Quadratische Reste < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Zeige:
Sei [mm] p\in\IP, $p\equiv [/mm] 1$ mod 12. Dann ist 3 quadratischer Rest modulo p. |
Hi!
Hier weiß ich wieder nicht weiter.
p hat also die Form p=1+12k für ein gewisses k. Dann muss ich zeigen:
[mm] (\frac{3}{p})=1 [/mm] bzw. [mm] $3^{\frac{p-1}{2}}\equiv1$ [/mm] mod p. Oder ich gebe ein x an mit [mm] $x^2\equiv [/mm] 3$ mod p, aber das bin ich noch nicht angegangen.
Dann habe ich also [mm] $3^{\frac{p-1}{2}}\equiv 3^{6k}$ [/mm] mod p und dann komme ich schon nicht weiter. Ich weiß nicht, welche Aussagen man über das k machen kann, wenn man weiß, dass 12k+1 eine Primzahl ist. Und ich weiß auch nicht, ob das überhaupt helfen würde.
Ein anderen Ansatz war, die Aussage per Kontraposition zu zeigen.
Also 3 kein quadratischer Rest modulo p [mm] \Rightarrow p\not=1 [/mm] mod 12.
Fall 1: [mm] (\frac{3}{p})=0.
[/mm]
Hier kann man leicht zeigen, dass das Gewünschte folgt.
Fall 2: [mm] (\frac{3}{p})=-1.
[/mm]
Und hier beginnen wieder die Probleme. Ich weiß nicht, wie ich davon ausgehen vernünftige Aussagen über p modulo 12 machen kann.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Sa 21.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Zeige:
> Sei [mm]p\in\IP,[/mm] [mm]p\equiv 1[/mm] mod 12. Dann ist 3 quadratischer
> Rest modulo p.
> Hi!
>
> Hier weiß ich wieder nicht weiter.
> p hat also die Form p=1+12k für ein gewisses k. Dann muss
> ich zeigen:
> [mm](\frac{3}{p})=1[/mm] bzw. [mm]3^{\frac{p-1}{2}}\equiv1[/mm] mod p. Oder
> ich gebe ein x an mit [mm]x^2\equiv 3[/mm] mod p, aber das bin ich
> noch nicht angegangen.
Das würde ich aber versuchen.
Es gilt [mm] x^2-3\equiv [/mm] 0 mod p, woraus mit p=12k+1 auch gilt:
[mm] x^2-3 +(12k+1)\equiv [/mm] 0 mod p; ebenso
[mm] x^2-3 +n*(12k+1)\equiv [/mm] 0 mod p.
Um diese blöde -3 wegzubekommen, könnte man ja mal n=3 wählen.
Es müsste also auch [mm] x^2+36k \equiv [/mm] 0 mod p gelten.
Jetzt müsste man vielleicht überlegen, ob es für jedes k ein solches x gibt.
(Ist nur so eine Idee...)
Gruß Abakus
>
> Dann habe ich also [mm]3^{\frac{p-1}{2}}\equiv 3^{6k}[/mm] mod p und
> dann komme ich schon nicht weiter. Ich weiß nicht, welche
> Aussagen man über das k machen kann, wenn man weiß, dass
> 12k+1 eine Primzahl ist. Und ich weiß auch nicht, ob das
> überhaupt helfen würde.
>
> Ein anderen Ansatz war, die Aussage per Kontraposition zu
> zeigen.
> Also 3 kein quadratischer Rest modulo p [mm]\Rightarrow p\not=1[/mm]
> mod 12.
>
> Fall 1: [mm](\frac{3}{p})=0.[/mm]
> Hier kann man leicht zeigen, dass das Gewünschte folgt.
>
> Fall 2: [mm](\frac{3}{p})=-1.[/mm]
> Und hier beginnen wieder die Probleme. Ich weiß nicht,
> wie ich davon ausgehen vernünftige Aussagen über p modulo
> 12 machen kann.
>
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
>
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für den Hinweis.
Ok, also ich kann versuchen ein x zu finden mit [mm] $x^2+36k\equiv [/mm] 0$. Aus einer Aufgabe von vorher weiß ich auch, dass diese Gleichung Lösungen hat, wenn [mm] (\frac{-144k}{p})=(\frac{-k}{p})\in \{0,1\} [/mm] ist.
Ok, den Fall mit =0 kann man abhaken, der gilt leider nicht. Könnte man noch versuchen zu zeigen, dass -k ein quadratischer Rest modulo p=1+12k ist, aber ich glaube nicht, dass man das so einfach schafft 8wenn es denn überhaupt stimmt!). Also kann ich den Ansatz wohl verwerfen.
Dann habe ich versucht das x mit dem Ansatz ak+b zu wählen, aber das führt mich auch in eine Sackgasse.
Es soll ja gelten: [mm] (ak+b)^2+36k\equiv0(\equiv [/mm] n+12kn für alle n).
[mm] \gdw a^2k^2+(2ab+36-12n)k+b^2-n\equiv0.
