Quotientenraum homöomorph < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Ich versuche gerade die Homöomorphismen in Quotientenräumen zu verstehen. Überall list man auch, dass beispielsweise [mm]\left[ 0,1 \right]/\lbrace 0,1 \rbrace[/mm] homöomorph ist zu [mm]S^{1}[/mm].
Die Abbildung ist gegeben durch [mm]\varphi(t) = (cos(2\pi t),sin(2\pi t))[/mm]
Ich würde nun gerne wissen, wie man formell die homöomorphie zeigen kann. Würde man hier direkt die Voraussetzungen an [mm]\varphi(t)[/mm] versuchen zu zeigen oder soll man über [mm]\pi: \left[ 0,1 \right] \to \left[ 0,1 \right]/\lbrace 0,1 \rbrace[/mm] und [mm]f: \left[ 0,1 \right] \to S^{1}[/mm] gehen und dann [mm]\varphi[/mm] als Komposition betrachten?
Ich wäre froh, könnte mir jemand an diesem Beispiel ein bisschen Klarheit verschaffen..
Ich bedanke mich :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Di 05.10.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
habe leider übersehen, dass oben $[0,1] / [mm] \{0,1\}$ [/mm] und nicht $[0,1] [mm] \setminus \{0,1\}$ [/mm] stand - demzufolge hilft Dir meine Antwort (vielleicht) nicht wirklich weiter(?) und ich habe sie daher rot (=falsch/nicht (direkt) passend) markiert. Ich stelle die Frage erneut auf statuslos.
Beste Grüße,
Marcel
Hallo,
> Hallo
>
> Ich versuche gerade die Homöomorphismen in
> Quotientenräumen zu verstehen. Überall list man auch,
> dass beispielsweise [mm]\left[ 0,1 \right]/\lbrace 0,1 \rbrace[/mm]
> homöomorph ist zu [mm]S^{1}[/mm].
kann es sein, dass Du [mm] $[0,1]\setminus \{1\}$ [/mm] meinst? Denn andernfalls fehlt Dir unten ja der Punkt $(1,0) [mm] \in S^1\,.$
[/mm]
> Die Abbildung ist gegeben durch [mm]\varphi(t) = (cos(2\pi t),sin(2\pi t))[/mm]
>
> Ich würde nun gerne wissen, wie man formell die
> homöomorphie zeigen kann.
Du mußt doch nur noch zeigen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] ein ![[]](/images/popup.gif) Homöomorphismus (klick: siehe Wiki) ist (genauer: ein Homöomorphismus $[0,1) [mm] \to S^1$). [/mm] Da jede "Komponentenfunktion" stetig ist auf $[0,1)$ [mm] ($\sin(\cdot)$ [/mm] und [mm] $\cos(\cdot)$ [/mm] und $t [mm] \mapsto [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] t$ sind ja alles stetige Funktionen, also auch entsprechende Kompositionen), ist [mm] $\varphi$ [/mm] offenbar stetig (als Funktion $[0,1) [mm] \to S^1$). [/mm] Die Injektivität ist fast banal, die Surjektivität auch nicht allzu schwer.
Und dass die Umkehrfunktion auch stetig ist, kann man sich sogar geometrisch klarmachen:
Denn wenn ich mich auf dem Kreisbogen bewege und auf einen festen Punkt des Kreisbogens zulaufe, so sagt diese etwas über die "Länge des entsprechenden Bogenstücks" aus (Winkel im Bogenmaß). Vielleicht findest Du da aber auch eine etwas mathematischere Argumentation (die naivste Herangehensweise ist es allerdings, einfach meine "mathematisch anschaulische Argumentation" mal in die mathematische Sprache umzusetzen, sprich: Konkrete Angabe der Umkehrfunktion und dann damit genau das formal nachweisen, was ich oben in Worten gesagt habe; z.B. kannst Du für einen Punkt $P [mm] \in S^1$ [/mm] einen (eindeutig bestimmten) Winkel [mm] $\Theta=\Theta_P \in [0,2\pi)$ [/mm] finden, so dass...).
> Würde man hier direkt die
> Voraussetzungen an [mm]\varphi(t)[/mm] versuchen zu zeigen oder soll
> man über [mm]\pi: \left[ 0,1 \right] \to \left[ 0,1 \right]/\lbrace 0,1 \rbrace[/mm]
> und [mm]f: \left[ 0,1 \right] \to S^{1}[/mm] gehen und dann [mm]\varphi[/mm]
> als Komposition betrachten?
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> Ich wäre froh, könnte mir jemand an diesem Beispiel ein
> bisschen Klarheit verschaffen..
>
> Ich bedanke mich :)
>
> Grüsse, Amaro
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Mi 06.10.2010 | | Autor: | cycore |
Hallo Amaro,
Anscheinend ist es zu spät, aber ich hab grad zeit und vielleicht hilft es ja trotzdem noch...
Angehängt ist das dazugehörige Diagramm...Da und im folgenden ist [mm]X=[0,1]/\{0,1\}[/mm]...
Was wir unten brauchen ist der Satz, dass i.d. Finaltopologie(hier =Quotiententop.) eine eine abb. [mm]f = \pi\circ\overline{f}[/mm] stetig ist, gdw. [mm]\overline{f}[/mm] stetig ist.
Das mit der komposition ist ja schonmal gut, aber das [mm]\varphi[/mm] ist ja nicht direkt dein homöomorphismus...dieser ist [mm]\overline{\varphi}\colon X\to S^1, [t] \mapsto e^{2\pi t i} [/mm] (wohldef. klarmachen!), d.h. [mm]\pi\circ\overline{\varphi} = \varphi[/mm], woraus mit der Stetigkeit von [mm]\varphi[/mm] die Stetigkeit von [mm]\overline{\varphi}[/mm] folgt. Die injektivität und surjektivität ist recht einfach z.z. und die Umkehrfkt. [mm]\overline{\varphi}^{-1} = \pi\circ\varphi^{-1}[/mm] ist stetig, gdw. [mm]\varphi^{-1}[/mm] stetig ist, was man auch noch zeigen muss, aber das geht...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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