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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mi 10.10.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Leiten Sie ab
a) $y = [mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-x}$ [/mm] b) $y = [mm] \bruch{sin x}{x} [/mm] + [mm] \bruch{x}{sin x}$ [/mm] c) $y = [mm] \bruch{x²-1}{\wurzel{x}} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{x}}{x-1}$ [/mm] |
Hallo Zusammen,
a) $y' = [mm] \bruch{-1}{(1+x)²} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-x)²}$
[/mm]
b) $y' = [mm] \bruch{cos x \cdot{} x - sin x}{x²} [/mm] + [mm] \bruch{sin x - x \cdot{} cos x}{sin²x}$
[/mm]
die ersten beiden Ableitungen müssten stimmen.
c) $y' = [mm] \bruch{2x \cdot{} \wurzel{x} - (x²-1) \cdot{} \bruch{1}{2 \wurzel{x}}}{x} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{1}{2 \wurzel{x}} \cdot{} (x-1) - \wurzel{x}}{(x-1)²}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{2x \cdot{} \wurzel{x} - \bruch{x²-1}{2 \wurzel{x}}}{x} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{x-1}{2 \wurzel{x}} - \wurzel{x}}{(x-1)²}$
[/mm]
$= 2 [mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \bruch{x-1}{2 \wurzel{x}}$ [/mm] ....
bis hierhin müsste es noch stimmen. Wie geht es nun weiter? Danke.
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> > Bringe hier: [mm]\bruch{2x \cdot{} \wurzel{x} - \bruch{x²-1}{2 \wurzel{x}}}{x} - \bruch{\bruch{x-1}{2 \wurzel{x}} - \wurzel{x}}{(x-1)²}[/mm]
> > mal die Terme in den Zählern jeweils auf den gemeinsamen
> > Nenner [mm]2\sqrt{x}[/mm]
> >
> > Das dann schön zusammenfassen und die Doppelbrüche
> > weghauen.
> >
> > Dann wieder gleichnamig machen und zusammenfassen
>
>
> dann sieht es so aus, nachdem die Brüche gleichnamig
> gemacht wurden, wie kann ich dies nun zusammenfassen?
>
> = [mm]\bruch{\bruch{2x \cdot{} \wurzel{x} \cdot{} 2\wurzel{x} -x² -1}{2\wurzel{x}}}{x} - \bruch{\bruch{x-1-\wurzel{x} \cdot{} 2\wurzel{x}}{2\wurzel{x}}}{(x-1)²} = ?[/mm]
Hallo,
Du hast das Setzen einer wichtigen Klämmer versäumt:
es muß heißen
[mm] ...=\bruch{\bruch{2x \cdot{} \wurzel{x} \cdot{} 2\wurzel{x} -(x² -1)}{2\wurzel{x}}}{x} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{x-1-\wurzel{x} \cdot{} 2\wurzel{x}}{2\wurzel{x}}}{(x-1)²} [/mm]
[mm] =\bruch{2x \cdot{} \wurzel{x} \cdot{} 2\wurzel{x} -(x² -1)}{2\wurzel{x}*x} [/mm] - [mm] \bruch{x-1-\wurzel{x} \cdot{} 2\wurzel{x}}{2\wurzel{x}(x-1)²} [/mm]
Bedenke nun, daß [mm] \wurzel{x}*\wurzel{x}=x [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Do 11.10.2007 | | Autor: | itse |
> Hallo,
>
> Du hast das Setzen einer wichtigen Klämmer versäumt:
>
> es muß heißen
>
> [mm]...=\bruch{\bruch{2x \cdot{} \wurzel{x} \cdot{} 2\wurzel{x} -(x² -1)}{2\wurzel{x}}}{x}[/mm]
> - [mm]\bruch{\bruch{x-1-\wurzel{x} \cdot{} 2\wurzel{x}}{2\wurzel{x}}}{(x-1)²}[/mm]
>
>
> [mm]=\bruch{2x \cdot{} \wurzel{x} \cdot{} 2\wurzel{x} -(x² -1)}{2\wurzel{x}*x}[/mm] - [mm]\bruch{x-1-\wurzel{x} \cdot{}
> 2\wurzel{x}}{2\wurzel{x}(x-1)²}[/mm]
>
> Bedenke nun, daß [mm]\wurzel{x}*\wurzel{x}=x[/mm] gilt.
