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Hi, bin dabei diese Quadrik [mm] Q(x)=-2x^2+2xy-2y^2+2x+2y-1 [/mm] in eine Normalform zu bringen.
Nur ich bin jetzt an einer Stelle angekommen, an der ich nicht mehr weiter weiß.
Ich habe die Hauptachsentransformation so weit durchgeführt und bin jetzt an diesem Schritt:
[mm] q_c(y)=-y_1^2-3y_2^2+2*\wurzel{2}y_1-1
[/mm]
Das Ergebnis ist eine Ellipse, aber wie bekomm ich hier eine Ellipse heraus, bzw. wie vereinfach ich das weiter, um auf die Normalform zu kommen?
oder kann das ergebnis nicht stimmen???
Also ich hatte in Matrixschreibweise: [mm] Q(x)=x^t\pmat{ -2 & 1 \\ 1 & -2 }x+(2,2)x-1
[/mm]
Dann habe ich die Eigenwerte bestimmt, sind -3 und -1. dann die dazu gehörigen EV:
[mm] Eig(A,-1)=\vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] Eig(A,-3)=\vektor{-1 \\ 1} [/mm] damit ergibt sich die Drehmatrix:
[mm] T=(v_1,v_2)=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Dann die Sub. x=Ty und N=B^tT mit [mm] N=(2,2)\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }=(2\wurzel{2},0)
[/mm]
und damit [mm] q_c(y)=y^t\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -3 }y+(2\wurzel{2},0)-1
[/mm]
somit komm ich auf [mm] q_c(y)=-y_1^2-3y_2^2+2*\wurzel{2}y_1-1 [/mm] und komm nicht weiter.
Kann mir da wer weiterhelfen?
Gruß
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Hallo jaruleking,
> Hi, bin dabei diese Quadrik [mm]Q(x)=-2x^2+2xy-2y^2+2x+2y-1[/mm] in
> eine Normalform zu bringen.
>
> Nur ich bin jetzt an einer Stelle angekommen, an der ich
> nicht mehr weiter weiß.
>
> Ich habe die Hauptachsentransformation so weit durchgeführt
> und bin jetzt an diesem Schritt:
>
> [mm]q_c(y)=-y_1^2-3y_2^2+2*\wurzel{2}y_1-1[/mm]
Das Ergebnis stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das Ergebnis ist eine Ellipse, aber wie bekomm ich hier
> eine Ellipse heraus, bzw. wie vereinfach ich das weiter, um
> auf die Normalform zu kommen?
>
> oder kann das ergebnis nicht stimmen???
>
> Also ich hatte in Matrixschreibweise: [mm]Q(x)=x^t\pmat{ -2 & 1 \\ 1 & -2 }x+(2,2)x-1[/mm]
>
> Dann habe ich die Eigenwerte bestimmt, sind -3 und -1. dann
> die dazu gehörigen EV:
>
> [mm]Eig(A,-1)=\vektor{1 \\ 1}[/mm] und [mm]Eig(A,-3)=\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
> damit ergibt sich die Drehmatrix:
>
> [mm]T=(v_1,v_2)=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> Dann die Sub. x=Ty und N=B^tT mit
> [mm]N=(2,2)\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }=(2\wurzel{2},0)[/mm]
>
> und damit [mm]q_c(y)=y^t\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -3 }y+(2\wurzel{2},0)-1[/mm]
>
> somit komm ich auf [mm]q_c(y)=-y_1^2-3y_2^2+2*\wurzel{2}y_1-1[/mm]
> und komm nicht weiter.
Da hilft Dir die quadratische Ergänzung weiter.
>
> Kann mir da wer weiterhelfen?
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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hi, das hatte ich mir schon gedacht. weiß aber nicht, ob ich es richtig gemacht habe, weil mich dieses - von [mm] y_1^2 [/mm] sehr gestört hat.
also:
[mm] q_c(y)=-y_1^2-3y_2^2+2*\wurzel{2}*y_1-1=-y_1^2+2*\wurzel{2}*y_1+(\wurzel{2})^2-3y_2^2-(\wurzel{2})^2-1=(y_1-\wurzel{2})^2-3y_2^2-1
[/mm]
so hieraus folgt ja irgendein vektor [mm] v=\vektor{\wurzel{2}\\ 0} [/mm] was sagt mir dieser Vektor?? und wie bekomm ich eigentlich den Verschiebungsvektor aus dieser Rechnung? Kann ja nicht dieses v sein, weil wir haben gesagt, den Verschiebungsvektor bekommt man durch [mm] A*w=\bruch{1}{2}B, [/mm] der würde im unseren Fall ja dann [mm] w=(-1,1)^t [/mm] sein, aber was ist [mm] v=\vektor{\wurzel{2}\\ 0}
[/mm]
und ist die Normalform dann: [mm] Q_{normal}=z_1^2+(\bruch{1}{\bruch{1}{\wurzel{3}}}z_2)^2-1
[/mm]
könnt ihr vielleicht auch dir rechnung überprüfen?
dann auch nochmal eine andere Frage, wenn ich eine Hyperbel habe in Normalform, z.B. [mm] Q=(\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{3}}}x)^2-(\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{2}}}y)^2 [/mm] -1. Wie bestimmte ich hier die Asymptoten?
