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| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] \IQ(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})=\IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3}) [/mm] und [mm] \IQ(\wurzel{2}+\wurzel{3})=\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}) [/mm] gilt, und berechne die Minimalpolynome von [mm] \wurzel{2}+\wurzel[3]{3} [/mm] und [mm] \wurzel{2}+\wurzel{3} [/mm] über [mm] \IQ. [/mm] |
Hallo,
bei der Aufgabe hätte ich ein paar Fragen. Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen.
Ich weiß, dass [mm] \IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3})=\IQ(\wurzel{2})(\wurzel[3]{3}) [/mm] gilt.(Analog das andere)
Aber wie kann ich zeigen, dass das nun gleich [mm] \IQ(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3}) [/mm] ist? Also zu zeigen ist, dass [mm] \IQ(\wurzel{2})(\wurzel[3]{3})= \IQ(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3}) [/mm] ist. Und analog für [mm] \IQ(\wurzel{2},\wurzel{3})=\IQ(\wurzel{2})(\wurzel{3}), [/mm] das gleich [mm] \IQ(\wurzel{2}+\wurzel{3}) [/mm] sein soll. Kann mir da jemand helfen, wie man da vorgehen muss?
Dann sind die Minimalpolynome von [mm] \wurzel{2}+\wurzel[3]{3} [/mm] und [mm] \wurzel{2}+\wurzel{3} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] zu bestimmen:
Ich weiß aus einer vorherigen Aufgabe, dass [mm] [\IQ(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3}):\IQ]=6 [/mm] bzw. [mm] [\IQ(\wurzel{2}+\wurzel{3}):\IQ]=4 [/mm] ist. D.h. nun doch, dass die jeweiligen Minimalpolynome Grad=6 bzw. Grad=4 haben müssen. Stimmt das?
Jetzt habe ich versucht, ein irreduzibles Polynom 6. bzw 4.Grad zu finden, für die [mm] (\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{6} [/mm] bzw. [mm] (\wurzel{2}+\wurzel{3})^{4} [/mm] eine Nullstelle ist, also:
[mm] f(X)=X^{6}-(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{6} [/mm] und [mm] g(X)=X^{4}- (\wurzel{2}+\wurzel{3})^{4}
[/mm]
Sind das die gesuchten Minimalpolynome? Und wie kann ich hier zeigen, dass sie irreduzibel in [mm] \IQ [/mm] sind? Das Eisenstein-Kriterium hilft hier nicht weiter,weil ich Terme habe, die Wurzeln enthalten.
Ich hoffe,es kann mir jemand weiterhelfen. Ich bin mir auch nicht ganz sicher, ob ich auf dem richtigen Weg bin, oder was ganz falsches mache.
Vielen Dank,
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
ich sage mal nur was zum zweiten Körper es. Es ist klar, dass
$$
[mm] K=\IQ(\sqrt{2}+\sqrt{3})\subseteq \IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})=L.
[/mm]
$$
Um die umgekehrte Inklusion zu sehen, reicht es [mm] \sqrt{2} [/mm] oder [mm] \sqrt{3} [/mm] als geeignete [mm] $\IQ$-lineare [/mm] Kombinationen der Potenzen
$$
1, [mm] \sqrt{2}+\sqrt{3}, (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2, (\sqrt{2}+\sqrt{3})^3 [/mm]
$$
schreiben. Das Du mit diesen Potenzen auskommen mußt liegt daran, dass Du schon weißt, dasss der Grad von L|K vier ist.
Mit den Graden der Minimalpolynome hast Du recht. Die, die Du angibst, sind es sicher nicht, den sie haben keine rationalen Koeffizienten.
Zur Bestimmung des Minimalpolynoms [mm] f(X)=X^4+\ldots \in\IQ[X] [/mm] kannst Du ausnutzen, dass das normierte Minimalpolynom eines Elements [mm] \alpha\in [/mm] K eindeutig bestimmt ist. Wenn nun [mm] \sigma [/mm] ein Körperautmorphismus von $K$ ist, der [mm] \IQ [/mm] elementweise festhält (das ist hier für jeden Automorphismus automatisch der Fall) und [mm] f_\alpha(X) [/mm] das Minimalpolynom zu [mm] \alpha [/mm] ist, dann is [mm] f_{\sigma(\alpha)}(X)=f_\alpha(X), [/mm] denn
$$
[mm] f_\alpha(\sigma(\alpha))=\sigma(f_\alpha(\alpha))=\sigma(0)=0,
[/mm]
$$
da die Koeffizienten von $f$ in [mm] \IQ [/mm] liegen. Die vier Automorphismen(!)
