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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Quantile Normalverteilung
Quantile Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Quantile Normalverteilung: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:09 Fr 29.11.2013
Autor: selinaCC

Aufgabe
Zeigen Sie, dass das (1- [mm] \alpha)-Quantil [/mm] einer beliebigen Normalverteilten ZV X die Darstellung

E[X] + [mm] N_{1- \alpha} \sigma[X] [/mm]

besitzt., wobei [mm] N_{1-\alpha} [/mm] das (1- [mm] \alpha)- [/mm] Quantil der Standardnormalverteilung ist.


Lösung:
DIe ZV Z = [mm] \frac{X - E[X]}{\sigma[X]} [/mm] ist standardnormalverteilt.
Damit gilt
[mm] \alpha [/mm] = P(Z > [mm] N_{1-\alpha}) [/mm] = P(X > E[X] + [mm] N_{1-\alpha}\sigma[X]) [/mm]
und somit auch
[mm] Q_{1-\alpha}(X) [/mm] = [mm] E[X]+N_{1-\alpha}+ N_{1-\alpha}\sigma[X]. [/mm]


Hallo,
ich muss meine Kenntnisse zu Zufallsvariablen, Quantilen etc auffrischen, da kaum noch Wissen vorhanden ist.
Da wir ja von einer beliebig normalverteilten ZV X ausgehen, müssen wir, um X auf Standardnormalverteilung zu bringen, eine Standardisierung durchführen: Z = [mm] \frac{X - E[X]}{\sigma[X]}. [/mm] Hab ich das richtig verstanden?

So und ab da hakt es dann leider....
Wie komme ich dann auf die nächsten Schritte?
Ich verstehe auch noch dass ich von P(Z > [mm] N_{1-\alpha}) [/mm]  auf P(X > E[X] + [mm] N_{1-\alpha}\sigma[X]) [/mm] komme, indem ich Z einsetze und nach X auflöse. Aber warum dieser Ansatz, verstehe ich nicht....
Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen würde!
Vielen Dank

        
Bezug
Quantile Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Fr 29.11.2013
Autor: luis52

Das [mm] $(1-\alpha)$-Quantil $x_\alpha$ [/mm] der Verteilung von $X$ zeichnet sich
dadurch aus, dass gilt [mm] $\alpha=P(X>x_\alpha)$. [/mm] Nun ist $ [mm] \frac{X - E[X]}{\sigma[X]} [/mm] $ standardnormalverteilt, so dass

[mm] $\alpha=P\left(\frac{X - E[X]}{\sigma[X]}>z_\alpha\right)=P(X> \underbrace{E[X]+N_{1-\alpha}+ N_{1-\alpha}\sigma[X]}_{x_\alpha})$. [/mm]



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