Quotientenkriterium limes sup. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Fr 29.11.2013 | | Autor: | c1474915 |
| Aufgabe | | Begründen Sie, warum das Quotientenkriterium über den Limes sperior definiert ist und nicht nur über den Limes. |
Warum wird das QK mit dem Limes sup gerechnet und nicht nur mit dem Limes? Als Hinweis zur Lösung gab es noch den Tipp, dass der Limes nicht für alle Reihen existiert, Beispielsweise die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{2^n}.
[/mm]
Es soll wohl Reihen geben, für die der Limes nicht existiert, aber der Limes sup. Aber welche könnte man dafür als Beispiel nennen?
Wie kann man sich das anschaulich vorstellen?
Im Bronstein ist das QK übrigens, im Widerspruch zur Aufgabenstellung mit dem limes definiert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
betrachte einmal die Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{2^n}
[/mm]
Diese Reihe ist konvergent. Der Grenzwert von der Folge [mm] a_{n+1}/a_n [/mm] existiert jedoch nicht. Man muss also mit sup und inf arbeiten.
Mit dem Quotientenkriterium kommt man übrigens bei obiger Reihe nicht wirklich weiter. Vielleicht kannst du dir aber daraus noch etwas passendes basteln.
Der Grund für die Verwendung von [mm] \limsup [/mm] und [mm] \liminf [/mm] wird aber klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Sa 30.11.2013 | | Autor: | c1474915 |
> Hallo,
>
> betrachte einmal die Reihe:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{2^n}[/mm]
>
> Diese Reihe ist konvergent. Der Grenzwert von der Folge
> [mm]a_{n+1}/a_n[/mm] existiert jedoch nicht. Man muss also mit sup
> und inf arbeiten.
>
> Mit dem Quotientenkriterium kommt man übrigens bei obiger
> Reihe nicht wirklich weiter. Vielleicht kannst du dir aber
> daraus noch etwas passendes basteln.
> Der Grund für die Verwendung von [mm]\limsup[/mm] und [mm]\liminf[/mm] wird
> aber klar.
Bei obriger Reihe ist der limes nicht existent, der limes sup. ist 1,5 was >1 ist. Damit ist die Reihe nach QK divergent, was ein Widerspruch zur tatsächlichen Konvergenz der Reihe ist. Wie kann das sein?
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Hallo,
beachte, dass du mit [mm] \limsup [/mm] und [mm] \liminf [/mm] arbeiten musst. Nur mit einem der beiden zu rechnen ist nicht immer sinnvoll.
Du kannst dir dazu auch mal die exakten Kriterien bei Wikipedia zum Quotientenkriterium durchlesen. Da steht es wunderbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Sa 30.11.2013 | | Autor: | c1474915 |
> Hallo,
>
> beachte, dass du mit [mm]\limsup[/mm] und [mm]\liminf[/mm] arbeiten musst.
> Nur mit einem der beiden zu rechnen ist nicht immer
> sinnvoll.
>
> Du kannst dir dazu auch mal die exakten Kriterien bei
> Wikipedia zum Quotientenkriterium durchlesen. Da steht es
> wunderbar.
Das heißt, wenn ich nur mit limsup. <1 arbeite kann ich für die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{2^n}
[/mm]
keine Aussage machen, korrekt?
Weil bei uns im Script beim QK nur die Bedingung
[mm] \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1 [/mm] => Reihe absolut konvergent
vorkommt, sonst nichts.
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> > Hallo,
> >
> > beachte, dass du mit [mm]\limsup[/mm] und [mm]\liminf[/mm] arbeiten musst.
> > Nur mit einem der beiden zu rechnen ist nicht immer
> > sinnvoll.
> >
> > Du kannst dir dazu auch mal die exakten Kriterien bei
> > Wikipedia zum Quotientenkriterium durchlesen. Da steht es
> > wunderbar.
> Das heißt, wenn ich nur mit limsup. <1 arbeite kann ich
> für die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{2^n}[/mm]
> keine Aussage machen, korrekt?
