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| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum, W [mm] \subset [/mm] V ein Untervektorraum und V/W der Quotientenraum.
a) Man beweise oder widerlege: Sind [mm] [v_{1}],...,[v_{n}] \in [/mm] V/W linear unabhängig, so sind auch [mm] v_{1},...,v_{n} \in [/mm] V linear unabhängig.
b)Man beweise oder widerlege: Sind [mm] v_{1},...,v_{n} \in [/mm] V linear unabhängig, so sind auch [mm] [v_{1}],...,[v_{n}] \in [/mm] V/W linear unabhängig. |
zu a): Da bin ich bis zu folgendem Schritt gekommen:
[mm] \lambda_{1}v_{1}+W+...+\lambda_{n}v_{n}+W=0
[/mm]
Aber wie komme ich von da aus weiter?
zu b): Ich weiß zwar,dass es nicht gilt,aber es wäre nett,wenn mir bei diesem Beweis jemand einen Tipp geben könnte!
Danke schonmal im Vorraus!
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> Es sei V ein Vektorraum, W [mm]\subset[/mm] V ein Untervektorraum
> und V/W der Quotientenraum.
> a) Man beweise oder widerlege: Sind [mm][v_{1}],...,[v_{n}] \in[/mm]
> V/W linear unabhängig, so sind auch [mm]v_{1},...,v_{n} \in[/mm] V
> linear unabhängig.
> b)Man beweise oder widerlege: Sind [mm]v_{1},...,v_{n} \in[/mm] V
> linear unabhängig, so sind auch [mm][v_{1}],...,[v_{n}] \in[/mm] V/W
> linear unabhängig.
> zu a): Da bin ich bis zu folgendem Schritt gekommen:
> [mm]\lambda_{1}v_{1}+W+...+\lambda_{n}v_{n}+W=0[/mm]
Hallo,
was meinst Du mit der Null auf der rechten Seite? Dies ist ein Punkt, über welchen Du unbedingt nachdenken mußt.
Mach Dir klar, in welchem Raum Du Dich gerade bewegst und besinne Dich darauf, was dort das neutrale Element ist.
Für den beweis würde ich lieber die Kontarpos. zeigen, also
[mm] v_i, [/mm] i=1,...,n, abhängig ==> [mm] [v_i] [/mm] , i=1,...,n, abhängig
Du mußt hierfür die im Quotientenraum definierten verknüpfungen verwenden.
> Aber wie komme ich von da aus weiter?
> zu b): Ich weiß zwar,dass es nicht gilt,
Wie hast Du das herausgefunden? Was hast Du Dir dazu überlegt?
Nimm einen UVR W, der mindestens die Dimension 1 hat und zeige, daß für [mm] 0\not=w\in [/mm] W
[w] der Nullvektor ist. Der ist dann linear abhängig, denn 5*[0]=[0].
Der casus knacktus bei dieser Richtung: für sämtliche w [mm] \in [/mm] W ist [w]=W, und das macht die Behauptung kaputt.
Gruß v. Angela
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