$$
[mm] \sigma_{\pm,\pm}(a\sqrt{2}+b\sqrt{3})=\pm a\sqrt{2}\pm b\sqrt{3}
[/mm]
$$
liefern Dir also vier Nullstellen von f. Da Du bereits weißt, dass der Grad von $f$ 4 sein muß und $f$ auch normiert sein soll, kannst Du $f$ nun hinschreiben. Ich bekomme
$$
[mm] f_{\sqrt{2}+\sqrt{3}}(X)=X^4-10X^2+1
[/mm]
$$
heraus.
Gruß, Volker
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Hallo Volker,
vielen Dank für deine hilfreiche Antwort. Jetzt ist mir auch einiges klarer. Aber ich habe noch nicht alles verstanden.
> [mm]f_{\sigma(\alpha)}(X)=f_\alpha(X),[/mm] denn
> [mm][/mm]
> [mm]f_\alpha(\sigma(\alpha))=\sigma(f_\alpha(\alpha))=\sigma(0)=0,[/mm]
Ich versteh nicht ganz, warum [mm] f_\alpha(\sigma(\alpha))=\sigma(f_\alpha(\alpha)) [/mm] gilt. Wieso gilt hier die Kommutativität von f und [mm] \sigma?
[/mm]
> da die Koeffizienten von [mm]f[/mm] in [mm]\IQ[/mm] liegen. Die vier
> Automorphismen(!)
> [mm][/mm]
> [mm]\sigma_{\pm,\pm}(a\sqrt{2}+b\sqrt{3})=\pm a\sqrt{2}\pm b\sqrt{3}[/mm]
Wie kommt man auf diese 4 Automorphismen? Warum es 4 sind, ist mir klar. Aber wie kommt man auf diese Form, und wozu braucht man das a und b?
> liefern Dir also vier Nullstellen von f. Da Du bereits
> weißt, dass der Grad von [mm]f[/mm] 4 sein muß und [mm]f[/mm] auch normiert
> sein soll, kannst Du [mm]f[/mm] nun hinschreiben. Ich bekomme
> [mm][/mm]
> [mm]f_{\sqrt{2}+\sqrt{3}}(X)=X^4-10X^2+1[/mm]
> [mm][/mm]
> heraus.
Ich hab auch das nicht ganz verstanden. Wie bist du auf das Minimalpolynom gekommen? Kannst du mir das bitte nochmal näher erläutern?
Vielen Dank für deine Hilfe.
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
falls [mm] $f(X)=\sum_{i=1}^n a_iX^i$, a_i\in\IQ, [/mm] so gilt für jeden Automorphismmus [mm] \sigma [/mm] von [mm] K|\IQ [/mm] und jede Nullstelle [mm] \alpha\in [/mm] K von f(X)
[mm] \begin{equation*}
f(\sigma(\alpha))=\sum_{i=1}^n a_i\sigma(\alpha)^i=\sum_{i=1}^n a_i\sigma(\alpha^i)=
\sum_{i=1}^n\sigma(a_i\alpha^i)=
\sum_{i=1}^n=\sigma(a_i\alpha^i)=
\sigma(\sum_{i=1}^n a_i\alpha^i)=
\sigma(f(\alpha))=\sigma(0)=0,
\end{equation*}
[/mm]
wobei vor allem [mm] \sigma(a_i)=a_i [/mm] wegen [mm] a_i\in\IQ [/mm] wichtig ist. Die vier Automorphismen sind zugegebenermaßen "geraten" bzw. einfach die naheliegenden. Jedes Element von $K$ hat eine eindeutig Darstellung als [mm] a\sqrt{2}+b\sqrt{3} [/mm] mit a,b [mm] \in\IQ, [/mm] d.h. es genügt, die Automorphismen auf Elementen dieser Form zu erklären. Das Polynom, das ich hingeschrieben habe ist einfach
[mm] f_\alpha(X)=(X-\sigma_{++}(\alpha))(X-\sigma_{--}(\alpha))(X-\sigma_{+-}(\alpha))(X-\sigma_{-+}(\alpha))
[/mm]
für [mm] \alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}.
