Quotientenring = Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Mi 06.12.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | (i) Zeige, dass K = [mm] \IQ[X]/(X^{2}+1) [/mm] ein Körper ist.
(ii) Ist auch [mm] K[X]/(X^{2}+1) [/mm] ein Körper?
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Hallo zusammen!
Ich habe versucht die aufgabe wie folgt zu lösen. Ich hoffe, ihr könnt bitte mal schauen, ob es soweit richtig ist.
mein ansatz:
(i) in der VL haben wir ein Lemma eingeführt, in dem es heißt, dass ein Quotientenring K[X]/(P) genau dann ein Körper ist, wenn -1 kein Quadrat in K ist [mm] [\forall [/mm] a [mm] \in K:a^{2} \not= [/mm] -1].
Meinen Beweis habe ich so gemacht:
Ich nehme an, dass -1 kein Quadrat in [mm] \IQ [/mm] ist.
Zu zeigen ist also, dass K ein Körper ist.
K hat [mm] (1,\overline{X}) [/mm] als Basis.
Also haben alle Elemente aus K die Form [mm] a+b\overline{X} [/mm] für (a,b) [mm] \in \IQ^{2}.
[/mm]
[mm] (a+b\overline{X})(a'+b'\overline{X}) [/mm] = [mm] \overline{(a+bX)} \times \overline{(a'+b'X)} [/mm] = ... umformen ... = [mm] aa'+bb'\overline{X^{2}}+(a'b+ab')\overline{X} \in [/mm] K
Wegen [mm] \overline{X^{2}+1} [/mm] = 0 gilt [mm] \overline{X^{2}}=-1.
[/mm]
also gilt: [mm] (a+b\overline{X})(a'+b'\overline{X}) [/mm] = [mm] (aa'-bb')+(a'b+ab')\overline{X}
[/mm]
Wegen [mm] a+b\overline{X} \in [/mm] K, ist [mm] a+b\overline{X}\not=0.
[/mm]
das heißt aber, dass (a,b) [mm] \not= [/mm] (0,0) ist.
[mm] (a+b\overline{X})(a-b\overline{X}) [/mm] = [mm] a^{2}+b^{2} \not= [/mm] 0. (das gilt nach einem anderen lemma)
Da [mm] a^{2}+b^{2} \not= [/mm] 0 ist, gibt es also ein Inverses zu [mm] (a+b\overline{X}), [/mm] und zwar [mm] (a-b\overline{X})\bruch{1}{a^{2}+b^{2}} [/mm] mit
[mm] (a+b\overline{X})(a-b\overline{X})\bruch{1}{a^{2}+b^{2}} [/mm] = 1.
Damit ist das lemma erfüllt: K ist ein Körper unter der annahme, dass -1 kein Quadrat in [mm] \IQ [/mm] ist.
Stimmt mein beweis so? Ich bin mir nicht sicher.
Könnt ihr mich bitte verbessern und mir weiterhelfen? vielen dank!
zu der (ii) weiß ich nicht genau, wie ich mir dieses [mm] K[X]/(X^{2}+1) [/mm] vorstellen kann. das ist doch hier ein "zweifacher modulo", oder? welche form hat dieser Quotientenkörper?
Kann ich hier meinen beweis von (i) analog anwenden (falls er überhaupt stimmt)?
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. vielen dank!
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Fr 08.12.2006 | | Autor: | VHN |
Hallo Leute!
Könnt ihr mir bitte helfen und schauen, ob mein Lösungsansatz richtig ist? oder zumindest die idee?
Ist es richtig, wenn ich davon ausgehe, dass -1 kein Quadrat in [mm] \IQ [/mm] ist, und dann beweise, dass K ein Körper ist?
oder müsste ich besser annehmen, dass K ein Körper ist und dann zeigen, dass -1 kein quadrat ist?
ich hoffe, ihr könnt mir bei meinem Problem weiterhelfen! vielen dank!
