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Forum "Schul-Analysis" - Quotientenregel mit Ketten- un
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Quotientenregel mit Ketten- un: Frage zu Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:33 Mi 07.09.2005
Autor: XPatrickX

//Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Hallo,
ich hoffe ihr könnt mir helfen, brauche die Lösung noch bis morgen.
Also wie kann ich mit Hilfe der Ketten- und Produktregel beweisen, dass die Quotientenregel gilt?


Quotientenregel: f'(x) = [u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)] / [mm] v^2 [/mm] (x)

Kettenregel: f'(x) = u'(v(x))* v'(x)
Produktregel: f'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)



Ich hoffe ihr habt verstanden was ich wissen will.

Bin bin soweit, dass ich hiervon die Ableitung bilden muss: f(x) = u(x) / v(x)
Das kann man ja wiederum so schreiben: f(x) = u(x) * v(x)^-1
Da könnte man dann die Produktregel anweden. Jedoch komme ich dann nicht mehr weiter.

Ich hoffe hier kann mir jemand helfen! Danke!!


Gruß Patrick

        
Bezug
Quotientenregel mit Ketten- un: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Mi 07.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Patrick!


Der Ansatz ist doch schon mal ganz gut [ok] ...


> Bin bin soweit, dass ich hiervon die Ableitung bilden muss:
> f(x) = u(x) / v(x)
> Das kann man ja wiederum so schreiben: f(x) = u(x) *
> v(x)^-1

Ganz richtig: hier nun die MBProduktregel anwenden.


Schreiben wir diese doch mal auf für Deinen Fall:

$f(x) \ = \ [mm] u(x)*v^{-1}(x)$ [/mm]

$f'(x) \ = \ [mm] u'(x)*v^{-1}(x) [/mm] + [mm] u(x)*\left[v^{-1}(x)\right]'$ [/mm]


Und was ergibt nun   [mm] $\left[v^{-1}(x)\right]'$ [/mm]   ?

Hier wenden wir nun die MBPotenzregel in Verbindung mit der MBKettenregel an:

[mm] $\left[v^{-1}(x)\right]' [/mm] \ = \ [mm] (-1)*v^{-2}(x)*v'(x)$ [/mm]


Wenn Du das nun einsetzt in die obige Gleichung und alles auf einen Bruch schreibst, solltest Du schnell die Formel für die MBQuotientenregel dastehen haben ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Quotientenregel mit Ketten- un: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Mi 07.09.2005
Autor: XPatrickX

Danke, du hast mir schon mal soweit gut geholfen.

Trotzdem habe ich noch eine ganz kleine Frage:


Wenn ich das hier habe:

f'(x) = u'(x) * v^-1(x) - u(x) * v'(x) * v^-2(x)

Dann ist klar, dass ich den letzten Faktor unter den Bruchstrich schreiben kann mit [mm] v^2(x) [/mm] also: f'(x) = u'(x) * v^-1(x) - u(x) * v'(x) / [mm] v^2(x) [/mm]

Aber dieses v^-1(x) ist ja eigentlich auch 1/v(x).


Warum lautet die Quotientenregel aber:

f'(x) = [u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)] / [mm] v^2(x) [/mm]

wie ist aus diesem v^-1(x) auseinmal v(x) geworden?


Danke schon mal für den ersten Ansatz und ich hoffe hier kann mir auch noch jmd helfen! Danke


Bezug
                        
Bezug
Quotientenregel mit Ketten- un: Hauptnenner
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Mi 07.09.2005
Autor: Loddar

Hallo Patrick!


Bring doch einfach mal den ersten Term auf den Hauptnenner und erweitere mit $v(x)_$ ...

Siehst Du es jetzt?


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Quotientenregel mit Ketten- un: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 Mi 07.09.2005
Autor: XPatrickX

Richtig! *vorkopfschlag*

Dann passt das ja auch mit dem [mm] v^2 [/mm] im Nenner...

Vielen Danke, Loddar!!!
Bezug
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