Quotientenkriterium anwenden < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Mo 19.01.2015 | | Autor: | jengo32 |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{4}{1}+\bruch{7}{2}+\bruch{10}{6}+\bruch{13}{24}+\bruch{16}{120}... [/mm] |
Ich möchte obige Reihe auf Konvergenz überprüfen.
Zuerst habe ich mir das Bildungsgesetz hingeschrieben:
[mm] \bruch{3n+1}{n!}
[/mm]
Nun das Quotientenkriterium [mm] \bruch{an+1}{an} [/mm] angewendet (ich habe mit dem Kehrwert multipliziert):
[mm] \bruch{3(n+1)+1}{(n+1)!}*\bruch{n!}{3n+1}
[/mm]
Jetzt bräuchte ich Hilfe.
Ich kann das n! kürzen zu:
[mm] \bruch{3n+4}{n+1}*\bruch{1}{3n+1}
[/mm]
Wenn ich den Bruch nun multipliere steht da:
[mm] \bruch{3n+4}{(n+1)(3n+1)}
[/mm]
Wenn ich nun für n unendlich einsetzen würde, würde ich rausbekommen:
[mm] \bruch{3*\infty+4}{(\infty+1)(3*\infty+1)} [/mm] = [mm] \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
Stimmt das so, oder mache ich grundlegende Fehler?... :/
Wie immer danke im Voraus :)
Jengo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mo 19.01.2015 | | Autor: | fred97 |
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> [mm]\bruch{4}{1}+\bruch{7}{2}+\bruch{10}{6}+\bruch{13}{24}+\bruch{16}{120}...[/mm]
> Ich möchte obige Reihe auf Konvergenz überprüfen.
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> Zuerst habe ich mir das Bildungsgesetz hingeschrieben:
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> [mm]\bruch{3n+1}{n!}[/mm]
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> Nun das Quotientenkriterium [mm]\bruch{an+1}{an}[/mm] angewendet
> (ich habe mit dem Kehrwert multipliziert):
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> [mm]\bruch{3(n+1)+1}{(n+1)!}*\bruch{n!}{3n+1}[/mm]
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> Jetzt bräuchte ich Hilfe.
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> Ich kann das n! kürzen zu:
>
> [mm]\bruch{3n+4}{n+1}*\bruch{1}{3n+1}[/mm]
>
> Wenn ich den Bruch nun multipliere steht da:
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> [mm]\bruch{3n+4}{(n+1)(3n+1)}[/mm]
>
> Wenn ich nun für n unendlich einsetzen würde, würde ich
> rausbekommen:
>
> [mm]\bruch{3*\infty+4}{(\infty+1)(3*\infty+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm]
>
> Stimmt das so, oder mache ich grundlegende Fehler?... :/
Ja, lass den Quatsch mit "für n unendlich einsetzen". Das hast Du bestimmt in keiner Vorlesung gelernt !
In $ [mm] \bruch{3n+4}{n+1}\cdot{}\bruch{1}{3n+1} [/mm] $ strebt der erst Faktor gegen 3 und der zweite gegen 0.
FRED
>
> Wie immer danke im Voraus :)
>
> Jengo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mo 19.01.2015 | | Autor: | jengo32 |
> In [mm]\bruch{3n+4}{n+1}\cdot{}\bruch{1}{3n+1}[/mm] strebt der erst
> Faktor gegen 3 und der zweite gegen 0.
Erkläre ich mir das so, dass der erste Faktor gegen 3 strebt, weil Zählergrad = Nennergrad ist und ich da einfach die Faktoren vor dem "n" als Wert nehme? In dem Fall also 3 und bei dem zweiten Faktor [mm] 1/\infty [/mm] steht, was = 0 ist?
Bin da gerade ein bisschen verwirrt weil du sagtest
>Ja, lass den Quatsch mit "für n unendlich einsetzen".
Und was heißt das gesamt jetzt für die Konvergenz?
Rechne ich dann einfach 3*0 = 0 und somit konvergiert die reihe, weil 0<1 ist ?
> FRED
> >
> > Wie immer danke im Voraus :)
> >
> > Jengo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mo 19.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
in einen Term unendlich einsetzen ist immer Unsinn, denn [mm] \infty [/mm] ist keine Zahl, sinnvoll ist nur den Gw gegen [mm] \inftyy [/mm] zu berechnen und dir klar zu machen, was das bedeutet es gibt ein [mm] N_0 [/mm] so dass.....
wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a [/mm] existiert und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n=b [/mm] existiert solltest du wissen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n*b_n=a*b
[/mm]
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Mo 19.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo jengo32!
Bei deiner letzten Frage, die ähnlich zu dieser war, ging es am
Ende auch genau darum und anscheinend hast du es nicht verstanden.
Es ist
[mm] $\bruch{3n+4}{n+1}=\frac{3+\frac{4}{n}}{1+\frac{1}{n}}\to [/mm] 3$ für [mm] n\to\infty
[/mm]
und
[mm] $\bruch{1}{3n+1}\to [/mm] 0$ für [mm] n\to\infty,
[/mm]
so dass
[mm] $\bruch{3n+4}{n+1}*\bruch{1}{3n+1}\to [/mm] 3*0=0$ für [mm] n\to\infty,
[/mm]
wobei die Grenzwertsätze auf Hochtour arbeiten!
Gruß
DieAcht
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