> Weil bei uns im Script beim QK nur die Bedingung
> [mm]\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1[/mm] =>
> Reihe absolut konvergent
> vorkommt, sonst nichts.
Ja, und die Aussage ist doch auch nicht falsch. Ihr habt es nur nicht noch wieter behandelt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Sa 30.11.2013 | | Autor: | c1474915 |
Doch, wir sind mit dem QK schon durch, mit den restlichen Kriterien auch schon. Mich wundert etwas, dass wir das QK nur so speziell auf diesen einen Fall [mm] (\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1) [/mm] behandelt haben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Di 03.12.2013 | | Autor: | c1474915 |
Ich würde mich weiterhin sehr über eine Antwort freuen.
Dies beziht sich hierrauf: https://matheraum.de/read?i=994544
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Sa 30.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Begründen Sie, warum das Quotientenkriterium über den
> Limes sperior definiert ist und nicht nur über den Limes.
>
>
> Warum wird das QK mit dem Limes sup gerechnet und nicht nur
> mit dem Limes? Als Hinweis zur Lösung gab es noch den
> Tipp, dass der Limes nicht für alle Reihen existiert,
> Beispielsweise die Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{2^n}.[/mm]
Die tuts nicht !
>
> Es soll wohl Reihen geben, für die der Limes nicht
> existiert, aber der Limes sup. Aber welche könnte man
> dafür als Beispiel nennen?
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{4711+(-1)^n}{2^n} [/mm] $
> Wie kann man sich das anschaulich vorstellen?
>
>
> Im Bronstein ist das QK übrigens, im Widerspruch zur
> Aufgabenstellung mit dem limes definiert.
Das ist kein Widerspruch, das QK wird nicht "definiert" und der Bronstein ist nicht die Bibel !
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> > Begründen Sie, warum das Quotientenkriterium über den
> > Limes sperior definiert ist und nicht nur über den Limes.
> >
> >
> > Warum wird das QK mit dem Limes sup gerechnet und nicht nur
> > mit dem Limes? Als Hinweis zur Lösung gab es noch den
> > Tipp, dass der Limes nicht für alle Reihen existiert,
> > Beispielsweise die Reihe
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{2^n}.[/mm]
>
> Die tuts nicht !
>
Sehe ich auch so.
>
> >
> > Es soll wohl Reihen geben, für die der Limes nicht
> > existiert, aber der Limes sup. Aber welche könnte man
> > dafür als Beispiel nennen?
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{4711+(-1)^n}{2^n}[/mm]
>
An dem Beispiel sieht man es gut, dass nur der limes sup. existiert, nicht aber der limes, danke.
>
> > Wie kann man sich das anschaulich vorstellen?
> >
> >
> > Im Bronstein ist das QK übrigens, im Widerspruch zur
> > Aufgabenstellung mit dem limes definiert.
>
> Das ist kein Widerspruch, das QK wird nicht "definiert" und
> der Bronstein ist nicht die Bibel !
Warum wird im Bronstein dann das QK mit dem limes angegeben? Sollen Kriterien nicht möglichst universell sein?
Ergänzugsfrage:
Im Königsberger steht auf Seite 66 steht: Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}
[/mm]
mit [mm] a_{n}=2^{-n} [/mm] für gerades n und [mm] a_{n}=3^{-n} [/mm] für ungerades n zeigt ferner, dass ein QK mit limes sup | [mm] a_{n+1}/ a_{n}| [/mm] nicht gilt.
Wie kann das sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 02.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Di 03.12.2013 | | Autor: | c1474915 |
Ich würde mich weiterhin sehr über eine Antwort freuen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 So 08.12.2013 | | Autor: | c1474915 |
Weiß niemand warum das so angegeben wird?
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Hiho,
was ist jetzt eigentlich deine genaue Frage? Damit sollten wir vielleicht einmal anfangen.
Du kannst schwerlich eine ausführliche Erklärung erwarten, wenn die Frage selbst nicht einmal wirklich klar ist.