[/mm]
Frei wählen kann ich dabei nun n, a und b. Aber ich weiß nicht, wie man n, a, b geschickt wählen kann, sodass dort das Gewünschte raus kommt. Ich weiß nicht einmal, ob das möglich ist. Sieht vielleicht jemand anders eine Möglichkeit? Oder gibt es andere Ansätze?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 So 22.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeige:
> Sei [mm]p\in\IP,[/mm] [mm]p\equiv 1[/mm] mod 12. Dann ist 3 quadratischer
> Rest modulo p.
Nach Voraussetzung ist [mm] $(\frac{p}{3}) [/mm] = 1$. Wende jetzt das quadratische Reziprozitaetsgesetz an.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 So 22.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ah ok, das Gesetz kannte ich noch nicht! Wahrscheinlich kommt es dann in der nächsten Vorlesung dran.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 So 22.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Teufel,
das heißt aber wahrscheinlich auch, dass es eine Lösung ohne Kenntnis dieses Gesetzes gibt. Ich habs auch versucht, aber bisher nichts gefunden.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 So 22.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Könnte auch sein. Aber es kommt öfter vor, dass man Aufgaben noch nicht lösen kann, weil die Vorlesung etwas hinterherhinkt (obwohl das vielleicht auch gewollt ist). Abgabe ist ja erst am Donnerstag und bis dahin kommen noch 2 Vorlesungen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 So 22.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Könnte auch sein. Aber es kommt öfter vor, dass man
> Aufgaben noch nicht lösen kann, weil die Vorlesung etwas
> hinterherhinkt (obwohl das vielleicht auch gewollt ist).
Ok...
Andernfalls wuerd es helfen, wenn du uns genau verraetst was ihr schon hattet und was ihr schon gezeigt habt.
> Abgabe ist ja erst am Donnerstag und bis dahin kommen noch
> 2 Vorlesungen.
Nun, vielleicht habt ihr das quadratische Reziprozitaetsgesetz bis dahin behandelt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 So 22.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Wir haben die Legendre-Funktion erst letzte Vorlesung eingeführt und nur ein paar einfache Sachen bewiesen, z.B. die Euler-Identität, die ich auch versucht habe anzuwenden, dann die Multiplikativität und eher solche Sachen.
Ich warte dann einfach mal ab. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 So 22.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Wir haben die Legendre-Funktion erst letzte Vorlesung
> eingeführt und nur ein paar einfache Sachen bewiesen, z.B.
> die Euler-Identität, die ich auch versucht habe
> anzuwenden, dann die Multiplikativität und eher solche
> Sachen.
> Ich warte dann einfach mal ab. :)
in dem Fall vermute ich, dass abwarten tatsaechlich die beste Loesung ist -- zumindest momentan 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Heute haben wir das quadratische Reziprozitätsgesetzt durchgenommen. Damit flutscht die Aufgabe dann sehr gut durch. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hier ist noch eine Aufgabe vom gleichen Typ.
Zeige, dass für alle [mm] $a\in\IZ$, [/mm] $p,q [mm] \in \IP$ [/mm] ungerade mit [mm] $p\equiv [/mm] q$ mod 4|a| gilt, dass [mm] (\frac{a}{p})=(\frac{a}{q}) [/mm] ist.
Hier habe ich auch keinen vernünftigen Ansatz.
Daher wollte ich das einfach mal in 3 Fälle aufteilen.
[mm] (\frac{a}{p})=1, [/mm] 0 oder -1.
Der Fall mit =0 ist einfach, weil dann p=q folgt.
Die anderen beiden schaffe ich leider nicht. Ich weiß nicht, wo ich genau $p [mm] \equiv [/mm] q$ mod 4|a| [mm] \gdw [/mm] $p=q+4k|a|$ für ein [mm] $k\in \IN$ [/mm] einbringen kann.
Kann jemand vielleicht ein Schlagwort sagen, in welche Richtung ich arbeiten sollte? Sicher gibt es einen einfacheren Weg ohne diese Fallunterscheidung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mo 23.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hier ist noch eine Aufgabe vom gleichen Typ.
>
> Zeige, dass für alle [mm]a\in\IZ[/mm], [mm]p,q \in \IP[/mm] ungerade mit
> [mm]p\equiv q[/mm] mod 4|a| gilt, dass [mm](\frac{a}{p})=(\frac{a}{q})[/mm]
> ist.
>
> Kann jemand vielleicht ein Schlagwort sagen, in welche
> Richtung ich arbeiten sollte?
Quadratische Reziprozitaet
Schau dir erstmal den Fall $a$ prim an. Dann versuche, den allgemeinen Fall darauf zurueckzufuehren.
(Siehe auch hier: da kam exakt die gleiche Frage schonmal.)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ach, verdammt. Doch so einfach. Mir ist nicht eingefallen, dass man das nur für Primfaktoren zeigen muss und dann auch schon alles für allgemeine a folgt. Vielen Dank!
Die nächste Aufgabe habe ich aber mal zur Abwechslung hinbekommen. :) Da hatte ich mal den richtigen Riecher.
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