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| Aufgabe | Gegeben sei die quadratische Funktion : [mm] ax^2+bx+c.
[/mm]
Bestimme den Scheitelpunkt durch Anwendung der Differentialrechnung
Ich habe die Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt |
Hallo,
habe die Aufgabe eigentlich schon gelöst, nur komme ich an einem Punkt nicht weiter.
Ich leite die Funktion ab und suche die Nullstelle der ersten Ableitung:
f'(x) = 2ax+b
[mm] \bruch{-b}{2a}= [/mm] x
Um den y-Wert zu errechnen, setze ich nun in f den x-wert ein, so dass:
f(x) = [mm] a*(\bruch{-b}{2a}){^2}+b*\bruch{-b}{2a}+c
[/mm]
Ich kenne das Ergbnis: [mm] \bruch{4ac-b^2}{4a} [/mm] habe aber keinen Plan wie ich von der Ausgangsgleichung zu der Lösung komme..... .(
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Hallo Barbara,
> Gegeben sei die quadratische Funktion : [mm]ax^2+bx+c.[/mm]
> Bestimme den Scheitelpunkt durch Anwendung der
> Differentialrechnung
>
> Ich habe die Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt
> Hallo,
> habe die Aufgabe eigentlich schon gelöst, nur komme ich
> an einem Punkt nicht weiter.
>
> Ich leite die Funktion ab und suche die Nullstelle der
> ersten Ableitung:
> f'(x) = 2ax+b
> [mm]\bruch{-b}{2a}=[/mm] x ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Um den y-Wert zu errechnen, setze ich nun in f den x-wert
> ein, so dass:
>
> f(x) = [mm]a*(\bruch{-b}{2a}){^2}+b\bruch{-b}{2a}+c[/mm]
Alles ok, nur weiterrechnen:
Es ist [mm] $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=a\cdot{}\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\cdot{}\left(-\frac{b}{2a}\right)+c=a\cdot{}\frac{b^2}{4a^2}-b\cdot{}\frac{b}{2a}+c=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c$
[/mm]
Das rechne nun mal weiter aus: gleichnamig machen ...
>
> Ich kenne das Ergbnis: [mm]\bruch{4ac-b^2}{4a}[/mm] habe aber keinen
> Plan wie ich von der Ausgangsgleichung zu der Lösung
> komme..... .(
Nun aber ...
LG
schachuzipus
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Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe, jetzt komme ich auch auf das Ergebnis (nach dieser Hilfe war es klar, vielen Dank!:
Frage zu 2 Schritten in der Rechnung:
Du schreibst, dass
Es ist $ [mm] f\left(-\frac{b}{2a}\right)=a\cdot{}\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\cdot{}\left(-\frac{b}{2a}\right)+c$
[/mm]
[mm] [red]$=a\cdot{}\frac{b^2}{4a^2}-b\cdot{}\frac{b}{2a}+c$[/red]
[/mm]
Auf einmal ist das Minus-Zeichen weg (im ersten Glied). Ist es so, weil man davon ausgehen kann, dass [mm] b^2 [/mm] immer positiv ist?
[mm] $=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c [/mm] $
Hast du dann den folgenden Term benutz?
[mm] \bruch{(ab)^2}{4a^2}-\bruch{b^2}{2a} [/mm] +c, damit du dann das [mm] a^2 [/mm] kürzen kannst?
Danke, Gruß
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Hallo nochmal,
> Hallo,
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> vielen Dank für deine Hilfe, jetzt komme ich auch auf das
> Ergebnis (nach dieser Hilfe war es klar, vielen Dank!:
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> Frage zu 2 Schritten in der Rechnung:
> Du schreibst, dass
> Es ist
> [mm]f\left(-\frac{b}{2a}\right)=a\cdot{}\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\cdot{}\left(-\frac{b}{2a}\right)+c[/mm]
> [mm]=a\cdot{}\frac{b^2}{4a^2}-b\cdot{}\frac{b}{2a}+c[/mm]
> Auf einmal ist das Minus-Zeichen weg (im ersten Glied).
> Ist es so, weil man davon ausgehen kann, dass [mm]b^2[/mm] immer
> positiv ist?
Du kannst ja [mm] $\left(-\frac{b}{2a}\right)^2$ [/mm] schreiben als [mm] $\left((-1)\cdot{}\frac{b}{2a}\right)^2$
[/mm]
Nun Potenzgesetz [mm] $(a\cdot{}b)^m=a^m\cdot{}b^m$ (\star)
[/mm]
[mm] $=(-1)^2\cdot{}\left(\frac{b}{2a}\right)^2=1\cdot{}\frac{b^2}{(2a)^2}$ [/mm] nach Potenzgesetz [mm] $\frac{a^m}{b^m}=\left(\frac{a}{b}\right)^m$
[/mm]
[mm] $=\frac{b^2}{4a^2}$ [/mm] wieder nach [mm] (\star)
[/mm]
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>
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> [mm]=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c[/mm]
> Hast du dann den folgenden Term benutz?
> [mm]\bruch{(ab)^2}{4a^2}-\bruch{b^2}{2a}[/mm] +c, damit du dann das
> [mm]a^2[/mm] kürzen kannst?
Nein, wie man den Klammerterm im ersten Summanden quadriert, steht hierüber.
Das Ganze wird noch mit dem davorstehenden a multipliziert, das kürzt sich also einmal gegen ein a im Nenner weg.
Damit bleibt als Hauptnenner 4a, die anderen Brüche sind entsprechend gleichnamig gemacht, rechne in Ruhe mal nach ... (du kannst c auffassen als [mm] $\frac{c}{1}$ [/mm] ...)
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> Danke, Gruß
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>
LG
schachuzipus
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