Bisher konnte ich aus deiner Frage nur rauslesen: "Warum gibt es in Buch 1 Satz A und in Buch 2 Satz B". So etwas kann dir nur der jeweilige Autor beantworten.
Um deine (vermutete) Frage aber mal etwas näher zu beantworten: Das Quotientenkriterium im Allgemeinen wird "normalerweise" ganz ohne den Begriff des Grenzwerts oder [mm] \limsup [/mm] formuliert. Das braucht man dafür nämlich gar nicht und damit wären deine Fragen auch hinfällig.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 10.12.2013 | | Autor: | c1474915 |
Hallo Gono,
meine Frage hast du richtig erkannt, dass sie in meinem Post https://matheraum.de/read?i=994544
offenbar schwer zu erkennen hätte ich nicht erwartet.
Mich wundert es, dass die unterschiedliche und teils widersprüchlichen Angaben zum QK (siehe Angabe aus dem Königsberger im o.g. Post ) euch keine Fragen aufwerfen. Ich gehe davon aus, dass die Eindeutigkeit ein Grundprinzip der Mathematik ist, unabhängig davon, wessen Buch man grade liest.
Mit der "allgemeinen" Formulierung des QK meinst du die Formulierung über "für fast alle"?
So wie dort?
http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium#Beschreibung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Di 10.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
auf Deine Fragen kann man nur schwer eingehen, ich mach's mal grob:
Es gibt verschiedene Varianten des Quotientenkriteriums. Diese liefern
immer HINREICHENDE Bedingungen für die Konvergenz einer Reihe, und
sie liefern auch NOTWENDIGE Bedingungen für die Konvergenz einer Reihe.
Leider gibt es keine einzelne Bedingungen, die mit dem QK die Konvergenz
einer Reihe charakterisieren würde.
(Eigentlich kennst Du Vergleichbares: Du weißt aus der Schule: Wenn eine
diff'bare Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] an einer Stelle ein Maximum hat, dann ist
es notwendig, dass [mm] $f\,'$ [/mm] an dieser Stelle Null wird. Was ist unschön daran?
Naja, Maximalstellen können so sicher nicht charakterisiert werden (denn
es kann auch Minimalstellen geben - und sogar noch anderes: Was ist die
Ableitung von [mm] $f(x):=x^3$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] nochmal? Ist diese Stelle
denn etwa eine Extremstelle?)
Was macht man in der Schule meistens? Naja, man sagt halt, dass man
es dort ja eh eigentlich fast immer mit Funktionen zu tun hat, deren
zweite Ableitungsfunktion auch existiert. Also gibt es sowas wie:
Wenn eine Funktion an einer Stelle eine Ableitung hat, die dort verschwindet,
und an gleicher Stelle aber die zweite Ableitung [mm] $<\, [/mm] 0$ ist, dann ist diese
Stelle eine Maximalstelle.
Auch das ist nur eine hinreichende Bedingung - nimm' einfach etwa [mm] $f(x):=-x^4\,,$
[/mm]
um einzusehen, dass diese Bedingung nicht notwendig ist.
Jetzt nimm' an, Du hast eine sehr komplizierte Funktion: Sie hat eine Stelle,
an welcher die erste Ableitung verschwindet, aber die zweite Ableitung
existiert erst mal gar nicht. Das heißt nur: Obiger Satz "versagt", mehr nicht.
Du kannst mit diesem Satz nicht weiterarbeiten, wenn Du versuchen willst,
mit ihm nachzuweisen, dass an dieser Stelle ein Maximum vorliegt.
Aber: Ist der Satz deswegen wertlos? Sollte man ihn vielleicht "wegwerfen"?
Mitnichten: Denn eine einfache Anwendung dieses Satzes auf die Fkt.
[mm] $\sin \colon \IR \to [/mm] [-1,1]$ liefert uns alle Maximalstellen der Sinusfunktion! Und viele
der Polynomfunktionen freuen sich, dass man den Satz wenigstens an
einigen ihrer Maximalstellen gebrauchen kann...
