Quotientenabbildung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
eine Quotientenabbildung p:X --> X/~ muss nicht offen oder abgeschlossen sein.
Weiss jemand ein Beispiel einer
nicht offenen
oder einer
nicht abgeschlossenen und nicht offenen
Quotientenabbildung?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Sa 11.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> Weiss jemand ein Beispiel einer
> nicht offenen
> oder einer
> nicht abgeschlossenen und nicht
> offenen
> Quotientenabbildung?
Wie wär's mit der Topologie auf [m]\{1,2,3,4\}[/m], die aus [m]\emptyset,\{1,2\},\{1,2,3,4\}[/m] besteht mit der Identifiketion [m]1\sim 3[/m]?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Sa 11.03.2006 | | Autor: | hallo12345 |
Oh, danke!
Gibt es vielleicht ein schönes nicht so "diskretes" beispiel? 
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Fussel |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich wüßte gerne, ob ich folgende Definition richtig verstanden habe:
"Es sei X ein topologischer Raum und [mm] f\colon X\to [/mm] Y eine surjektive Abbildung von Mengen. Dann ist die durch f induzierte Quotiententopologie auf Y diejenige, in der eine Teilmenge [mm] U\subseteq [/mm] Y genau dann offen ist, wenn das Urbild f − 1(U) offen ist."
Als Beispiel nehme ich den topologischen Raum (X,O) mit
X= {1,2,3} und
O={{1,2},{2,3},{2},X [mm] ,\emptyset}
[/mm]
Y= {y1,y2}
f bildet alle ungeraden Zahlen aus X auf y1 ab und alle geraden auf y2
die Urbilder von y1 sind also {1} und {3}, beide nicht offen, das offene Urbild von y2 ist {2}
die offenen Mengen der Quotiententopologie sind also
[mm] {y2},{Y},\emptyset
[/mm]
stimmt das?
noch eine Frage:
Zitat: "Die Quotiententopologie ist die stärkste Topologie auf Y, für die die Abbildung f stetig ist."
Ich verstehe nicht was "starke Topologie" bedeutet. Kann mir jemand vielleicht ein Beispiel für eine "schwächere" Topologie nennen,
für die die Abbildung f stetig ist?
Fussel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mi 05.04.2006 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
könntest du das nächste mal einen neuen Thread aufmachen? Die andere Frage war/ist schon sehr alt, und du greifst nicht auf den Inhalt zurück!
> die offenen Mengen der Quotiententopologie sind also
> [mm]{y2},{Y},\emptyset[/mm]
>
> stimmt das?
Ja.
> Zitat: "Die Quotiententopologie ist die stärkste Topologie
> auf Y, für die die Abbildung f stetig ist."
Folgt aus der Definition.
> Ich verstehe nicht was "starke Topologie" bedeutet. Kann
> mir jemand vielleicht ein Beispiel für eine "schwächere"
> Topologie nennen,
> für die die Abbildung f stetig ist?
Oben: die triviale Topolgie macht f auch stetig - aber das ist zu grob, dh Y ist durch die Topologie nicht sehr fein aufgeteilt.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Fussel |
Hallo SEcki,
dann heißt "stark" also "fein"?
Gruß, Fussel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mi 05.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> dann heißt "stark" also "fein"?
Hmm, stimmt. Eigentlich sollten die Begriffe fein und grob heißen - ich hatte die nicht im Kopf und habe das da reinterpretiert. Macht imo als einziges Sinn.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mi 05.04.2006 | | Autor: | Fussel |
Alles klar, vielen Dank.
Fussel
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