VHN
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Hallo VHN,
> (i) Zeige, dass K = [mm]\IQ[X]/(X^{2}+1)[/mm] ein Körper ist.
> (ii) Ist auch [mm]K[X]/(X^{2}+1)[/mm] ein Körper?
>
>
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe versucht die aufgabe wie folgt zu lösen. Ich
> hoffe, ihr könnt bitte mal schauen, ob es soweit richtig
> ist.
>
> mein ansatz:
> (i) in der VL haben wir ein Lemma eingeführt, in dem es
> heißt, dass ein Quotientenring K[X]/(P) genau dann ein
> Körper ist, wenn -1 kein Quadrat in K ist [mm][\forall[/mm] a [mm]\in K:a^{2} \not=[/mm]
> -1].
Fehlt da nicht irgendwas in der Formulierung ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") ?
> Meinen Beweis habe ich so gemacht:
> Ich nehme an, dass -1 kein Quadrat in [mm]\IQ[/mm] ist.
> Zu zeigen ist also, dass K ein Körper ist.
> K hat [mm](1,\overline{X})[/mm] als Basis.
> Also haben alle Elemente aus K die Form [mm]a+b\overline{X}[/mm]
> für (a,b) [mm]\in \IQ^{2}.[/mm]
>
> [mm](a+b\overline{X})(a'+b'\overline{X})[/mm] = [mm]\overline{(a+bX)} \times \overline{(a'+b'X)}[/mm]
> = ... umformen ... =
> [mm]aa'+bb'\overline{X^{2}}+(a'b+ab')\overline{X} \in[/mm] K
> Wegen [mm]\overline{X^{2}+1}[/mm] = 0 gilt [mm]\overline{X^{2}}=-1.[/mm]
Nöö, da müßtest Du schon die Querstriche drübersetzen  .
> also gilt: [mm](a+b\overline{X})(a'+b'\overline{X})[/mm] =
> [mm](aa'-bb')+(a'b+ab')\overline{X}[/mm]
> Wegen [mm]a+b\overline{X} \in[/mm] K, ist [mm]a+b\overline{X}\not=0.[/mm]
> das heißt aber, dass (a,b) [mm]\not=[/mm] (0,0) ist.
Ähm, hier drehst Du die Schlußrichtung - umgekehrt wird'n Schuh draus.
> [mm](a+b\overline{X})(a-b\overline{X})[/mm] = [mm]a^{2}+b^{2} \not=[/mm] 0.
> (das gilt nach einem anderen lemma)
> Da [mm]a^{2}+b^{2} \not=[/mm] 0 ist, gibt es also ein Inverses zu
> [mm](a+b\overline{X}),[/mm] und zwar
> [mm](a-b\overline{X})\bruch{1}{a^{2}+b^{2}}[/mm] mit
> [mm](a+b\overline{X})(a-b\overline{X})\bruch{1}{a^{2}+b^{2}}[/mm] =
> 1.
> Damit ist das lemma erfüllt: K ist ein Körper unter der
> annahme, dass -1 kein Quadrat in [mm]\IQ[/mm] ist.
Hm, dafür war Deine "Invertiererei" aber gar nicht nötig :-(.
>
> Stimmt mein beweis so? Ich bin mir nicht sicher.
> Könnt ihr mich bitte verbessern und mir weiterhelfen?
> vielen dank!
>
> zu der (ii) weiß ich nicht genau, wie ich mir dieses
> [mm]K[X]/(X^{2}+1)[/mm] vorstellen kann. das ist doch hier ein
> "zweifacher modulo", oder? welche form hat dieser
> Quotientenkörper?
> Kann ich hier meinen beweis von (i) analog anwenden (falls
> er überhaupt stimmt)?
Tja, in $K$ ist aber [mm] $\overline{-1}$ [/mm] Quadrat (warum?).
Mfg
zahlenspieler
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