Quantile aus Verteilungsfkt < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Mi 13.01.2010 | | Autor: | meckie |
| Aufgabe | Für die Verteilungsfunktion
F(z) = [mm] \integral_{-\infty}^{z}{f(x) dx}
[/mm]
mit
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1\\ 1-|x|, & \mbox{für } -11\end{cases}
[/mm]
ermittle man die Quantie [mm] z_{q} [/mm] für q = 0.25, 0.5 und 0.75 |
Hallo zusammen ich bräuchte ein bisschen Hilfe bei dieser Aufgabe.
Laut Script gilt [mm] \alpha \in [/mm] ]0,1[ [mm] F(z_{\alpha}) \ge \alpha [/mm] und [mm] \alpha>F(z) [/mm] für [mm] z
Für streng monoton wachsende verteilungsfunktionen gilt dann noch [mm] \alpha [/mm] = [mm] F(z_{\alpha}) [/mm] = [mm] P(Z\le z_{\alpha})
[/mm]
Ich weiß nur noch nicht was ich damit anfangen kann. Muss ich dann die 0.25 in f(x) einsetzen? Ich hoffe ihr könnt mir helfen
LG Meckie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mi 13.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin mecki,
bestimme doch mal $F(x)$ fuer alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mi 13.01.2010 | | Autor: | meckie |
Ok ehm wenn ich das richtig verstanden habe muss ich das jetzt Integrieren. Da das mit dem Betrag ein wenig plöd ist dachte ich mir ich spalte das auf in folgendes:
[mm] f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1\\ 1+x, & \mbox{für } -11 \end{cases}
[/mm]
So dann muss ich nur für 1+x und 1-x das Integral berechnen oder?
Das wäre dann doch [mm] \bruch{x^{2}}{2}+x [/mm] für 1+x und [mm] x-\bruch{x^{2}}{2} [/mm] für 1-x
Soweit so gut?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mi 13.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Ok ehm wenn ich das richtig verstanden habe muss ich das
> jetzt Integrieren. Da das mit dem Betrag ein wenig plöd
> ist dachte ich mir ich spalte das auf in folgendes:
> [mm]f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1\\ 1+x, & \mbox{für } -11 \end{cases}[/mm]
Vermutlich $f(x)_$...
>
> So dann muss ich nur für 1+x und 1-x das Integral
> berechnen oder?
>
> Das wäre dann doch [mm]\bruch{x^{2}}{2}+x[/mm] für 1+x und
> [mm]x-\bruch{x^{2}}{2}[/mm] für 1-x
> Soweit so gut?
Leider nein:
[mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1\\ \bruch{x^{2}}{2}+x, & \mbox{für } -11 \end{cases}[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Mi 13.01.2010 | | Autor: | meckie |
Jo das erste sollte f(x) heißen.
Du hast natürlich recht mit dem [mm] \bruch{1}{2}+x-\bruch{x^{2}}{2} [/mm] habe ganz vergessen das dies eine Verteilungsfunktion ist...
Jetzt hätte ich noch eine Frage zu den Quantilen.
Ich weiß nämlich nicht ob ich das alles richtig verstanden habe.
Ich weiß doch das [mm] F(z_{0.25}) [/mm] = 0.25 ist
Und dann müsste doch das Quantil zwischen -1 und 0 liegen. also dann
[mm] -1
dann kann ich das da einsetzen und hätte dann
[mm] \bruch{z_{0.25}^{2}}{2}+z_{0.25} [/mm] = 0.25
Soweit so gut? Und das dann nach [mm] z_{0.25} [/mm] auflösen?
Lg Meckie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mi 13.01.2010 | | Autor: | meckie |
Ok dann müsste ich da zwei lösungen für haben einmal positiv und einmal negativ. [mm] z_{0.25} [/mm] = -+ [mm] \bruch{\wurzel{6}}{2}-1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mi 13.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Ok dann müsste ich da zwei lösungen für haben einmal
> positiv und einmal negativ. [mm]z_{0.25}[/mm] = -+
> [mm]\bruch{\wurzel{6}}{2}-1[/mm]
Und welche ist plausibel?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mi 13.01.2010 | | Autor: | meckie |
Das positive würde ich mal sagen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mi 13.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Das positive würde ich mal sagen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:14 Do 14.01.2010 | | Autor: | meckie |
Oki vielen dank dann nochmal Luis. Du bist der beste!
LG Meckie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:28 Do 14.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Du bist der beste!
Mehr! Meehr!
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Sa 16.01.2010 | | Autor: | YaMan |
Hallo,
ich muss gerade eine ähnliche Aufgabe zu Quantilen berechnen und wollte mir hier ein paar Ideen/Anregungen suchen. Der Rechenweg macht für mich durchaus Sinn, allerdings verstehe ich "das Ende" nicht so ganz.
>> Ich weiß doch das [mm] F(z_{0.25})= [/mm] 0.25 ist
>> Und dann müsste doch das Quantil zwischen -1 und 0 liegen. also dann
>> -1 < [mm] z_{0.25} \le [/mm] 0
Soweit so gut, allerdings bekomme ich beim Einsetzen und ausrechnen entweder
[mm] z_{0.25}=-1-\wurzel{\bruch{6}{4}} [/mm] , was kleiner ist als -1
oder
[mm] z_{0.25}=-1+\wurzel{\bruch{6}{4}} [/mm] , was größer ist als 0
Und das steht doch im Widerspruch zu -1 < [mm] z_{0.25} \le [/mm] 0 , oder was hab ich da verdreht mit Verteilungs- und Dichtefunktion?