[/mm]
Volker
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Hallo Volker,
vielen Dank für deine hilfreiche Antwort. Das Polynom hab ich endlich auch herausbekommen. 
Aber jetzt habe ich noch eine Frage, wie man das Minimalpolynom von [mm] \wurzel{2}+\wurzel[3]{3} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] berechnet: Hier bin ich genauso vorgegangen, wie beim vorherigen, nur ist der Grad hier nicht 4, sondern 6 (aus einer früherern Aufgabe bereits ermittelt).
Es gilt doch [mm] \IQ \subseteq \IQ(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3}) \subseteq \IQ(\wurzel{2})(\wurzel[3]{3})=\IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3}) [/mm] mit [mm] [\IQ(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3}):\IQ]=6
[/mm]
Also sieht eine Basis wie folgt aus:
1, [mm] \wurzel{2}+\wurzel[3]{3}, (\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{2}, (\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{3}, (\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{4}, (\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{5} [/mm] Richtig? Dann folgt die andere Inklusion durch: [mm] 0*1+1*(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})+
[/mm]
[mm] 0*(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{2}+
[/mm]
[mm] 0*(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{3}+0*(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{4}+
[/mm]
[mm] 0*(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{5}. [/mm] Und damit folgt die Gleichheit: [mm] \IQ(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})=\IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3})
[/mm]
das Minimalpolynom muss so aussehen: [mm] f(X)=X^{6}+... \in \IQ[X], [/mm] also normiert.
Dann muss doch das analoge gelten wie vorher, es muss also hier 6 Automorphismen geben, aber da ist genau mein Problem, ich komme nicht drauf auf die 6 Stück. Bei der vorherigen Aufgabe hast du die 4 Automorphismen " geraten". Wie kommen ich auf die 6 Automorphismen? Kannst du mir da bitte nochmal helfen?
Ich weiß, dass jedes Element in [mm] \IQ(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3}) [/mm] hat doch die Gestalt [mm] a\wurzel{2}+b\wurzel[3]{3} [/mm] mit a,b [mm] \in \IQ.
[/mm]
Wenn ich die 6 Automorphismen habe, kann ich doch wie beim vorherigen durch Einsetzen das gesuchte Minimalpolynom [mm] f_{\alpha}(X) [/mm] hinschreiben, oder? Aber dazu bräuchte ich diese 6 Automorphismen.
Vielen Dank für die Hilfe!
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
> Hier bin ich genauso vorgegangen, wie beim
> vorherigen, nur ist der Grad hier nicht 4, sondern 6 (aus
> einer früherern Aufgabe bereits ermittelt).
> Es gilt doch [mm]\IQ \subseteq \IQ(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3}) \subseteq \IQ(\wurzel{2})(\wurzel[3]{3})=\IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3})[/mm]
> mit [mm][\IQ(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3}):\IQ]=6[/mm]
> Also sieht eine Basis wie folgt aus:
> 1, [mm]\wurzel{2}+\wurzel[3]{3}, (\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{2}, (\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{3}, (\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{4}, (\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{5}[/mm]
> Richtig?
Ja.
> Dann folgt die andere Inklusion durch:
> [mm]0*1+1*(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})+[/mm]
> [mm]0*(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{2}+[/mm]
> [mm]0*(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{3}+0*(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{4}+[/mm]
> [mm]0*(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})^{5}.[/mm]
Nein. Du wirst schon eine nicht ganz so triviale Linearkombination dieser Terme nehmen müssen. Auf jeden Fall wären die Terme erstmal auszumultiplizieren.
Und damit folgt die
> Gleichheit:
> [mm]\IQ(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})=\IQ(\wurzel{2},\wurzel[3]{3})[/mm]
Haben wir also noch nicht. Vielleicht gehts irgenwie geschickter.
> das Minimalpolynom muss so aussehen: [mm]f(X)=X^{6}+... \in \IQ[X],[/mm]
> also normiert.
Richtig.
> Dann muss doch das analoge gelten wie vorher, es muss also
> hier 6 Automorphismen geben, aber da ist genau mein
> Problem, ich komme nicht drauf auf die 6 Stück.
