Quotientengleichung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Sa 04.02.2006 | | Autor: | tayfun77 |
DRINGEND HILFE MUSS EIN REFERATHALTEN!
| Aufgabe | f(x)=U(x)/V(x) wie komme ich auf
f´(x)= V(xo)*U(Xo)-U(xo)*V´(Xo) / [mm] (V(Xo)^2 [/mm] |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich verstehe gar nicht wie man dahin kommt! Bitte gibt mir Hilfe, wei das funktioniert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi, Tayfun,
die Quotientenregel wird im allgemeinen mit Hilfe der Produktregel bewiesen.
Diese lautet ja
f(x) = u(x)*v(x) => f'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x).
Für die Quotientenregel beweist man zunächst den Sonderfall:
f(x) = [mm] \bruch{1}{v(x)} [/mm] => f'(x) = - [mm] \bruch{v'(x)}{(v(x))^{2}} [/mm] (***)
und anschließend mit Hilfe der Produktregel über den Ansatz:
f(x) = [mm] u(x)*\bruch{1}{v(x)} [/mm] den Rest.
Beim 1. Teil (***) helf' ich Dir, den Rest schaffst Du dann alleine!
Also:
f(x) = [mm] \bruch{1}{v(x)} [/mm]
f'(x) = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{v(x+h)} -\bruch{1}{v(x)}}{h} [/mm]
= [mm] \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{\bruch{v(x) - v(x+h)}{v(x+h)*v(x)}}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{-(v(x+h) - v(x))}{h}*\bruch{1}{v(x+h)*v(x)}
[/mm]
Der erste Teil des Grenzwertes ist nun einfach die (mit einem Minuszeichen versehene) Ableitung von v(x), also: -v'(x), der zweite Teil geht (für h [mm] \to [/mm] 0) gegen [mm] \bruch{1}{(v(x))^{2}}.
[/mm]
Das war's also schon!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Sa 04.02.2006 | | Autor: | tayfun77 |
Erstmal danke, Ich habe eine Anlage beigefügt nach der ich das Referat halten soll. Wäre echt nett wenn jemand zeit hat jeden Schritt zu beschreiben. Ich habe ja schon Probleme damit das plätzlich Xo drinne steht und generell keinen Plan! Und dann wüsste ich gerne wofür man das eigentlihc braucht oder warum diese Gleichung so wichtig ist!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo tayfun,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Als erstes sollte man sich klar, wie die Ableitung an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] definiert ist per Differenzenquotient:
[mm] $f'(x_0) [/mm] \ := \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
[/mm]
Genau das benutzen wir nun auch für den Quotienten $f(x) \ = \ [mm] \bruch{u(x)}{v(x)}$ [/mm] :
[mm] $f'(x_0) [/mm] \ := \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
[/mm]
$= \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{\bruch{u(x)}{v(x)}-\bruch{u(x_0)}{v(x_0)}}{x-x_0}$
[/mm]
Teilbrüche im Gesamtzähler gleichnamig machen und zusammenfassen:
$= \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{\bruch{u(x)*v(x_0)-u(x_0)*v(x)}{v(x)*v(x_0)}}{x-x_0}$
[/mm]
Bruch zerlegen:
$= \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\left[\bruch{1}{v(x)*v(x_0)}*\bruch{u(x)*v(x_0)-u(x_0)*v(x)}{x-x_0}\right]$
[/mm]
$= \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{1}{v(x)*v(x_0)}*\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{u(x)*v(x_0)-u(x_0)*v(x)}{x-x_0}$
[/mm]
Nun der eigentliche Trick: wir addieren eine "geeignete Null". Das heißt wir addieren etwas und ziehen es gleich wieder ab, um den Wert nicht zu verändern:
$= \ [mm] \bruch{1}{v(x_0)*v(x_0)}*\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{u(x)*v(x_0)-u(x_0)*v(x)+ \ \blue{u(x_0)*v(x_0)-u(x_0)*v(x_0)}}{x-x_0}$
[/mm]
Etwas umsortieren und den Bruch wiederum zerlegen:
$= \ [mm] \bruch{1}{v^2(x_0)}*\limes_{x\rightarrow x_0}\left[\bruch{u(x)*v(x_0)-\blue{u(x_0)*v(x_0)}}{x-x_0}-\bruch{u(x_0)*v(x)-\blue{u(x_0)*v(x_0)}}{x-x_0}\right]$
[/mm]
Nun klammern wir [mm] $v(x_0)$ [/mm] bzw. [mm] $u(x_0)$ [/mm] aus:
$= \ [mm] \bruch{1}{v^2(x_0)}*\limes_{x\rightarrow x_0}\left[v(x_0)*\bruch{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}-u(x_0)*\bruch{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\right]$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{v^2(x_0)}*\left[v(x_0)*\red{\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}}-u(x_0)*\blue{\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}}\right]$
[/mm]
Nun haben wir mit den beiden bunten Brüchen aber jeweils exakt den Differenzenquotienten bzw. die Ableitung an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] der beiden Funktionen $u(x)_$ bzw. $v(x)_$ da stehen:
$= \ [mm] \bruch{1}{v^2(x_0)}*\left[v(x_0)*\red{u'(x_0)}-u(x_0)*\blue{v'(x_0)}\right]$
[/mm]
Nun wieder auf einem Bruch zusammenfassen und wir sind fertig:
$= \ [mm] \bruch{v(x_0)*\red{u'(x_0)}-u(x_0)*\blue{v'(x_0)}}{v^2(x_0)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{u'*v-u*v'}{v^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Sa 04.02.2006 | | Autor: | tayfun77 |
VIELEN VIELEN DANK AN BEIDE ANTWORTER!
