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Forum "Schul-Analysis" - Quotientenregel
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Quotientenregel: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Mi 31.05.2006
Autor: Vicky89

Aufgabe
Bilden Sie die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel
f(x) = [mm] \bruch{ \wurzel{x}+1}{ \wurzel{x}-1} [/mm]

Ich habe die Quotientenregel bereits angewendet, und komme auf dieses Ergebnis:

  [mm] \bruch{\bruch{1}{2 \wurzel{x}} * ( \wurzel{x}-1) - \bruch{1}{2 \wurzel{x}} * ( \wurzel{x} + 1)}{( \wurzel{x}-1)^2} [/mm]

Wie gehe ich nun weiter vor? und kann ich den Doppelbruch irgendwie vermeiden?

LG

        
Bezug
Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Mi 31.05.2006
Autor: Disap

Hallo Vicky.

> Bilden Sie die Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel
>   f(x) = [mm]\bruch{ \wurzel{x}+1}{ \wurzel{x}-1}[/mm]
>  Ich habe die
> Quotientenregel bereits angewendet, und komme auf dieses
> Ergebnis:
>  
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2 \wurzel{x}} * ( \wurzel{x}-1) - \bruch{1}{2 \wurzel{x}} * ( \wurzel{x} + 1)}{( \wurzel{x}-1)^2}[/mm]

[ok]

> Wie gehe ich nun weiter vor? und kann ich den Doppelbruch
> irgendwie vermeiden?

Betrachte den Term doch mal genau:

[mm] $\bruch{\red{\bruch{1}{2 \wurzel{x}}} * ( \wurzel{x}-1) - \red{\bruch{1}{2 \wurzel{x}}} * ( \wurzel{x} + 1)}{( \wurzel{x}-1)^2}$ [/mm]

Wir haben zwei mal den selben (roten) Ausdruck, d. h. du kannst hier erst einmal Ausklammern:

[mm] $\bruch{\red{\bruch{1}{2 \wurzel{x}}} (( \wurzel{x}-1) - ( \wurzel{x} + 1))}{( \wurzel{x}-1)^2}$ [/mm]

Nun können wir den Doppelbruchstrich vermeiden, indem wir die [mm] 2\wurzel{x} [/mm] in den Nenner schreiben


[mm] $\bruch{(( \wurzel{x}-1) - ( \wurzel{x} + 1))}{2*\wurzel{x}*( \wurzel{x}-1)^2}$ [/mm]

Lösen wir nun das Vorzeichen (minus) vor der Klammer auf

[mm] $\bruch{(( \wurzel{x}-1) - \wurzel{x} - 1))}{2*\wurzel{x}*( \wurzel{x}-1)^2}$ [/mm]

[mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{x} [/mm] =0 ; -1-1=-2

[mm] $\bruch{(-2)}{2*\wurzel{x}*( \wurzel{x}-1)^2}$ [/mm]

Die zwei kürzt sich noch weg:

[mm] $\bruch{(-1)}{\wurzel{x}*( \wurzel{x}-1)^2}$ [/mm]

Und fertig.

Habe ich zu viel verraten? Hättest du lieber wenige Worte gehabt? Ich bin mir da nie sicher [weisswerd]

> LG
>  

Liebe Grüße
Disap
Bezug
                
Bezug
Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Mi 31.05.2006
Autor: Vicky89

Danke, mir ist nur grade aufgefallen, dass ich die falsche aufgabe geschickt habe. Denn das mit dem ausklammern war mir auch schon aufgefallen..
ich hab noch ne andere aufgabe, da ist der eine teil positiv und der andere negativ, und da hatte ich meine probleme mit:

  g(x)= [mm] \bruch{\wurzel{x+1}}{ \wurzel{x-1}}\ [/mm]

g' (x) =   [mm] \bruch{\bruch{1}{2 \wurzel{x+1}} * \wurzel{x-1} - \bruch{1}{2 \wurzel{x-1}} * \wurzel{x+1} }{( \wurzel{x-1})^2} [/mm]
Bezug
                        
Bezug
Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Mi 31.05.2006
Autor: Disap

Hallo.