Das ist kein "Problem", sondern für diese Körererweiterung ganz o.k., denn sie ist nicht "normal" bzw. "galois", falls Du schon weißt, was das ist. Es fehlen nämlich außer [mm] \wurzel[3]{3} [/mm] die beiden anderen Wurzel des Polynoms [mm] X^3-3, [/mm] d.h. [mm] \zeta_3 \wurzel[3]{3} [/mm] und [mm] \zeta_3^2 [/mm] wurzel[3]{3} mit [mm] \zeta_3 [/mm] einer 3-ten primitiven Einheitswurzel (also z.Bsp. [mm] \zeta_3=e^{\frac{2\pi i}{3}}). [/mm] Dann zerfällt
[mm] X^3-3=(X-\wurzel[3]{3})(X-\zeta_3 \wurzel[3]{3})(X-\zeta_3^2 \wurzel[3]{3})
[/mm]
in Linearfaktoren.
> Bei der
> vorherigen Aufgabe hast du die 4 Automorphismen " geraten".
> Wie kommen ich auf die 6 Automorphismen? Kannst du mir da
> bitte nochmal helfen?
Um das Minimalpolynom zu berechnen können wir nun einfach unseren Körper etwas größer machen und das Problem der fehlenden Wurzeln damit wegdefinieren. In der etwas größeren Erweiterung [mm] L=\QI (\sqrt{2},\wurzel[3]{3}) [/mm] können wir nämlich wieder munter Automorphismen raten: Einer ist wievorher:
[mm] \sigma(\sqrt{2})=-\sqrt{2}
[/mm]
[mm] \sigma(\zeta^i \wurzel[3]{3})\mapsto \zeta^i_3\wurzel[3]{3}, [/mm] i=0,1,2
und der zweite vertauscht die drei Wurzeln von [mm] X^3-3 [/mm] zyklisch, d.h.
[mm] \tau(\wurzel[3]{3})\mapsto \zeta_3\wurzel[3]{3}
[/mm]
[mm] \tau(\zeta_3\wurzel[3]{3})\mapsto \zeta^2_3\wurzel[3]{3}
[/mm]
[mm] \tau(\zeta^2_3\wurzel[3]{3})\mapsto \wurzel[3]{3}
[/mm]
[mm] \tau{\sqrt{2}}=\sqrt{2}
[/mm]
Damit haben wir wieder sechs Automorphismen von [mm] L|\IQ:
[/mm]
[mm] 1,\tau,\tau^2,\sigma,\sigma\tau,\sigma\tau^2
[/mm]
und es gilt
[mm] f_{\sqrt{2}+\wurzel[3]{3}}(X)=(X-\sqrt{2}-\wurzel[3]{3})(X-\sqrt{2}-\zeta_3\wurzel[3]{3})(X-\sqrt{2}-\zeta^2_3 \wurzel[3]{3})(X+\sqrt{2}-\wurzel[3]{3})(X+\sqrt{2}-\zeta_3 \wurzel[3]{3})(X+\sqrt{2}-\zeta^2_3 \wurzel[3]{3})
[/mm]
[mm] =((X-\sqrt{2})^3-3)((X+\sqrt{2})^3-3)=X^6-6X^4-6X^3+12X^2-36X+1,
[/mm]
falls ich mich nicht verrechnet habe.
> Ich weiß, dass jedes Element in
> [mm]\IQ(\wurzel{2}+\wurzel[3]{3})[/mm] hat doch die Gestalt
> [mm]a\wurzel{2}+b\wurzel[3]{3}[/mm] mit a,b [mm]\in \IQ.[/mm]
Stimmt leider nicht. Ich habe vorhin auch ziemlichen Mist erzählt: Jedes Element von [mm] \IQ(\sqrt{2},\sqrt{3}) [/mm] ist natürlich eindeutig von der Form. [mm] a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{2}\sqrt{3}. [/mm] Es sollte ja auch ein VIER-dimensionaler Vektorraum rauskommen.
Glücklicherweise macht das keinen Kummer, denn es genügt die Automorphismen [mm] \sigma [/mm] und [mm] \tau [/mm] auf Erzeugern der Körpererweiterung L hinzuschreiben, um sie eindeutig festzulegen, denn sie sollen ja [mm] $\IQ$-linear [/mm] sein und mit Produkten vertauschen.
Gruß,
Volker
p.s.: Die Aufgabe sollte auch etwas einfacher zu lösen sein.
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