Kann mir hier einer weiterhelfen?
gruß
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> hi, das hatte ich mir schon gedacht. weiß aber nicht, ob
> ich es richtig gemacht habe, weil mich dieses - von [mm]y_1^2[/mm]
> sehr gestört hat.
>
> also:
>
> [mm]q_c(y)=-y_1^2-3y_2^2+2*\wurzel{2}*y_1-1=-y_1^2+2*\wurzel{2}*y_1+(\wurzel{2})^2-3y_2^2-(\wurzel{2})^2-1=(y_1-\wurzel{2})^2-3y_2^2-1[/mm]
Hallo,
Dein Ergebnis sieht dem richtigen Ergebnis ähnlich, stimmt aber nicht., und in der Tat hast Du wohl im Angesichte des minus die Nervn verloren.
Wenn das Minuns Dich stört, warum klammerst Du es dann nicht einfach aus?
[mm] q_c(y)=-y_1^2-3y_2^2+2*\wurzel{2}*y_1-1= [/mm] - [mm] [y_1^2+3y_2^2-2*\wurzel{2}*y_1+1].
[/mm]
Nun kannst Du in der eckigen Klammer Dein Ding durchziehen, und hinterher löst Du die Klammer wieder auf.
---
Fürs Folgende stellen wir uns mal auf den Standpunkt, daß Du richtig gerechnet hast.
Du hast [mm] q_c(y)=(y_1-\wurzel{2})^2-3y_2^2-1.
[/mm]
[mm] z_1:=y_1-\wurzel{2} [/mm] , [mm] z_2:=y_2 [/mm] bekommst Du [mm] q_c(y)=z_1^2-3z_2^2-1.
[/mm]
Die Normalform wäre dann 0= [mm] -z_1^2+3z_2^2+1=-\bruch{z_^2}{1^2} [/mm] + [mm] \bruch{z_2^2}{(\bruch{1}{\wurzel{3}})^2}+1.
[/mm]
> so hieraus folgt ja irgendein vektor [mm]v=\vektor{\wurzel{2}\\ 0}[/mm]
> was sagt mir dieser Vektor??
Geheimnisvoll ausgedrückt...
Vielleicht meinst Du das:
es ist [mm] z=\vektor{z_1\\z_2}=\vektor{y_1-\wurzel{2}\\y_2}=y+\vektor{-\wurzel{2}\\0}.
[/mm]
> und wie bekomm ich eigentlich
> den Verschiebungsvektor aus dieser Rechnung? Kann ja nicht
> dieses v sein, weil wir haben gesagt, den
> Verschiebungsvektor bekommt man durch [mm]A*w=\bruch{1}{2}B,[/mm]
Nun hast Du mich abgehängt.
Gruß v. Angela
> der würde im unseren Fall ja dann [mm]w=(-1,1)^t[/mm] sein, aber was
> ist [mm]v=\vektor{\wurzel{2}\\ 0}[/mm]
>
> und ist die Normalform dann:
> [mm]Q_{normal}=z_1^2+(\bruch{1}{\bruch{1}{\wurzel{3}}}z_2)^2-1[/mm]
>
> könnt ihr vielleicht auch dir rechnung überprüfen?
>
>
> dann auch nochmal eine andere Frage, wenn ich eine Hyperbel
> habe in Normalform, z.B.
> [mm]Q=(\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{3}}}x)^2-(\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{2}}}y)^2[/mm]
> -1. Wie bestimmte ich hier die Asymptoten?
>
> Kann mir hier einer weiterhelfen?
>
> gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Di 29.07.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok, danke erstmal.
gruß
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> dann auch nochmal eine andere Frage, wenn ich eine Hyperbel
> habe in Normalform, z.B.
> [mm]Q=(\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{3}}}x)^2-(\bruch{1}{\wurzel{\bruch{1}{2}}}y)^2[/mm]
> -1. Wie bestimmte ich hier die Asymptoten?
>
> Kann mir hier einer weiterhelfen?
Hallo,
Hyperbel:
[mm] \frac{x^2}{a^2} [/mm] - [mm] \frac{y^2}{b^2} [/mm] = 1.
Asymptoten:
y = [mm] \pm \bruch{b}{a} [/mm] x.
Sowas kriegt man übrigens auch durch einen Blick in die Wikipedia raus.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Di 29.07.2008 | | Autor: | jaruleking |
ja hast recht. sorry.
trotdem danke.
gruß
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