24.05.2006 | | Autor: | felixf |
Sali Pubaer!
Was genau ist denn dein Problem mit der Definition?
> Wir haben die quadratische Form folgendermaßen definiert:
>
> Sei S= [mm]\{x_1,x_2\}[/mm] eine Basis von E. Dann ist [mm]\phi[/mm] :E
> [mm]\mapsto[/mm] K eine quadratische Form genau dann, wenn es
> Elemente [mm]d_{ij} \in[/mm] K gibt, so daß [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\summe_{i} \summe_{j} d_{ij}a_i a_j[/mm]
> [mm]\forall x=\summe_{i} a_i x_i[/mm]
Hier wird doch nur gesagt: Wenn du eine Basis [mm] $x_1, \dots, x_n$ [/mm] von $E$ hast, dann gibt es [mm] $d_{ij} \in [/mm] K$ so, dass wenn du einen Vektor $x$ bezueglich dieser Basis darstellst, also $x = [mm] \sum a_i x_i$ [/mm] mit [mm] $a_i \in [/mm] K$, du dann $q(x) = [mm] q(\sum a_i x_i) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n d_{ij} a_i a_j$ [/mm] hast (die Summe von $j$ geht bei $i$ los, damit jedes Produkt [mm] $a_i a_j$ [/mm] genau einmal vorkommt).
> Außerdem kann eine quadratische Form meherere erzeugende
> Bilinearformen haben.
Das beschreibt eine 'andere' Moeglichkeit, an quadratische Formen zu kommen. Du kannst naemlich eine Bilinearform $b : E [mm] \times [/mm] E [mm] \to \IR$ [/mm] nehmen und damit durch $q(x) := b(x, x)$ eine quadratische Form definieren. Umgekehrt kannst du aus jeder quadratischen Form $q$ wieder eine symmetrische Bilinearform bekommen! Wenn du $q$ wie oben gegeben hast (mit den [mm] $d_{ij}$, [/mm] und $x = [mm] \sum a_i x_i$ [/mm] und $y = [mm] \sum b_i x_i$ [/mm] ist, dann ist $b(x, y) := [mm] \sum_{i=1}^n d_{ii} x_i y_i [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n d_{ij} \frac{1}{2} (x_i y_j [/mm] + [mm] x_j y_i)$ [/mm] eine solche symmetrische Bilinearform!
Tja, und du kannst natuerlich auch noch andere (nicht symmetrische) Bilinearformen finden, die ueber die Konstruktion auch $q$ ergeben. Deshalb ist die Bilinearform nicht eindeutig...
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Di 23.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei V ein zweidimensionaler K-Vektorraum und Q: V [mm]\mapsto \IR[/mm]
> eine quadratische Form. Zeigen Sie:
Fuer die Aufgaben brauchst du den Spektralsatz (ein passender Spezialfall wird auch als Hauptachsentransformation bezeichnet). Den hattet ihr sicher schon. Wie lautet der Satz?
Du musst der quadratischen Form eine symmetrische (bzw. hermitesche) Bilinearform zuordnen. Dann kannst du den Spektralsatz fuer diese benutzen und die Aussage zurueck auf die quadratische Form uebertragen.
> a) Ist [mm]K=\IR[/mm] , so gibt es eine Basis [mm]B={v_1,v_2}[/mm] von V,
> sodass Q eine der folgenden Formen hat:
> Q( [mm]\lambda_1v_1[/mm] + [mm]\lambda_2v_2)[/mm] = [mm]\lambda^{2}_1[/mm] +
> [mm]\lambda^{2}_2[/mm] (resp. = [mm]\lambda^{2}_1-\lambda^{2}_2, =-\lambda^{2}_1 -\lambda^{2}_2, =\lambda^{2}_1, =-\lambda^{2}_1,[/mm]
> =0)
>
> b) Ist [mm]K=\IC[/mm] , so gibt es eine Basis [mm]B={v_1,v_2}[/mm] von V,
> sodass Q eine der folgenden Formen hat:
> Q( [mm]\lambda_1v_1[/mm] + [mm]\lambda_2v_2)[/mm] = [mm]\lambda^{2}_1[/mm] +
> [mm]\lambda^{2}_2[/mm] (resp. [mm]=\lambda^{2}_1,[/mm] =0)
> Hallo!
>
> Kann mir jemand bei einem Ansatz für die Aufgabe helfen,
> denn ich versteh nicht wie Q irgendeine der obengenannten
> Formen haben kann. In der Aufgabe heißt es ja zunächst
> Q( [mm]\lambda_1v_1[/mm] + [mm]\lambda_2v_2)[/mm] = [mm]\lambda^{2}_1[/mm] +
> [mm]\lambda^{2}_2[/mm]
> Aber wie kommen die auf diese Aussage?Wo sind [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm]
> hin verschwunden?
Die stecken in der quadratischen Form. Was erwartest du denn, was aus einer quadratischen Form herauskommt? Ein Vektor? Da soll ein Skalar herauskommen, und deine Skalare sind hier nunmal [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$.
[/mm]
LG Felix
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