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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Di 07.10.2008 | | Autor: | Ikarus81 |
| Aufgabe | | Bestimmen sie den Wert des Parameters w so, dass die Lösungen der Quadratischen Gleichung [mm] wx^{2} [/mm] + wx -15 =0 sich um 3 Einheiten unterscheiden. Antwort = 7.5 |
Hallo Mathegenies!:-D
Ich bin sonst fit in der Algebra, aber sowas treibt mir den Schweiss auf die Stirn... Wo soll ich anfangen? Weder x noch w ausklammern hat mich näher gebracht... Durch w dividieren würde den Term für die allgmeine Lösungsformel empfehlen, aber ich brauche ja w in abhängigkeit von x1/x2...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
$w=0$ ist offenbar keine Lösung, also können wir [mm] $w\ne0$ [/mm] annehmen. [mm] $wx^2+wx-15=0\gdw x^2+x-15/w=0$. [/mm] Mit dem Satz von Vieta erhälst du für die Lösungen [mm] $x_1,x_2$ [/mm] dieser Gleichung:
1) [mm] x_1+x_2=1
[/mm]
2) [mm] x_1*x_2=15/w.
[/mm]
Damit solltest du weiterkommen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Di 07.10.2008 | | Autor: | Ikarus81 |
vielen dank für die schnelle antwort!
Ich bin gestern auf deine Werte gekommen, wusste da aber nicht mehr weiter. Also ist durch w schon mal richtig, wenigstens dass...;o) Aber eben, anschliessend habe ich nicht nur ein Brett vor dem Kopf, sondern einen ganzen Wald...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> vielen dank für die schnelle antwort!
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> Ich bin gestern auf deine Werte gekommen, wusste da aber
> nicht mehr weiter. Also ist durch w schon mal richtig,
> wenigstens dass...;o) Aber eben, anschliessend habe ich
> nicht nur ein Brett vor dem Kopf, sondern einen ganzen
> Wald...
Also laut Aufgabenstellung soll ja gelten [mm] $x_1-x_2=3$. [/mm] Mit der ersten Gleichung von oben hast du damit ein lineares Gleichungssystem das eindeutig lösbar ist. Das setzt du in die zweite Gleichung von oben ein und berechnest $w$.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Di 07.10.2008 | | Autor: | Ikarus81 |
Ich weiss jetzt dass
x1 + x2 = 1
x1 * x2 = 15/w
x1 - x2 = 3
ist, da stosse ich immer wieder darauf. Nur leider kann ich trotz gutgemeinten Ratschlägen diese tatsache nicht umsetzen oder zumindest nicht so dass ich auf w=7.5 komme.
Grundsätzlich gilt ja [mm] x^{2}-px [/mm] -q = [mm] (x-x_{1})*(x-x_{2}) [/mm] aber ich finde echt keinen weg um w zu berechnen, da habe ich echt bahnhof...
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> Ich weiss jetzt dass
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> x1 + x2 = 1
> x1 * x2 = 15/w
> x1 - x2 = 3
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> ist, da stosse ich immer wieder darauf. Nur leider kann ich
> trotz gutgemeinten Ratschlägen diese tatsache nicht
> umsetzen oder zumindest nicht so dass ich auf w=7.5 komme.
>
> Grundsätzlich gilt ja [mm]x^{2}-px[/mm] -q = [mm](x-x_{1})*(x-x_{2})[/mm]
> aber ich finde echt keinen weg um w zu berechnen, da habe
> ich echt bahnhof...
>
>
Aus den Gleichungen x1+x2=1 und x1-x2=3 lassen
sich x1 und x2 leicht berechnen, wie pelzig schon
angeregt hat.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Mi 08.10.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
der Satz von Vieta lautet anders:
Für eine normierte quadratische Gleichung, d.h. [mm] x^2 [/mm] + px + q = 0
ist die Summe der Lösungen gleich -p und das Produkt der Lösungen gleich q.
D.h. hier gilt: [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = -1 !!!
Außerdem wissen wir: | [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] | = 3.
Diese Gleichungen kann man lösen.
Es gibt aber noch einen eleganteren Lösungsweg:
Fasse die Gleichung als quadratische Funktion auf, dann liegt
deren Scheitel bei -0,5 (Scheitelgleichung!).
Die Nullstellen sind, falls vorhanden, symmetrisch zum Scheitel,
d.h. wir bekommen [mm] x_1 [/mm] = -2 [mm] x_2 [/mm] = 1.
Das Produkt dieser Nullstellen ist -2, also muss w = 7,5 sein
(denn bei der normierten Gleichung ist der konstante Koeffizient -15/w )
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