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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Quotientenmenge
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Quotientenmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 So 21.03.2010
Autor: s-jojo

Hey :)

Ich hab mir einiges zum Thema "Äquivalenzklasse" und "Quotientenmenge" durchgelesen und wollte fragen, ob ich das so ungefähr richtig verstanden hab.

Als Beispiel jetzt [mm] \IZ/6\IZ:=\{0,1,2,3,4,5\} [/mm]

Die Äquivalenzklassen sind die Reste von 0 bis 5
Das Ganze zusammen ist eine Quotientenmenge

Die Äquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch, transitiv) ist dann zum Beispiel
[mm] 1.(0,0)\in\IZ/6\IZ [/mm] (reflexiv)
[mm] 2.(0,1)\in\IZ/6\IZ\Rightarrow(1,0)\in\IZ/6\IZ [/mm] (symm.)
[mm] 3.(0,1)\in\IZ/6\IZ,(1,2)\in\IZ/6\IZ\Rightarrow(0,2)\in\IZ/6\IZ [/mm] (transitiv)

Kurze Frage noch: könnte ich bei 3. auch schreiben [mm] (0,1)\in\IZ/6\IZ,(2,1)\in\IZ/6\IZ\Rightarrow(0,2)\in\IZ/6\IZ [/mm] (transitiv)? Ich hab jetzt (2,1) statt (1,2) geschrieben... geht das? Also im Buch stand [mm] (x,y)\in R,(y,z)\in R\Rightarrow(x,z)\in [/mm] R, also in der Reihenfolge, wie ich es bei 3. zuerst hingeschrieben hab :D


Gruß,
s-jojo



        
Bezug
Quotientenmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:00 So 21.03.2010
Autor: Micha

Hallo s-jojo!
> Hey :)
>  
> Ich hab mir einiges zum Thema "Äquivalenzklasse" und
> "Quotientenmenge" durchgelesen und wollte fragen, ob ich
> das so ungefähr richtig verstanden hab.
>  
> Als Beispiel jetzt [mm]\IZ/6\IZ:=\{0,1,2,3,4,5\}[/mm]
>  
> Die Äquivalenzklassen sind die Reste von 0 bis 5
>  Das Ganze zusammen ist eine Quotientenmenge
>  
> Die Äquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch, transitiv)
> ist dann zum Beispiel
> [mm]1.(0,0)\in\IZ/6\IZ[/mm] (reflexiv)
> [mm]2.(0,1)\in\IZ/6\IZ\Rightarrow(1,0)\in\IZ/6\IZ[/mm] (symm.)
>  
> [mm]3.(0,1)\in\IZ/6\IZ,(1,2)\in\IZ/6\IZ\Rightarrow(0,2)\in\IZ/6\IZ[/mm]
> (transitiv)
>  
> Kurze Frage noch: könnte ich bei 3. auch schreiben
> [mm](0,1)\in\IZ/6\IZ,(2,1)\in\IZ/6\IZ\Rightarrow(0,2)\in\IZ/6\IZ[/mm]
> (transitiv)? Ich hab jetzt (2,1) statt (1,2) geschrieben...
> geht das? Also im Buch stand [mm](x,y)\in R,(y,z)\in R\Rightarrow(x,z)\in[/mm]

Hier ist einiges durcheinander. Wenn du das Beispiel [mm]\IZ/6\IZ[/mm] betrachtest, dann definiert man die Äquivalenzrelation wie folgt definiert:

$$a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \Leftrightarrow [/mm] a-b [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 6$$

Ein paar $(a,b) [mm] \in \IZ [/mm] x [mm] \IZ$ [/mm] ist also dann in $R$ (R ist hier die Relation [mm] $\equiv$), [/mm] falls die deren Differenz bei der Division durch $6$ den Rest $0$ besitzt. Von daher geht auch dein Beispiel nicht, weil eben $(0,1) [mm] \notin \equiv$, [/mm] denn deren Differenz 1 ist nicht durch 6 teilbar.

Wenn du nun die Definition betrachtest, kannst du die Äquivalenzbedingungen direkt nachprüfen:

$$ a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \Leftrightarrow [/mm] a-b [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 6 [mm] \Leftrightarrow \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : k*6 = (a-b) [mm] \Leftrightarrow \exists [/mm] k' [mm] \in \IZ [/mm] : k'*6 = (b-a) [mm] \Leftrightarrow [/mm] b-a [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 6 [mm] \Leftrightarrow [/mm] b  [mm] \equiv [/mm] a$$

für die Symmetrie beispielsweise. Versuch es nun mal mit den anderen Ä-Bedingungen.

Gruß Micha ;-)

Bezug
                
Bezug
Quotientenmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Mi 24.03.2010
Autor: s-jojo

Hi :)

Sorry, aber ich bin vorher nicht dazu gekommen, zurückzuschreiben...

Für Reflexivität würde ich Folgendes schreiben:
[mm] a\equiv b\gdw a-b=0mod6\gdw a-a=0mod6\gdw a\equiv [/mm] a

Transitivität:
Seien [mm] a\equiv [/mm] b und [mm] b\equiv [/mm] c
[mm] \Rightarrow a-b\equiv 0mod6\wedge b-c\equiv [/mm] 0mod6
[mm] \Rightarrow 6k=a-b\wedge [/mm] 6k=b-c
[mm] \Rightarrow [/mm] 6k=a-b=b-c
[mm] \Rightarrow [/mm] 6k=a-c
[mm] \Rightarrow a-c\equiv [/mm] 0mod6
[mm] \Rightarrow a\equiv c\in [/mm] R

Kann man das so beweisen? :D

Lg
s-jojo



Bezug
                        
Bezug
Quotientenmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:11 Do 25.03.2010
Autor: angela.h.b.

Hallo,

> Für Reflexivität würde ich Folgendes schreiben:

Sei a [mm] \in \IZ. [/mm]
Es ist

a-a=0=0*6  

>  [mm]\gdw a-a=0mod6\gdw a\equiv[/mm] a
>  
> Transitivität:

Seien [mm] a,b,c\in \IZ [/mm] mit

>   [mm]a\equiv[/mm] b und [mm]b\equiv[/mm] c
>  [mm]\Rightarrow a-b\equiv 0mod6\wedge b-c\equiv[/mm] 0mod6
>  [mm]\Rightarrow 6k=a-b\wedge[/mm] 6k=b-c

Diese Zeile hier stimmt nicht.
Die Def. für die Äquivalenz sagt, daß eine Zahl [mm] \eqiuv [/mm] 0 mod 6 ist, wenn sie ein ganzzahliges Vielfaches von 6 ist.
Du sagst in Deiner Zeile aber mehr, nämlich daß a-b und b-c dasselbe Vielfache von 6 sind.

(Mal abgesehen davon: bevor Du mit k anrückst, müßtest Du erstmal erklären, was k sein soll.
Es fehlt "es existiert ein k [mm] \in \IZ") [/mm]

Richtig ginde es also so weiter:

<==> es gibt [mm] k,k'\in \IZ [/mm] mit ...

Gruß v. [mm] Angelaa\equiv b\gdw [/mm] a-b=0mod6


>  [mm]\Rightarrow[/mm] 6k=a-b=b-c
>  [mm]\Rightarrow[/mm] 6k=a-c
>  [mm]\Rightarrow a-c\equiv[/mm] 0mod6
>  [mm]\Rightarrow a\equiv c\in[/mm] R
>  
> Kann man das so beweisen? :D
>  
> Lg
> s-jojo
>  
>  


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