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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 22.12.2009 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Welche Quadrik wird durch
Q= [mm] \{^t(x,y) \in \IR^2: x^2+4xy-4x-2y+1=0 \}
[/mm]
beschrieben? |
Hallo.
Wie ihr seht, hab ich bei Quadriken immer noch meine Probleme. Ich hab wieder die Lösung, aber ich kapiers einfach nicht, wie ich richtig quadratisch ergänzen muss.
Ich hab so gerechnet (ist aber falsch):
[mm] x^2+4xy-4x-2y+1=0
[/mm]
[mm] \gdw ((x+2y)-2)^2-4y^2+6y-3=0
[/mm]
[mm] \gdw ((x+2y)-2)^2+(-2y+1)^2+10y-4=0
[/mm]
Dann erhalte ich mit Substitution:
[mm] w_1^2+w_2^2+w_3=0, [/mm] was folglich ein Punkt wäre. So weit so gut...Aber das ganze ist ja falsch.
Frage 1: Warum ist das falsch?
In der richtigen Lösung schauts dann folgendermaßen aus:
[mm] x^2+4xy-4x-2y+1=0
[/mm]
[mm] \gdw x^2+4x(y-1)-2y+1=0
[/mm]
[mm] \gdw (x+2(y-1))^2-4(y-1)^2-2y+1=0 [/mm] usw. (ab hier is dann wieder klar)
Ich verstehs dann schon, dass ich vergessen hab, erstmal 4x auszuklammern, aber ich versteh nicht, was an meiner Lösung genau falsch ist. Oder kommt eben nur was falsches raus, weil ich 4x zu Beginn nicht ausgeklammert hab?
Und Frage 2:
Wie kann ich mir am besten die verschiedenen Typen der Quadriken merken? Da gibts ja so viele. Wenn die im Examen nach dem Typ fragen, hab ich da keine Ahnung.
Man erhält eine Hyperbel.
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Hallo lubalu,
> Welche Quadrik wird durch
> Q= [mm]\{^t(x,y) \in \IR^2: x^2+4xy-4x-2y+1=0 \}[/mm]
> beschrieben?
> Hallo.
>
> Wie ihr seht, hab ich bei Quadriken immer noch meine
> Probleme. Ich hab wieder die Lösung, aber ich kapiers
> einfach nicht, wie ich richtig quadratisch ergänzen muss.
> Ich hab so gerechnet (ist aber falsch):
>
> [mm]x^2+4xy-4x-2y+1=0[/mm]
> [mm]\gdw ((x+2y)-2)^2-4y^2+6y-3=0[/mm]
> [mm]\gdw ((x+2y)-2)^2+(-2y+1)^2+10y-4=0[/mm]
>
> Dann erhalte ich mit Substitution:
> [mm]w_1^2+w_2^2+w_3=0,[/mm] was folglich ein Punkt wäre. So weit
> so gut...Aber das ganze ist ja falsch.
> Frage 1: Warum ist das falsch?
>
> In der richtigen Lösung schauts dann folgendermaßen aus:
> [mm]x^2+4xy-4x-2y+1=0[/mm]
> [mm]\gdw x^2+4x(y-1)-2y+1=0[/mm]
> [mm]\gdw (x+2(y-1))^2-4(y-1)^2-2y+1=0[/mm]
> usw. (ab hier is dann wieder klar)
>
> Ich verstehs dann schon, dass ich vergessen hab, erstmal 4x
> auszuklammern, aber ich versteh nicht, was an meiner
> Lösung genau falsch ist. Oder kommt eben nur was falsches
> raus, weil ich 4x zu Beginn nicht ausgeklammert hab?
Bis hierhin ist das korrekt:
[mm]((x+2y)-2)^2-4y^2+6y-3=0[/mm]
Nun wird erstmal die 4 ausgeklammert:
[mm]((x+2y)-2)^2-4\left(y^2- \bruch{3}{2}y+\bruch{3}{4}\right)=0[/mm]
Jetzt wird die Klammer quadratisch ergänzt:
[mm]y^2\blue{-\bruch{3}{2}}y+\bruch{3}{4}=\left(y\blue{-\bruch{3}{4}}\right)^{2}-\left(\blue{-\bruch{3}{4}}\right)^{2}+\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Und Frage 2:
> Wie kann ich mir am besten die verschiedenen Typen der
> Quadriken merken? Da gibts ja so viele. Wenn die im Examen
> nach dem Typ fragen, hab ich da keine Ahnung.
> Man erhält eine Hyperbel.
Von Sonderfällen abgesehen, gibt es folgende Fälle:
Wenn die Vorzeichen vor den quadratischen Termen gleich sind,
handelt es sich um einen Kreis bzw. eine Ellipse.
Sind die Vorzeichen dagegen unterschiedlich,
so handelt sich um eine Hyperbel.
Gibt es nur einen quadratrischen Term und einen linearen Term,
(z.B. x quadratisch, y linear), dann handelt es sich um eine Parabel.
Gruss
MathePower
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