Und was Du immer wissen wirst: Wenn eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] differenzierbar ist,
dann kann nur dann an [mm] $x_0$ [/mm] eine Maximalstelle vorliegen, wenn [mm] $f\,'(x_0)=0\,$ [/mm] gilt.
Alleine das Wissen, dass [mm] $f\,'(x_0)=0$ [/mm] ist, ist aber nicht hinreichend für das
Vorliegen einer Maximalstelle an [mm] $x_0$ [/mm] [auch nicht für das Vorliegen einer Extremstelle].
Du weißt aber: Wenn neben [mm] $f\,'(x_0)=0$ [/mm] auch [mm] $f\,''(x_0) [/mm] < [mm] 0\,$ [/mm] gilt, dann ist
[mm] $x_0$ [/mm] eine Maximalstelle. Aber das ist wiederum auch nur eine hinreichende
Bedingung für das Vorliegen einer Maximalstelle, die [unter den gegebenen
Diff'barkeitsvoraussetzungen von [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $x_0$] [/mm] keineswegs notwendig ist.
Und wenn Du nun [mm] $f\,'(x_0)=0$ [/mm] hast und [mm] $f\,''(x_0)=0\,,$ [/mm] so bringt Dir hier dieser
Satz einfach nichts, weil er nicht angewendet werden kann...)
Jetzt hast Du Buch AB von Herrn X zur Hand, und da steht etwas, dass es hinreichend
sei, dass
[mm] $\lim |a_{n+1}/a_n|\;<\;1$
[/mm]
gelte, damit [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiere.
1. Herr X hat recht.
Jetzt nimmst Du Buch AC von Herrn Y zur Hand, und da steht, dass aus
[mm] $\limsup |a_{n+1}/a_n|\;<\;1$
[/mm]
folgt, dass [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiere.
2. Herr Y hat auch recht. Hat Herr X nun doch Unrecht? Nein, nur, mit dem
Buch von Herrn Y "kann man mehr anfangen", er hat quasi ein "besseres"
Kriterium angegeben, welches hinreichend dafür ist, dass [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert.
Alle Fälle von Herrn X sind hier nämlich mitbehandelt: Wenn nämlich [mm] $\lim |a_{n+1}/a_n|$
[/mm]
existiert, dann existiert auch [mm] $\limsup |a_{n+1}/a_n|$ [/mm] (und auch [mm] $\liminf |a_{n+1}/a_n|$) [/mm] und
es gilt [mm] $\limsup |a_{n+1}/a_n|=\lim |a_{n+1}/a_n|$ ($=\liminf |a_{n+1}/a_n|$).
[/mm]
Das Fazit ist: In beiden Büchern steht nichts falsches. Nur kann es sein,
dass Du mit dem QK, wie es im Buch von Herrn X formuliert wurde (nicht(!)
definiert!!), die Konvergenz einer Reihe nicht erkennen kannst, die Du
wohl aber mit QK, wie es im Buch von Herrn Y formuliert wurde, nachweisen
kannst - bzw. meist geht es doch, wenn man denn weiß, wie man sich
Sachen geschickt umformulieren oder umschreiben kann, so dass sie
"im Wesentlichen" gleich bleiben.
Nimm' ein ganz triviales Beispiel:
[mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{1+(-1)^n}{2^n}\,.$
[/mm]
Hier würdest Du vielleicht erstmal sagen, dass es doch oft sehr
problematisch wird, überhaupt
[mm] $a_{n+1}/a_n$
[/mm]
hinzuschreiben - das kann man für ungerade [mm] $n\,$ [/mm] nie, denn wie soll man
durch Null teilen dürfen?
Und dennoch kann man relativ leicht auch die Konvergenz dieser Reihe
nachweisen, auch mit dem Quotientenkriterium - man muss halt mit
"richtigen Argumenten" an die Sache rangehen:
Z.B. mit Argumenten, die sich auf "Teilsummenfolgen" der obigen Reihe
(= Folge ihrer Partialsummen!) beziehen... (es geht [sicher] auch anders).