Lg
YaMan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Sa 16.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin YaMan,
du hast voellig recht, ich habe nicht aufgepasst.
Die Verteilungsfunktion oben stimmt nicht. Sie muss vielmehr lauten:
[mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<-1\\ \bruch{x^{2}}{2}+x+\red{\bruch{1}{2}}, & \mbox{für } -11 \end{cases}[/mm]
Dann kommt's hin, denke ich. Danke.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Sa 16.01.2010 | | Autor: | YaMan |
Ahja, super! Jetzt macht alles Sinn :)
Danke Dir - ich glaub so langsam versteh ichs *freu*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Mi 13.01.2010 | | Autor: | gfm |
Für den Fall, dass die die "Klammerei" bei zusammengesetzten Funktionen nicht magst, die Rechnungen lieber in Zeilen der gleichen Höhe machts und einen standardisierte Vorgehensweise liebst, dann stellst Du als erstes die stückweise definierte Funktion als Summe von Produkten von Indikatorfunktionen und den Funktionen auf den Bereichen, auf denen Sie definiert sind, dar:
[mm] f(x)=(1+x)1_{[-1,0]}(x)+(1-x)1_{(0,1]}(x) [/mm]
nach einiger Übung erlaubt Dir das eine standardisierte und strukturierte Berechnung:
[mm] F(t)=\integral_{\infty}^{t}{(1+x)1_{[-1,0]}(x)+(1-x)1_{(0,1]}(x) dx}=
[/mm]
[mm] 1_{[-1,0)}(t)(x+\bruch{1}{2} x^2)_{-1}^{t}+1_{[0,\infty)}(t)(x+\bruch{1}{2} x^2)_{-1}^{0}+1_{[0,1)}(t)(x-\bruch{1}{2} x^2)_{0}^{t}+
[/mm]
[mm] 1_{[1,\infty)}(t)(x-\bruch{1}{2} x^2)_{0}^{1}=1_{[-1,0)}(t)(\bruch{1}{2}+t+\bruch{1}{2} t^2)+1_{[0,\infty)}(t)(\bruch{1}{2})+1_{[0,1)}(t)(t-\bruch{1}{2} t^2)+1_{[1,\infty)}(t)(\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] =1_{[-1,0)}(t)(\bruch{1}{2}+t+\bruch{1}{2} t^2)+1_{[0,1)}(t)(\bruch{1}{2} +t-\bruch{1}{2} t^2)+1_{[1,\infty)}(t)
[/mm]
[mm] =1_{[-1,1]}(t)(\bruch{1}{2} +t-Sgn(t)\bruch{1}{2} t^2)+1_{(1,\infty)}(t)
[/mm]
Das ganze kann man natürlich auch einfacher erhalten, wenn man bemerkt, dass es sich hier um die Fläche unter einem Dreieck mit [-1,1] auf der x-Achse als Basis und der Spitze bei (1,0) auf der y-Achse handelt:
Wenn x zwischen -1 und 0 liegt: Fläche = Grundseite mal Höhe durch zwei: [mm] \bruch{(1+x)(x-(-1))}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1 + 2x + x^2}{2}
[/mm]
Wenn x zwischen 0 und 1 liegt: Fläche der linken Seite(0.5) plus die Trapezfläche (Grundseite x mal Mittelwert aus linker (1) und rechter Seite (1-x)) unter der dem Dreieck von 0 bis x:
[mm] \bruch{1}{2}+x*\bruch{1+(1-x)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}+x-\bruch{1}{2}x^2
[/mm]
Ein [mm] \alpha-Quantil [/mm] ist ein Lagemaß, wobei [mm] \alpha [/mm] eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 ist. Das [mm] \alpha-Quantil [/mm] ist ein Merkmalswert, der die Verteilung einer Variablen bzw. Zufallsvariablen in zwei Teile teilt. Links vom [mm] \alpha-Quantil [/mm] liegen 100 [mm] \alpha [/mm] Prozent aller Beobachtungswerte. Rechts davon liegen [mm] 100(1-\alpha) [/mm] Prozent aller Beobachtungswerte (http://de.wikipedia.org/wiki/Quantil)
Für den Fall, dass Deine (Radon-Nikodym-) Dichte f(x) gegen das Lebeques-Maß zu einer "braven" (z.B. nur endlich viele und nur endliche Sprünge und auch nicht mittendrin auf einem ganzen Abschnitt gleich null) , Funktion geführt hat (wie in Deinem Fall), wird beim Übergang zur Verteilungsfunktion durch den Glättungs- und Summierungseffekt beim Integrieren eine streng monotone stetige Funktion daraus.
In diesem Fall löst Du dann einfach [mm] F(t)=\alpha
[/mm]
[mm] 1_{[-1,1]}(t)(\bruch{1}{2} +t-Sgn(t)\bruch{1}{2} t^2)=\alpha
[/mm]
also
[mm] 1_{[-1,1]}(t)(\bruch{1}{2} +t+\bruch{1}{2} t^2)=\alpha [/mm] und [mm] t\le0
[/mm]
oder
[mm] 1_{[-1,1]}(t)(\bruch{1}{2} +t-\bruch{1}{2} t^2)=\alpha [/mm] und t>0
Hoffe das hilft Dir.
LG
gfm
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