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| Aufgabe | Ist W ein teilraum eines [mm] \IK-Vektorraums [/mm] V, dann bildet V/W mit obigen Operationen einen Vketorraum über [mm] \IK.
[/mm]
Die kanonische Abbildung [mm] \pi:V->V/W,\pi(v):=[v], [/mm] ist eine lineare Surjektion mit [mm] ker(\pi)=W. [/mm] Zu jeder linearen Abbildung [mm] \phi:V->U [/mm] mit [mm] \pi|_W=0 [/mm] existiert eine eindeutige lineare Abbildung [mm] \overline{\phi}:V/W->U, [/mm] sodass [mm] \phi=\overline{\phi} \circ \pi.
[/mm]
V/W ist ürbigens der Quotientenraum V nach W oder V modulo W. |
Mein Verständnisproblem liegt in der Eindeutigkeit von [mm] \overline{\phi}. [/mm] Die anderen Fakten haben wir bewiesen.
[mm] \overline{\phi}:V/W [/mm] -> U, [mm] \overline{\phi}([v]):=\phi(v)
[/mm]
Im Skript steht: Die Eindeutigkeit der Abbildung folgt aus der Surjektivität von [mm] \pi.
[/mm]
Aber warum?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Mi 08.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist W ein teilraum eines [mm]\IK-Vektorraums[/mm] V, dann bildet V/W
> mit obigen Operationen einen Vketorraum über [mm]\IK.[/mm]
> Die kanonische Abbildung [mm]\pi:V->V/W,\pi(v):=[v],[/mm] ist eine
> lineare Surjektion mit [mm]ker(\pi)=W.[/mm] Zu jeder linearen
> Abbildung [mm]\phi:V->U[/mm] mit [mm]\pi|_W=0[/mm] existiert eine eindeutige
> lineare Abbildung [mm]\overline{\phi}:V/W->U,[/mm] sodass
> [mm]\phi=\overline{\phi} \circ \pi.[/mm]
>
> V/W ist ürbigens der Quotientenraum V nach W oder V modulo
> W.
>
> Mein Verständnisproblem liegt in der Eindeutigkeit von
> [mm]\overline{\phi}.[/mm] Die anderen Fakten haben wir bewiesen.
>
> [mm]\overline{\phi}:V/W[/mm] -> U, [mm]\overline{\phi}([v]):=\phi(v)[/mm]
> Im Skript steht: Die Eindeutigkeit der Abbildung folgt aus
> der Surjektivität von [mm]\pi.[/mm]
> Aber warum?
Sei [mm] \phi_0: [/mm] V/W [mm] \to [/mm] U eine weitere Abb. mit:
[mm] \phi_0 \circ \pi= \phi= \overline{\phi} \circ \pi$
[/mm]
Sei a [mm] \in [/mm] V/W. Da [mm] \pi [/mm] surjektiv ist, gibt es ein v [mm] \in [/mm] V mit [mm] \pi(v)=a. [/mm] Dann folgt:
[mm] $\phi_0(a)= \phi_0(\pi(v))= [/mm] ( [mm] \phi_0 \circ \pi)(v)= \phi(v)= (\overline{\phi} \circ \pi)(v)=\overline{\phi}(\pi(v))=\overline{\phi}(a)$
[/mm]
FRED
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> Liebe Grüße
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> > Im Skript steht: Die Eindeutigkeit der Abbildung folgt
> aus
> > der Surjektivität von [mm]\pi.[/mm]
> > Aber warum?
>
> Sei [mm]\phi_0:[/mm] V/W [mm]\to[/mm] U eine weitere Abb. mit:
>
> [mm]\phi_0 \circ \pi= \phi= \overline{\phi} \circ \pi$[/mm]
>
> Sei a [mm]\in[/mm] V/W. Da [mm]\pi[/mm] surjektiv ist, gibt es ein v [mm]\in[/mm] V
> mit [mm]\pi(v)=a.[/mm] Dann folgt:
>
> [mm]\phi_0(a)= \phi_0(\pi(v))= ( \phi_0 \circ \pi)(v)= \phi(v)= (\overline{\phi} \circ \pi)(v)=\overline{\phi}(\pi(v))=\overline{\phi}(a)[/mm]
Hei,
Jetzt ist es klar.
Darunter hab ich noch eine Bemerkung im Skript stehen:
Sei W [mm] \subseteq [/mm] V ein Teilraum
[mm] W=\{v \in V|\pi(v)=0\}
[/mm]
[mm] \pi:V->V/W
[/mm]
Die Menge W ist doch der [mm] kern(\pi) [/mm] und der stellt die Lösung eines homogenen Gleichungssystems dar.
Warum folgt aber dann?:
Das es zu jeden Teilraum ein Gleichungssystem gibt, das den teilraum als Lösung hat.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Do 09.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Im Skript steht: Die Eindeutigkeit der Abbildung folgt
> > aus
> > > der Surjektivität von [mm]\pi.[/mm]
> > > Aber warum?
> >
> > Sei [mm]\phi_0:[/mm] V/W [mm]\to[/mm] U eine weitere Abb. mit:
> >
> > [mm]\phi_0 \circ \pi= \phi= \overline{\phi} \circ \pi$[/mm]
> >
> > Sei a [mm]\in[/mm] V/W. Da [mm]\pi[/mm] surjektiv ist, gibt es ein v [mm]\in[/mm] V
> > mit [mm]\pi(v)=a.[/mm] Dann folgt:
> >
> > [mm]\phi_0(a)= \phi_0(\pi(v))= ( \phi_0 \circ \pi)(v)= \phi(v)= (\overline{\phi} \circ \pi)(v)=\overline{\phi}(\pi(v))=\overline{\phi}(a)[/mm]
>
> Hei,
> Jetzt ist es klar.
>
> Darunter hab ich noch eine Bemerkung im Skript stehen:
> Sei W [mm]\subseteq[/mm] V ein Teilraum
> [mm]W=\{v \in V|\pi(v)=0\}[/mm]
> [mm]\pi:V->V/W[/mm]
>
> Die Menge W ist doch der [mm]kern(\pi)[/mm] und der stellt die
> Lösung eines homogenen Gleichungssystems dar.
> Warum folgt aber dann?:
> Das es zu jeden Teilraum ein Gleichungssystem gibt, das
> den teilraum als Lösung hat.
Dazu brauchst Du doch keinen Quotientenraum !
Sei V ein endlichdim. Vektorraum und W ein Teiraum von V. Besorge Dir einen Komplementärraum U von W, es gilt also
$V=U [mm] \oplus [/mm] W$.
Nun sei P :V [mm] \to [/mm] V die Projektion von V auf U längs W.
Dann gilt für v [mm] \in [/mm] V:
Pv=0 [mm] \gdw [/mm] v [mm] \in [/mm] W
FRED
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