Ich weiß ich bin manchmal schwer von Begriff. Ich habe dieses referat auch nicht freiwillig gewählt! Deshalb wollte ihc noch kurz von jemandem wissen, wo und weshalb man Quotientengleichung braucht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo tayfun!
Das was Du Quotientengleichung nennst, ist die  Quotientenregel, die man zum Bilden der Ableitung benötigt, wenn man Funktionen des Typs $f(x) \ = \ [mm] \bruch{u(x)}{v(x)}$ [/mm] benötigt.
Beispiel: [mm] $f_1(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3-3}{x^4+1}$
[/mm]
oder [mm] $f_2(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x}{x-1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Sa 04.02.2006 | | Autor: | tayfun77 |
VIELEN VIELEN DANK!! Ich bin nun echt überzeugt das dieses FORUM, gut ist!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 So 05.02.2006 | | Autor: | tayfun77 |
Halo nochmal nun habe ich die ganze Nacht überlegt und über die Tipp und Hilfen von Loddar nachgedacht. Ich weiß aber nicht warum man den Limes braucht? Und warum muss in dem einen Schritt etwas addiert und wirder subrahiert werden. Vielen Dank !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tayfun!
Betrachten wir den reinen Differenzenquotienten [mm] $\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ [/mm] (also ohne Limes), handelt es sich hierbei lediglich um die Sekantensteigung ziwschen den beiden Punkten $P \ (x|f(x))$ und [mm] $P_0 [/mm] \ [mm] (x_0|f(x_0))$ [/mm] .
Das ist für die Steigung der Kurve lediglich eine Näherung.
Um nun hieraus eine Tangentensteigung (und damit die Kurvensteigung) zu machen, werden diese beiden Punkte nun beliebig nahe zusammengeschoben.
Das ist dann die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow x_0$ [/mm] .
Der Trick mit dem Addieren und wieder abziehen ist lediglich eine Methode, um dann durch weitere Umformungen auf bekannte Ausdrücke zu kommen (wie z.B. die Ableitungsterme für $u(x)_$ und $v(x)_$).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 So 05.02.2006 | | Autor: | tayfun77 |
VIELEN DANK! Nun kann mir keiner etwas ebim Vortrag! War nicht einfach mit mir ich weiß aber trotzdem danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 So 05.02.2006 | | Autor: | tayfun77 |
ich habe noch eine Frage zu Elektrotechnik loddar. Kannst du mal reinschauen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 So 05.02.2006 | | Autor: | tayfun77 |
ich habe noch eine Frage zu Elektrotechnik loddar. Kannst du mal reinschauen? Ist noch drinne die Frage eilt echt sonst würde ich das nicht hier reinschreiben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tayfun!
Bitte hier nicht forumsübergreifend Fragen stellen. Bei Deiner anderen Frage kann ich Dir leider nicht weiter helfen, da ich überfragt bin.
Gruß
Loddar
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:33 Di 07.02.2006 | | Autor: | tayfun77 |
MAN MAN MAN! Sorry mir geht nicht mehr besonder. Habe nun erfahren, dass ich alles nochmal überarbeiten soll. Das Problem: Ich soll die Quotientenregel mit hilfe der Prodzuktregel bestimmen. Aber beide Regeln neu herleiten ohne h, es soll nur x und x0 vorkommen. bin verzweifelt aber ich muss morgen vorstellen, keine Lust das es nichts wird! Hat jemand nochmal mitleid mit mir und kann mir das ausführlich erklären??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Di 07.02.2006 | | Autor: | tayfun77 |
Ach lasst es bitte sein! Es bringt nichts merh! BITTE NICHT MEHR ANTWORTEN!!!!!!!!!
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