Und nehmen wir mal das Beispiel aus dem Königsberger:
[mm] $\sum a_n:=\sum_{n=1}^\infty a_n$
[/mm]
mit [mm] $a_n=1/2^n$ [/mm] für gerades [mm] $n\,$ [/mm] und [mm] $1/3^n$ [/mm] für ungerades [mm] $n\,:$
[/mm]
Offensichtlich gilt
[mm] $a_{n+1}/a_n=\frac{1/3^{n+1}}{1/2^n}=\left(\frac{2}{3}\right)^n*\frac{1}{3}$ [/mm] für gerades [mm] $n\,$
[/mm]
und
[mm] $a_{n+1}/a_n=\frac{1/2^{n+1}}{1/3^n}=\left(\frac{3}{2}\right)^n*\frac{1}{2}$ [/mm] für ungerades [mm] $n\,,$
[/mm]
und letztere Rechnung [mm] ($n\,$ [/mm] ungerade) zeigt, dass [mm] $\limsup |a_{n+1}/a_n|=\infty$ [/mm] (und damit
[mm] $\lim |a_{n+1}/a_n|$ [/mm] nicht existiert).
Was lernen wir daraus? Obwohl die Reihe
[mm] $\sum a_n$
[/mm]
"offensichtlich" konvergiert, liefert uns "erstmal" weder das Buch von Herrn
X noch das von Herrn Y die Konvergenz dieser Reihe mit dem
Quotientenkriterium.
Und dennoch ist diese Aussage eigentlich auch nur dann richtig, wenn man
"strikt nach Fahrplan" vorgeht:
Wenn Du nämlich sowas
[mm] $\sum a_n=\sum_{k=1}^\infty a_{2k}+\sum_{\ell=1}^\infty a_{2\ell-1}$
[/mm]
begründest - also, warum Du das (hier - i.a. darf man das nicht einfach so
machen!)so schreiben darfst, dann "kann" es sein, dass Du dabei
Argumente benutzt, um das rechtsstehende hinschreiben zu dürfen, bei
denen Du das QK heranziehst.
Und diese "kleine, aber feine Kunst" gilt es auch, im Studium zu lernen:
"Der Satz blablabla ist auf Situation "Krise" nicht anwendbar. Aber mit Hilfe
von blublubb läßt sich "Krise" 'aufspalten', so dass wir doch auf die
"Teilkrise 1" blablabla anwenden können. "Teilkrise 2" läßt sich durch
... in den Griff kriegen..."
Sowas sind typische Vorgehensweisen - eigentlich sollte sowas schon
bei der Untersuchung der Konvergenz von Folgen vorgekommen sein!
Und das Gesamtfazit für Dich:
Mache Dir bitte deutlich klar, was hinreichende Bedingungen und was
notwendige Bedingungen sind bzw. was da die Unterschiede sind.
So ist zum Beispiel für die Konvergenz einer Reihe
[mm] $\sum a_n$
[/mm]
notwendig(!), dass [mm] $a_n \to 0\,.$ [/mm] Leider ist das Letztstehende aber NICHT
hinreichend für die Konvergenz einer Reihe.
Anders gesagt:
[mm] $a_n \to [/mm] 0$
ist keine Charakterisierung der Aussage
[mm] $\sum a_n$ [/mm] ist konvergent.
(Denn dann müßte [mm] $\iff$ [/mm] gelten!)
Aber [mm] $a_n \to [/mm] 0$ ist notwendig für die Konvergenz von [mm] $\sum a_n\,.$
[/mm]
(Es gilt also [mm] $\Longleftarrow$!)
[/mm]
Jetzt sagst Du vielleicht: Na toll, das hilft mir also nicht, wenn ich bspw.
beweisen will, dass
[mm] $\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2^k}+\left(\frac{2}{3}\right)^k\right)$
[/mm]
konvergiert: Richtig. Wie sollte es auch?
Aber wertlos ist es nicht: Würdest Du ohne Weiteres etwa vermuten,
dass
[mm] $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k*\left(1-\frac{1}{k}\right)^k$
[/mm]
divergieren muss? Mit dem Satz kann man das leicht beweisen...
Gruß,
Marcel
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