Quadratur stückweise lin. Fkt. < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:15 Do 28.04.2005 | | Autor: | ZoX |
Hallo,
hab Probleme mit folgender Aufgabe:
Es soll eine stetige stückweise lineare Funktion integriert werden. Dazu stehen die n+1 Stützstellen [mm]x_{0} < x_{1} < ... < x_{n}[/mm] zur Verfügung. Diese stückweise lineare Funktion setzt sich dann eben aus Polynomen vom Grad höchstens eins auf den Teilintervallen [mm][x_{i-1},x_{i}), 1 \le i \le n[/mm] zusammen.
Zur Veranschaulichung ist dann noch ein Bildchen hingemalt worden, das so eine Zickzackfunktion zeigt, wobei die Stützstellen sich immer genau unter den Knickstellen befinden. Was denk ich so auch der obige Text beschreibt.
Nun soll erstmal ein Quadraturregel zur exakten Berechnung von [mm] \integral_{x_{0}}^{x_{n}} {f(x) dx}[/mm] erstellt werden. Dazu soll auf jedes der Teilintervalle die Trapezregel angewandt werden. Und dazu sollen die Gewichte [mm]g_{i}, 0 \le i \le n[/mm] zu Folgender Summe bestimmt werden:
[mm] \summe_{i=o}^{n} g_{i} f(x_{i}). [/mm] Nun soll man die Gewichte [mm] g_0, g_n,[/mm] [mm]g_{j}, 1 \le j < n[/mm] angeben.
Ok, mein Problem ist jetzt, dass die Stützstellen nicht äquidistant sind. Sonst würd ich einfach die Gewichte aus der Trapezsumme herleiten. Also wäre dann:
[mm]g_{0} = g_{n} = \bruch{1}{2} * \left( \bruch{x_{n} - x_{0}}{n} \right)[/mm]
[mm]g_{j} = \left( \bruch{x_{n} - x_{0}}{n} \right), 1 \le j < n[/mm].
Aber da die Stützstellen ja nicht äquidistant sind geht, das ja nicht. Wie könnte man das lösen?
Als nächstes soll dann noch ein Quadraturregel gefunden werden, die mit nur n Stützstellen auskommt, und die wie oben so eine stückweise lineare Funktion exakt integrieren soll, aber diesmal ohne, dass die gesamte Funktion stetig ist.
Ich versteh aber nicht wie das gehen soll, denn auf irgendeine der [mm] x_i [/mm] Stützstellen muss ich jetzt verzichten, aber dabei verliere ich doch die Information der Funktionen auf den Teilintervallen [mm][x_{i-1},x_{i})[/mm] und [mm][x_{i},x_{i+1})[/mm]. Wie kann ich dann das Integral noch exakt berechnen?
Danke schonmal!
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Hallo Zox,
Leider hat sich in der von Dir vorgegebenen Zeit keiner gefunden der Deine Frage beantworten konnte. Falls Du noch an einer Antwort interessiert bist meld Dich nochmal.
viele Grüße
mathemaduenn
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