Quadratische dioph. Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme jeweils alle Lösungen durch natürliche Zahlen der folgenden Kongruenz:
[mm] 2x^{2} [/mm] + [mm] 3y^{2} [/mm] = 100 |
Hallo zusammen,
als Ansatz zu dieser Aufgabe wurde gegeben:
[mm] 2x^{2} [/mm] + [mm] 3y^{2} [/mm] = 100 [mm] \Rightarrow 2x^{2} \equiv [/mm] 1 mod 3
Hir kann ich nun zeigen, dass diese Gleichung nicht lösbar ist.
Allerdings kann ich diese erste Folgerung erst garnicht nachvollziehen...
Wieso gilt [mm] 2x^{2} \equiv [/mm] 1 mod 3 ?
Und meine zweite Frage wäre, wie ich eine solche Gleichung lösen kann, wenn sie lösbar ist...
Ich hoffe Ihr könnt mit weiterhelfen.
Vielen Dank im Voraus.
Gruß Michael
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mi 23.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimme jeweils alle Lösungen durch natürliche Zahlen
> der folgenden Kongruenz:
> [mm]2x^{2}[/mm] + [mm]3y^{2}[/mm] = 100
> Hallo zusammen,
>
> als Ansatz zu dieser Aufgabe wurde gegeben:
> [mm]2x^{2}[/mm] + [mm]3y^{2}[/mm] = 100 [mm]\Rightarrow 2x^{2} \equiv[/mm] 1 mod 3
>
> Hir kann ich nun zeigen, dass diese Gleichung nicht lösbar
> ist.
> Allerdings kann ich diese erste Folgerung erst garnicht
> nachvollziehen...
> Wieso gilt [mm]2x^{2} \equiv[/mm] 1 mod 3 ?
[mm]2x^{2}[/mm] + [mm]3y^{2}[/mm] = 100 wird mod 3 betrachtet.
[mm] 3y^2 [/mm] ist durch 3 teilbar, lässt also Rest 0 mod 3. Die 100 lässt Rest 1 mod 3.
Also: [mm] 2x^2+0 [/mm] lässt den Rest 1 mod 3.
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> Und meine zweite Frage wäre, wie ich eine solche Gleichung
> lösen kann, wenn sie lösbar ist...
Aus [mm] 2x^2 \equiv [/mm] 1 mod 3 und 1 [mm] \equiv [/mm] 4 mod 3 folgt [mm] 2x^2 \equiv [/mm] 4 mod 3 und damit [mm] x^2 \equiv [/mm] 2 mod 3.
Suche also Quadratzahlen mit dieser Eigenschaft (die gibt es aber nicht).
Gruß Abakus
>
> Ich hoffe Ihr könnt mit weiterhelfen.
> Vielen Dank im Voraus.
>
> Gruß Michael
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Und nochmal vielen Dank für Deine Hilfe.
Gruß Michael
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> Bestimme jeweils alle Lösungen durch natürliche Zahlen
> der folgenden Kongruenz:
> [mm]2x^{2}[/mm] + [mm]3y^{2}[/mm] = 100
> Hallo zusammen,
>
> als Ansatz zu dieser Aufgabe wurde gegeben:
> [mm]2x^{2}[/mm] + [mm]3y^{2}[/mm] = 100 [mm]\Rightarrow 2x^{2} \equiv[/mm] 1 mod 3
Hallo,
im vorliegenden Beispiel würde ich zuallererst
einfach mal systematisch probieren, weil ja
ohnehin nur ganz wenige Zahlen in Frage
kommen können. Es muss [mm] x\in\{1,2,\,.....\,,7\} [/mm] und
[mm] y\in\{1,2,\,.....\,,5\} [/mm] sein, da andernfalls schon
einer der Summanden allein größer als 100
wäre.
Natürlich ist eine Lösung mit Kongruenzen
"edler" - aber auch mit Pröbeln kann man
darüber einiges lernen.
LG
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