Quotientenregel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
in einem Betriebswirtschaftsbuch finde ich zwei Ableitungen, die ich so nicht verstehe. Hier die erste: Ausgegangen wird von
[mm]
e' = \frac{d(\frac{x}{r_i})}{d r_i} = 0
[/mm]
Durch Anwendung der Quotientenregel ergibt sich (?):
[mm]
\frac{(x'\cdot r_i - 1\cdot x)}{r_i^2}
[/mm]
Mir ist nicht klar, wieso [mm]d(\frac{x}{r_i}) = x'[/mm], bzw. wenn [mm]f'(x)=d(\frac{x}{r_i})[/mm], warum dann [mm]f(x)=x[/mm] ?
Das zweite Problem ist ähnlich und bezieht sich auf [mm]\frac{d(\frac{x}{r})}{d r} = \frac{(\frac{dx}{dr})\cdot r - x\cdot 1}{r^2}[/mm]
Wieso läuft hier die Ableitung anders ab als bei der Formel oben, sie unterscheiden sich doch nur durch Verwendung von [mm]r[/mm] bzw. [mm]r_i[/mm].
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Fulla |
hi elektronaut!
das [mm] e'=\bruch{d(\bruch{x}{r_i})}{dr} [/mm] kann man auch anders schreiben:
[mm] e'=\bruch{d}{d r_i}\left(\bruch{x}{r_i}\right)
[/mm]
das [mm] \bruch{d}{dr_i} [/mm] steht für "ableitung nach [mm] r_i [/mm] "
oder anders: [mm] f(r_i)=\bruch{x}{r_i} [/mm] und gesucht ist [mm] f'(r_i)
[/mm]
allerdings ist die schreibweise oben etwas geschickter, weil man ganz genau angeben kann, nach welcher variablen man ableitet.
so, jetzt zur ableitung:
die quotientenregel kennst du ja bestimmt:
[mm]\left(\bruch{u}{v}\right)'=\bruch{u'*v-u*v'}{v^2}[/mm]
hier ist [mm]u=x[/mm] und [mm]v=r_i[/mm]
wenn x konstant ist - bzw. wenn es nicht von [mm] r_i [/mm] abhängt, ist die ableitung nach [mm] r_i [/mm] :
[mm] \bruch{1*r_i-x*1}{r_i^2}
[/mm]
ansonsten, also wenn [mm]x=x(r_i)[/mm]:
[mm] \bruch{x'(r_i)*r_i-x(r_i)}{r_i^2}
[/mm]
[das [mm] (r_i) [/mm] beim x kann man auch weglassen]
jetz zu der zweiten formel:
das ist genau das gleiche, wie oben!
wie du richtig vermutest, ändert sich nichts, wenn man [mm]r[/mm] und [mm] r_i [/mm] vertauscht...
[mm] \left(\bruch{dx}{dr}\right)=\bruch{d}{dr}\left(\bruch{x}{r}\right)=x'(r)
[/mm]
das ist also die ableitung von [mm]x[/mm] nach [mm] r_i [/mm] - genau wie oben.
setz das in die zweite formel ein und du kriegst das gleiche wie in der ersten formel.
> Mir ist nicht
> klar, wieso [mm]d(\frac{x}{r_i}) = x'[/mm], bzw. wenn
> [mm]f'(x)=d(\frac{x}{r_i})[/mm], warum dann [mm]f(x)=x[/mm] ?
und mir ist nicht klar, was du da meinst...  von $f(x)$ ist nirgens die rede! höchstens von $f(r)$ bzw. [mm] f(r_i)
[/mm]
noch fragen?
lieben gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
Hi Fulla,
erstmal vielen Dank für Deine prompte Antwort! Wenn ich dich recht verstehe, ist der Knackpunkt Deine Äußerung
das [mm] e'=\bruch{d(\bruch{x}{r_i})}{dr_i} [/mm] kann man auch anders schreiben:
[mm] e'=\bruch{d}{d r_i}\left(\bruch{x}{r_i}\right)
[/mm]
das [mm] \bruch{d}{dr_i} [/mm] steht für "ableitung nach [mm] r_i [/mm] "
Das heisst also, dass ich die Quotientenregel nur auf den Term
[mm]
\frac{x}{r_i}
[/mm] anwenden muß? Dann ist mir die Sache bei der ersten Gleichung klar. Nur bei der zweiten hakt's immer noch. Sie lautet ja
[mm]\frac{d(\frac{x}{r})}{d r} = \frac{(\frac{dx}{dr})\cdot r - x\cdot 1}{r^2}[/mm]. Warum nicht [mm]\frac{d(\frac{x}{r})}{d r} = \frac{dx\cdot r - x\cdot 1}{r^2}[/mm] bzw. [mm]\frac{d(\frac{x}{r})}{d r} = \frac{x' \cdot r - x\cdot 1}{r^2}[/mm] ?
Vielen Dank für Deine Geduld, Fulla!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Mi 04.10.2006 | | Autor: | chrisno |
> Hi Fulla,
>
> erstmal vielen Dank für Deine prompte Antwort! Wenn ich
> dich recht verstehe, ist der Knackpunkt Deine Äußerung
>
> das [mm]e'=\bruch{d(\bruch{x}{r_i})}{dr_i}[/mm] kann man auch anders
> schreiben:
>
> [mm]e'=\bruch{d}{d r_i}\left(\bruch{x}{r_i}\right)[/mm]
>
> das [mm]\bruch{d}{dr_i}[/mm] steht für "ableitung nach [mm]r_i[/mm] "
>
> Das heisst also, dass ich die Quotientenregel nur auf den
> Term
> [mm]
\frac{x}{r_i}
[/mm] anwenden muß? Dann ist mir die Sache bei der ersten
> Gleichung klar. Nur bei der zweiten hakt's immer noch. Sie
> lautet ja
> [mm]\frac{d(\frac{x}{r})}{d r} = \frac{(\frac{dx}{dr})\cdot r - x\cdot 1}{r^2}[/mm].
> Warum nicht [mm]\frac{d(\frac{x}{r})}{d r} = \frac{dx\cdot r - x\cdot 1}{r^2}[/mm]
> bzw. [mm]\frac{d(\frac{x}{r})}{d r} = \frac{x' \cdot r - x\cdot 1}{r^2}[/mm]
> ?
Im Prinzip kannst Du dx(r)/dr nicht auftrennen. Das steht eben für x´(r). Damit fehlt dem ersten Deiner Vorschläge das dr und der zweite ist in Ordnung.
>
> Vielen Dank für Deine Geduld, Fulla!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:46 Do 05.10.2006 | | Autor: | Fulla |
hi nochmal!
das $dx$ steht (meistens) nicht allein.
es heißt immer [mm] $\bruch{dx}{dr}$ [/mm] [sprich: "d x nach d r" = ableitung von x nach der variablen r]
$ [mm] \frac{d(\frac{x}{r})}{d r} [/mm] = [mm] \frac{x' \cdot r - x\cdot 1}{r^2} [/mm] $ ist richtig (wenn $x'$ die ableitung von x nach r ist).
|
|
|
|