$ [mm] =\bruch{2x \cdot{} 2x - (x² -1)}{2\wurzel{x}\cdot{}x} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{x - 1 - 2x}{2\wurzel{x}(x-1)²}$ [/mm]
$ [mm] =\bruch{4x² - x² + 1}{2\wurzel{x}\cdot{}x}$ [/mm] - [mm] $\bruch{x - 1 - 2x}{2\wurzel{x}(x-1)²}$
[/mm]
soweit müsste es hoffentlich stimmen, nun die Brüche wieder gleichnamig machen um dann alles auf einen Bruchstrich Schreiben zu können:
$ [mm] =\bruch{4x² - x² + 1 (x-1)²}{2\wurzel{x} \cdot{} x (x-1)²}$ [/mm] - [mm] $\bruch{x - 1 - 2x \cdot{} x}{2\wurzel{x}(x-1)² \cdot{} x}$
[/mm]
$ [mm] =\bruch{4x² - x² + 1 + x² - 2x + 1 - x - 1 - 2x²}{2\wurzel{x} \cdot{} x (x-1)²}$
[/mm]
$ [mm] =\bruch{2x² - 3x + 1}{2\wurzel{x} \cdot{} x (x-1)²}$
[/mm]
stimmt dies und wenn ja wie geht es weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dablack |
Dir ist leider ein Fehler unterlaufen:
$ [mm] =\bruch{(4x² - x² + 1) (x-1)²}{2\wurzel{x} \cdot{} x (x-1)²} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{(x - 1 - 2x) \cdot{} x}{2\wurzel{x}(x-1)² \cdot{} x} [/mm] $
Du hast die Klammern vergessen und demzufolge falsch ausmultipliziert.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:12 Do 11.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
danke für die Antwort. Die Lösung des Ganzen sieht so aus:
$y' = [mm] 1,5\wurzel{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2x\wurzel{x}} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{x} + \bruch{1}{2\wurzel{x}}}{(x-1)²}$
[/mm]
was haben die anders gemacht bzw. ist meine Lösung dann falsch? Vielen Dank nochmals.
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S. mein Post "Klammern",
oder das inzwischen editierte Post v. Dablack.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Do 11.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Ihr Beiden,
danke für eure Hilfe. So zunächst löse ich das Binom auf (x-1)² = (x²-2x+1) und dies multiplizier ich dann mit (4x²-x²+1). Es kommt heraus (ich habe das x noch aus dem Nenner gekürzt), dann wird es etwas übersichtlicher:
$y' = [mm] \bruch{3x³-6x²+2x+2}{2\wurzel{x}(x-1)²}$, [/mm] oder?
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> Hallo Ihr Beiden,
>
> danke für eure Hilfe. So zunächst löse ich das Binom auf
> (x-1)² = (x²-2x+1) und dies multiplizier ich dann mit
> (4x²-x²+1). Es kommt heraus (ich habe das x noch aus dem
> Nenner gekürzt), dann wird es etwas übersichtlicher:
>
> [mm]y' = \bruch{3x³-6x²+2x+2}{2\wurzel{x}(x-1)²}[/mm], oder?
Das kann so nicht richtig sein.
Wenn ich nicht den Überblick verloren habe, versuchst Du gerade, den Ausdruck [mm] $\bruch{(4x² - x² + 1) (x-1)²}{2\wurzel{x} \cdot{} x (x-1)²} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{(x - 1 - 2x) \cdot{} x}{2\wurzel{x}(x-1)² \cdot{} x} [/mm] $ zu bearbeiten.
Im Zähler des ersten Terms erhältst Du u.a. ein "+1" und deshalb kann das "Kürzen des x aus dem Nenner" nicht funktionieren.
Du kannst im übrigen hübsch selbst feststellen, ob solche Umformungen stimmen: als Stichprobe (mehr ist es nicht!) kann man einfache Werte einsetzen und gucken, ob vorher- und nachher-Ergebnis gleich sind.
Oder Du plottest die Funktionen: wenn sie gleich sind, decken sie sich. Das setzt natürlich voraus, daß man sie dem Plotter korrekt mitteilt (Klammerungen).