> Danke, mir ist nur grade aufgefallen, dass ich die falsche
> aufgabe geschickt habe. Denn das mit dem ausklammern war

[grins]

> mir auch schon aufgefallen..
>  ich hab noch ne andere aufgabe, da ist der eine teil
> positiv und der andere negativ, und da hatte ich meine
> probleme mit:
>  
> g(x)= [mm]\bruch{\wurzel{x+1}}{ \wurzel{x-1}}\[/mm]
>  
> g' (x) =   [mm]\bruch{\bruch{1}{2 \wurzel{x+1}} * \wurzel{x-1} - \bruch{1}{2 \wurzel{x-1}} * \wurzel{x+1} }{( \wurzel{x-1})^2}[/mm]

$g' (x) =   [mm] \bruch{\red{\bruch{1}{2 \wurzel{x+1}}} * \wurzel{x-1} - \red{\bruch{1}{2 \wurzel{x-1}}} * \wurzel{x+1} }{( \wurzel{x-1})^2}$ [/mm]

Betrachten wir doch mal den Doppelbruch.

$g' (x) =   [mm] \bruch{\bruch{\wurzel{x-1}}{2 \wurzel{x+1}} - \bruch{\wurzel{x+1}}{2 \wurzel{x-1}}}{( \wurzel{x-1})^2}$ [/mm]

Bei Brüchen ist es eine gute Idee, den Hauptnenner zu suchen.

Und der Hauptnenner ist [mm] $2\sqrt{x+1}*\sqrt{x-1}$ [/mm] Dann erweitern wir mal.

$g' (x) =   [mm] \bruch{\bruch{\wurzel{x-1}*\wurzel{x-1}}{2 \wurzel{x+1}*\wurzel{x-1}} - \bruch{\wurzel{x+1}*\wurzel{x+1}}{2 \wurzel{x-1}*\wurzel{x+1}}}{( \wurzel{x-1})^2}$ [/mm]

Nun kannst du mit Hilfe von ausmultiplizieren noch etwas zusammenfassen.

$g' (x) =   [mm] \bruch{\bruch{x-1}{2 \wurzel{x+1}*\wurzel{x-1}} - \bruch{x+1}{2 \wurzel{x-1}*\wurzel{x+1}}}{( \wurzel{x-1})^2}$ [/mm]

Hier lässt sich noch einiges abändern.

MfG!
Disap
Bezug
                                
Bezug
Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 Mi 31.05.2006
Autor: Vicky89

Hey,
danke erstmal für deine schnelle Antwort!
Habe das jetzt weiter ausgerechnet, und komme zu diesem ergebnis:

g'(x)=  [mm] \bruch{-1}{ \wurzel{x+1}* \wurzel{x-1}* (x-1)} [/mm]

Ist das so richtig?!
Bezug
                                        
Bezug
Quotientenregel: richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Mi 31.05.2006
Autor: Disap


> Hey,

Seas.

> danke erstmal für deine schnelle Antwort!
>  Habe das jetzt weiter ausgerechnet, und komme zu diesem
> ergebnis:
>  
> g'(x)=  [mm]\bruch{-1}{ \wurzel{x+1}* \wurzel{x-1}* (x-1)}[/mm]
>  
> Ist das so richtig?!  

[daumenhoch] Gut gemacht! [applaus]

Ansonsten geht auch:

$g'(x)= [mm] \bruch{-1}{ \wurzel{x+1}* (x-1)^{0.5}* (x-1)^1}$ [/mm]

Potenzgesetze

$g'(x)= [mm] \bruch{-1}{ \wurzel{x+1}* (x-1)^{1.5}}$ [/mm]

LG
Disap
Bezug
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