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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 So 16.12.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Bestimme die Bewegung , die die Quadrik E = { (x,y) [mm] \in \mathbb{R}^2 [/mm] : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 2xy + [mm] \sqrt{2} [/mm] x + 3 [mm] \sqrt{2} [/mm] y - 2=0 [mm] \} [/mm] auf Normalform bringt. |
Matrix der quadratischen Form, diagonalisieren
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }= [/mm] U * [mm] \pmat{ 0& 0 \\ 0 & 2 } U^t
[/mm]
U= [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 } \in O_2
[/mm]
führe neue Koordianten ein
[mm] \vektor{x' \\ y'}= U^t \vektor{x \\ y}
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 2xy = [mm] \vektor{x \\ y}^t \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{x' \\ y'}^t \pmat{ 0& 0 \\ 0 & 2 } \vektor{x' \\ y'} [/mm] = [mm] 2(y')^2
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = U [mm] \vektor{x' \\ y'}= \vektor{\frac{x' +y'}{\sqrt{2}} \\ \frac{-x'+y'}{\sqrt{2}}}
[/mm]
einsetzten:
{ [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 2xy + [mm] \sqrt{2} [/mm] x + 3 [mm] \sqrt{2} [/mm] y - 2= [mm] 2(y')^2 [/mm] + x' + y' - 3 x' + 3y' -2 = [mm] (\sqrt{2} [/mm] y' + [mm] \sqrt{2})^2 [/mm] - 2 x' -4 =
4 [mm] *[(\frac{\sqrt{2} y' + \sqrt{2})}{2})^2 [/mm] - [mm] \frac{2x'}{4} [/mm] -1]}
Leider ist das keine Quadrik die ich wiedererkenne..
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Lu-,
> Bestimme die Bewegung , die die Quadrik E = { (x,y) [mm]\in \mathbb{R}^2[/mm]
> : [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2xy + [mm]\sqrt{2}[/mm] x + 3 [mm]\sqrt{2}[/mm] y - 2=0 [mm]\}[/mm] auf
> Normalform bringt.
> Matrix der quadratischen Form, diagonalisieren
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }=[/mm] U * [mm]\pmat{ 0& 0 \\ 0 & 2 } U^t[/mm]
>
> U= [mm]\frac{1}{\sqrt{2}} \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 } \in O_2[/mm]
>
> führe neue Koordianten ein
> [mm]\vektor{x' \\ y'}= U^t \vektor{x \\ y}[/mm]
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2xy =
> [mm]\vektor{x \\ y}^t \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } \vektor{x \\ y}[/mm] =
> [mm]\vektor{x' \\ y'}^t \pmat{ 0& 0 \\ 0 & 2 } \vektor{x' \\ y'}[/mm]
> = [mm]2(y')^2[/mm]
>
> [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] = U [mm]\vektor{x' \\ y'}= \vektor{\frac{x' +y'}{\sqrt{2}} \\ \frac{-x'+y'}{\sqrt{2}}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> einsetzten:
> { [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2xy + [mm]\sqrt{2}[/mm] x + 3 [mm]\sqrt{2}[/mm] y - 2= [mm]2(y')^2[/mm]
> + x' + y' - 3 x' + 3y' -2 = [mm](\sqrt{2}[/mm] y' + [mm]\sqrt{2})^2[/mm] - 2
> x' -4 =
> 4 [mm]*[(\frac{\sqrt{2} y' + \sqrt{2})}{2})^2[/mm] - [mm]\frac{2x'}{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> -1]}
>
>
> Leider ist das keine Quadrik die ich wiedererkenne..
Führe weitere Substituitionen durch,
so dass Du den Type der Quadrik erkennst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 16.12.2012 | | Autor: | Lu- |
Wie denn`?
Da ist eine Konstante und ein Variablenterm ohne quadrat..
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Hallo Lu-,
> Wie denn'?
> Da ist eine Konstante und ein Variablenterm ohne quadrat..
Die Konstante spielt zunächst keine Rolle für die Substitution.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 So 16.12.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich habe im [mm] \IR^2 [/mm] eine Liste von Typen.
[mm] \{0=0\}
[/mm]
[mm] \{x^2=0\}
[/mm]
[mm] \{x^2 + (y/b)^2=0 \}
[/mm]
[mm] \{x^2 - (y/b)^2 =0\}
[/mm]
[mm] \{0=1\}
[/mm]
[mm] \{(x/a)^2 =1 \}
[/mm]
[mm] \{ -(x/a)^2 =1 \}
[/mm]
[mm] \{ (x/a)^2 + (y/b)^2=1 \}
[/mm]
[mm] \{(x/a)^2 - (y/b)^2 =1 \}
[/mm]
[mm] \{- (x/a)^2 - (y/b)^2 =1 \}
[/mm]
[mm] \{ 0=x \}
[/mm]
[mm] \{ (x/a)^2 = y\}
[/mm]
Ich hab: 4 [mm] [(\frac{\sqrt{2} y' + \sqrt{2})}{2})^2 [/mm] - [mm] \frac{2x'}{4} [/mm] -1]
Der lineare teil stört mich..