Gruß v. Angela
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> > Hallo,
> >
> > Du hast das Setzen einer wichtigen Klämmer versäumt:
> >
> > es muß heißen
> >
> > [mm]...=\bruch{\bruch{2x \cdot{} \wurzel{x} \cdot{} 2\wurzel{x} -(x² -1)}{2\wurzel{x}}}{x}[/mm]
> > - [mm]\bruch{\bruch{x-1-\wurzel{x} \cdot{} 2\wurzel{x}}{2\wurzel{x}}}{(x-1)²}[/mm]
> >
> >
> > [mm]=\bruch{2x \cdot{} \wurzel{x} \cdot{} 2\wurzel{x} -(x² -1)}{2\wurzel{x}*x}[/mm]
> - [mm]\bruch{x-1-\wurzel{x} \cdot{}
> 2\wurzel{x}}{2\wurzel{x}(x-1)²}[/mm]
> >
> > Bedenke nun, daß [mm]\wurzel{x}*\wurzel{x}=x[/mm] gilt.
>
> [mm]=\bruch{2x \cdot{} 2x - (x² -1)}{2\wurzel{x}\cdot{}x}[/mm] -
> [mm]\bruch{x - 1 - 2x}{2\wurzel{x}(x-1)²}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{4x² - x² + 1}{2\wurzel{x}\cdot{}x}[/mm] - [mm]\bruch{x - 1 - 2x}{2\wurzel{x}(x-1)²}[/mm]
>
> soweit müsste es hoffentlich stimmen,
Hallo,
hier könntest Du oberhalb des Bruchstriches noch ein bißchen zusammenfassen, z.B ist 4x² - [mm] x²=3x^2, [/mm] aber so wie es dasteht ist es nicht falsch, sondern nur unpraktisch.
Leider folgt eine Katastrophe:
>
> [mm]=\bruch{4x² - x² + 1 (x-1)²}{2\wurzel{x} \cdot{} x (x-1)²}[/mm]
> - [mm]\bruch{x - 1 - 2x \cdot{} x}{2\wurzel{x}(x-1)² \cdot{} x}[/mm]
Wenn Du einen kompletten Nenner mit irgendwas multiplizierst, mußt Du ihn in Klammern setzen, und da Du das nicht tust, wird alles, was folgt, falsch.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Do 11.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
$y = [mm] \bruch{1}{4x^5}$
[/mm]
$v = [mm] 4x^5$, [/mm] $v' = [mm] 20x^4$, [/mm] $v² = [mm] 16x^2^5$
[/mm]
$y' = - [mm] \bruch{v'}{v²} [/mm] = - [mm] \bruch{20x^4}{16x^2^5} [/mm] = - [mm] \bruch{20}{16x^2^1}$
[/mm]
als Lösung kommt:
$y' = - [mm] \bruch{5}{4x^6}$
[/mm]
die teilen durch 4 nur hab ich ja [mm] $x^2^1$ [/mm] und das ist nicht durch 4 teilbar. wenn man es anders rum rechnet, wie kommen die dann auf [mm] $x^2^4$. [/mm] vorausgesetzt v² stimmt, dann muss ich doch die [mm] $x^4$ [/mm] von 25 abziehen. Wo liegt denn mein Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 11.10.2007 | | Autor: | Dablack |
also zunächst einmal quadrierst du v nicht richtig:
$ v = [mm] 4x^5 [/mm] $
$ v² = [mm] (4x^5)*(4x^5) [/mm] = [mm] {16x^5}^{2} [/mm] = [mm] 16x^{10} [/mm] $
anderes beispiel: $ [mm] x^{1} [/mm] * [mm] x^{1} [/mm] = [mm] x^{1+1} [/mm] $ (du musst die beiden exponenten addieren, wenn du eine Form hast: [mm] {x^5}^{2} [/mm] musst du 5*2 rechnen und nicht [mm] 5^{2}.
[/mm]
weiterhin möchte ich dich darauf aufmerksam machen, dass man diese Funktion einfacher ableiten kann:
$ y = [mm] \bruch{1}{4x^5} [/mm] = [mm] \bruch{x^{-5}}{4} [/mm] $
$ y' = [mm] (-5)*\bruch{x^{-5-1}}{4} [/mm] = [mm] \bruch{-5x^{-6}}{4} [/mm] = [mm] \bruch{-5}{4x^{6}} [/mm] $
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
