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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Mi 26.11.2008 | | Autor: | studi08 |
| Aufgabe | Sei [mm] V=\IR^4 [/mm] und U= [mm] \vektor{\alpha \\ \beta \\ 0 \\ 0} \alpha,\beta \in\IR
[/mm]
Zeige [mm] V/U=\vektor{\gamma \\ \delta \\ c \\ d}+U:\gamma,\delta\in\IR [/mm] |
Ich sehe momentan nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll.Also ich weiss folgendes von Quotientenräumen:
[mm] \pi \to [/mm] a+U
[mm] \pi(a)= [/mm] a+U
und der [mm] Kern\pi=U
[/mm]
Was ist nun der erste Schritt?
Besten Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:24 Do 27.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Sei $ V=R^4 $ und U= $ \vektor{\alpha \\ \beta \\ 0 \\ 0} \alpha,\beta $
> Element von R
ich mag' diese (allerdings durchaus gängige) Notation nicht. Es läßt sich nämlich sauber schreiben:
$$ U=\left\{\vektor{\alpha \\ \beta \\ 0 \\ 0};\; \alpha,\beta \in \IR\right\}\,. $$
> Zeige V/U = $ \vektor{\gamma \\ \delta \\ c \\ d} $ + U :
> $ \gamma,\delta $ Element von R
Dort sollte wohl eher
$ \vektor{c \\ d\\ \gamma \\ \delta} $ + U : $ \gamma,\delta $ Element von R
stehen?!
> Ich sehe momentan nicht wie ich diese Aufgabe angehen
> soll.Also ich weiss folgendes von Quotientenräumen:
> $ \red{\pi \to} $ a+U
$$ \blue{\pi: V \to V/U;\;\;a \mapsto a+U} $$
> $ \pi(a)= $ a+U
> und der $ Kern\pi=U $
> Was ist nun der erste Schritt?
Ich weiß leider nicht, wie ihr Quotientenvektorräume definiert habt. Eine mögliche Definition ist jedenfalls $V/U=\{a+U;\;a \in V\}\,.$
Also:
Dann hättest Du oben, weil dann hier $V/U=\{x^T+U; x^T=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T \in \IR^4\}$ ist, zu zeigen:
Für beliebige, aber feste $c,d \in \IR$ gilt:
$$\underbrace{\left\{x+U; \;x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}\in \IR^4\right\}}_{=V/U}= \blue{\left\{\vektor{c \\ d\\ \gamma \\ \delta} +U;\;\gamma, \delta \in \IR\right\}}\,. $$
Zu "$\subset$":
Sei $W \in V/U\,.$ Dann gilt $W=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}+U$ für ein $\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} \in \IR^4\,.$ Also folgt
$$W=\vektor{c\\d\\x_3\\x_4}+\underbrace{\;\;\underbrace{\vektor{x_1-c\\x_2-d\\0\\0}}_{\in U}+U}_{\substack{=U;\\\\\text{denn beachte: }u+U=U \text{ für } u \in U}}\;\;}=\vektor{c\\d\\x_3\\x_4}+U\,,$$
und damit gilt $W \in \blue{\{...\}}$ (mit $\gamma:=x_3$ und $\delta:=x_4$).
$\text{(}$Man beachte (und erst, als ich mir das selbst wieder klargemacht habe, habe ich erkannt, was ich da vorher für einen Unsinn stehen hatte!), dass das Element $W \in V/U$ selbst eine Teilmenge von $\,V\,$ ist. Es ist nämlich $W \subset V\,,$ da für festes $x \in V$ gilt:
$$x+U=\{x+u;\;u \in U\} \subset V\,.\text{)}$$
Zu "$\supset$":
Das ist trivial (wegen $\vektor{c\\d\\\gamma\\\delta} \in \IR^4$).
Gruß,
Marcel
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