Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Sa 13.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^4}{3n} [/mm] |
Hallo,
diese Aufgabe muss mit dem Quotientenkriterium gelöst werden. Ich habe mir überlegt:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=|\bruch{(n+1)^4*3^n}{ 3^{n+1} *n^4}|=|\bruch{(n+1)^4}{3n^4}|
[/mm]
ab hier komme ich leider nicht mehr weiter. Kann mir jemand einen Anstoß geben?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo melisa!
Soll es im Nenner etwa [mm] $3^n$ [/mm] heißen?
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=|\bruch{(n+1)^4*3^n}{ 3^{n+1} *n^4}|=|\bruch{(n+1)^4}{3n^4}|[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Dann stimmt Dein Ansatz bis hierher ...
Du kannst nun die Betragsstriche weglassen (warum?) und wie folgt zusammenfassen:
$$... \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^4 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^4$$
[/mm]
Nun die Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Sa 13.03.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
in der Musterlösung steht hier jetzt [mm] \le \bruch{1}{3}(\bruch{5}{4})^4
[/mm]
ich habe jedoch keine Ahnung warum :S
????
Lg Melisa
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Hallo!
Das Quotientenkriterium für die Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] lautet:
Falls es [mm] $N\in\IN$ [/mm] und $q < 1$ gibt, so dass für alle $n>N$ gilt: [mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\le [/mm] q < 1$,
dann ist die Reihe absolut konvergent.
Genau das wird bei dir im Beweis gezeigt.
Für n >3 gilt nämlich:
[mm] $1+\frac{1}{n} \le \frac{5}{4}$
[/mm]
(nachprüfen!), und deswegen gilt für n > 3 auch:
[mm] $\frac{1}{3}*\left(1+\frac{1}{n}\right)^{4} \le \frac{1}{3}*\left(\frac{5}{4}\right)^{4} [/mm] := q < 1$,
und diese Abschätzung reicht bereits aus, denn der Term auf der rechten Seite ist kleiner als 1, das ist also das gesuchte "q", was wir nutzen können, um das Quotientenkriterium anzuwenden.
Grüße,
Stefan
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