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Hallo Lu-,
> Ich habe im [mm]\IR^2[/mm] eine Liste von Typen.
> [mm]\{0=0\}[/mm]
> [mm]\{x^2=0\}[/mm]
> [mm]\{x^2 + (y/b)^2=0 \}[/mm]
> [mm]\{x^2 - (y/b)^2 =0\}[/mm]
> [mm]\{0=1\}[/mm]
> [mm]\{(x/a)^2 =1 \}[/mm]
> [mm]\{ -(x/a)^2 =1 \}[/mm]
> [mm]\{ (x/a)^2 + (y/b)^2=1 \}[/mm]
>
> [mm]\{(x/a)^2 - (y/b)^2 =1 \}[/mm]
> [mm]\{- (x/a)^2 - (y/b)^2 =1 \}[/mm]
> [mm]\{ 0=x \}[/mm]
>
> [mm]\{ (x/a)^2 = y\}[/mm]
>
>
> Ich hab: 4 [mm][(\frac{\sqrt{2} y' + \sqrt{2})}{2})^2[/mm] -
> [mm]\frac{2x'}{4}[/mm] -1]
> Der lineare teil stört mich..
>
Den linearen Teil kannst Du wegtransformieren.
Setze dazu [mm]\bruch{2x'}{4}+1=:x''[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 So 16.12.2012 | | Autor: | Lu- |
dann hätte ich
4 * [ [mm] (\frac{\sqrt{2} y' + \sqrt{2}}{2})^2 [/mm] - x'' ]
Damit das Typ: $ [mm] \{ (x/a)^2 = y\} [/mm] $(Parabel) ist müssten aber x und y ebenfalls ihre plätze tauschen..
Wie sieht dann die bewegung aus?
[mm] \alpha: \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2
[/mm]
[mm] \alpha \vektor{x \\ y}= U^t \vektor{x \\ y} +\vektor{\??\\??}= \vektor{x' +?? \\ y' +??}
[/mm]
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Hallo Lu-,
> dann hätte ich
> 4 * [ [mm](\frac{\sqrt{2} y' + \sqrt{2}}{2})^2[/mm] - x'' ]
>
>
> Damit das Typ: [mm]\{ (x/a)^2 = y\} [/mm](Parabel) ist müssten aber
> x und y ebenfalls ihre plätze tauschen..
>
> Wie sieht dann die bewegung aus?
Setze die bisherigen Transformationen zusammen.
> [mm]\alpha: \IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm]
> [mm]\alpha \vektor{x \\ y}= U^t \vektor{x \\ y} +\vektor{\??\\??}= \vektor{x' +?? \\ y' +??}[/mm]
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 16.12.2012 | | Autor: | Lu- |
Sry, ich verstehe nicht wie ich das zusammensetzte soll.
Mache solch eine Aufgabe zum ersten mal und bin noch etwas von bewegungen und Quadriken verwirrt. Vlt kannst du mir beim ersten Mal zeigen wie man die bewegung dann zusammensetzt?
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Hallo Lu-,
> Sry, ich verstehe nicht wie ich das zusammensetzte soll.
> Mache solch eine Aufgabe zum ersten mal und bin noch etwas
> von bewegungen und Quadriken verwirrt. Vlt kannst du mir
> beim ersten Mal zeigen wie man die bewegung dann
> zusammensetzt?
Zunächst noch ein paar Transformationen:
[mm]y'':=\bruch{\wurzel{2}}{2}*y'+\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]4*y''^{2}-x''=0[/mm]
Um das jetzt auf die geforderte Form zu bringen,
ist noch eine weitere Transformation notwendig:
[mm]y''':=x'', \ x'''=2*y''[/mm]
Oder in Matrix-Schreibweise:
[mm]\left(1\right) \ \pmat{x''' \\ y'''}=\pmat{0 & 2 \\ 1 & 0}\pmat{x'' \\ y''}[/mm]
Ausserdem ist
[mm]x''=\bruch{1}{2}*x'+1, \ y''=\bruch{\wurzel{2}}{2}*y'+\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
Dies lautet in Matrix-Schreibweise:
[mm]\left(2\right) \ \pmat{x'' \\ y''}=\pmat{\bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & \bruch{\wurzel{2}}{2}}\pmat{x' \\ y'}+\pmat{1 \\ \bruch{\wurzel{2}}{2}}[/mm]
Schliesslich ist
[mm]\left(3\right) \ \pmat{x' \\ y'}=U^{t}\pmat{x \\ y}[/mm]
Setze jetzt [mm]\left(3\right), \ \left(2\right), \ \left(1\right)[/mm] ineinander ein,
so daß dasteht:
[mm]\pmat{x''' \\ y'''}=C*\pmat{x \\ y}+d[/mm]
, wobei C eine Matrix und d ein Vektor bedeuten.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 So 16.12.2012 | | Autor: | Lu- |
Ah so macht man das ;D Da gehen mir viele lichter auf... VIELEN DANK!
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