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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Tufaize |
| Aufgabe | Sei V := [mm] Abb(\IR,\IR) [/mm] und U := {f [mm] \in [/mm] V: f(0) = 0}
b) Betrachte den Quotientenvektorraum V/U. Zeige, dass für [f],[g] [mm] \in [/mm] V gilt:
[f] = [g] [mm] \gdw [/mm] f(0) = g(0) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
" [mm] \Rightarrow [/mm] ": [f] = [g] [mm] \Rightarrow [/mm] f+U = g+U [mm] \Rightarrow [/mm] f=g [mm] \Rightarrow [/mm] f(0) = g(0)
" [mm] \Leftarrow [/mm] ": f(0) = g(0) [mm] \Rightarrow [/mm] f = g [mm] \Rightarrow [/mm] f+U = g+U [mm] \Rightarrow [/mm]
[f] = [g]
Das war jetzt ein Lösungsweg, es war aber irgendwie zu einfach, was meint ihr dazu?
PS: Ich bin neu in diesem Forum und freue mich auf hilfreiche Diskussionen. :)
LG
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> Sei V := [mm]Abb(\IR,\IR)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und U := {f [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V: f(0) = 0}
>
> b) Betrachte den Quotientenvektorraum V/U. Zeige, dass für
> [f],[g] [mm]\in[/mm] V gilt:
> [f] = [g] [mm]\gdw[/mm] f(0)
> = g(0)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> " [mm]\Rightarrow[/mm] ": [f] = [g] [mm]\Rightarrow[/mm] f+U = g+U [mm]\red{\Rightarrow}[/mm] f=g [mm]\Rightarrow[/mm] f(0) = g(0)
Der rot markierte Schluß stimmt nicht.
Es folgt [mm] g-f\in [/mm] U.
>
> " [mm]\Leftarrow[/mm] ": f(0) = g(0) [mm]\red{\Rightarrow}[/mm] f = g
Auch dieser Schluß ist falsch. Wenn zwei Funktionen an der Stelle 0 denselben Funktionswert haben, sind sie doch nicht zwangsläufig gleich! (Beispiel: f(x):=sin(x), [mm] g(x):=x^2, [/mm] g(0)=f(0), aber gleich sind die beiden nicht.)
Gruß v. Angela
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> f+U = g+U [mm]\Rightarrow[/mm]
> [f] = [g]
>
> Das war jetzt ein Lösungsweg, es war aber irgendwie zu
> einfach, was meint ihr dazu?
>
> PS: Ich bin neu in diesem Forum und freue mich auf
> hilfreiche Diskussionen. :)
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Ashley22 |
Hallo ich sitze momentan an der selben Aufgabe soll aber hierzu noch in einem weiteren Schritt die Abblidung
phi=V/U [mm] \to [/mm] R
(f) [mm] \mapsto [/mm] f(o)
zeigen, dass phi eine wohldeffinierte bijektive Abblidung ist.
Zunächst muss ich doch zeigen, dass phi unabhänglig von Repräsentanten ist.
Aber wie macht man soetwas?
Danach muss ich noch injektivität und surjektivität zeigen
bei injektivität muss man ja zeigen, dass f(x)=f(y) [mm] \gdw [/mm] x=y gilt
wie kann ich das bei dieser aufgabe zeigen?
Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ich sitze momentan an der selben Aufgabe soll aber
> hierzu noch in einem weiteren Schritt die Abblidung
>
> phi=V/U [mm]\to[/mm] R
>
> (f) [mm]\mapsto[/mm] f(o)
>
> zeigen, dass phi eine wohldeffinierte bijektive Abblidung
> ist.
>
> Zunächst muss ich doch zeigen, dass phi unabhänglig von
> Repräsentanten ist.
>
> Aber wie macht man soetwas?
Wir wissen von oben:
für [f],[g] $ [mm] \in [/mm] $ V/U gilt:
(*) [f] = [g] $ [mm] \gdw [/mm] $ f(0) = g(0) .
Die Abb. [mm] \phi [/mm] ist def. durch:
[mm] \phi([f]):=f(0).
[/mm]
Wir zeigen, dass diese Def. unabhängig vom Repräsentanten ist: dazu nehmen wir uns einen weiteren Repr. g von [f ] her, also ein g [mm] \in [/mm] V mit [g]=[f].
Mit (*) folgt: f(0)=g(0).
Fertig !
>
> Danach muss ich noch injektivität und surjektivität
> zeigen
>
> bei injektivität muss man ja zeigen, dass f(x)=f(y) [mm]\gdw[/mm]
> x=y gilt
>
> wie kann ich das bei dieser aufgabe zeigen?
Mit (*) bekommt man:
[mm] \phi([f])= \phi([g]) \gdw [/mm] f(0)= g(0) [mm] \gdw [/mm] [f]=[g].
Fertig.
So, jetzt zeige Du, dass [mm] \phi [/mm] surjektiv ist.
FRED
>
> Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Ashley22 |
Erst schon mal vielen dank für die schnelle Antwort.
Ich habe jetzt nur nicht so richtig verstanden, wieso du hier mit der leeren Menge arbeitest?
Bei der Surjektivität muss ich zeigen, dass für alle y aus R ein x element R existiert für das gilt f(x)=y
also jeder Funktionswert wird mindestens einmal angenommen
mach ich das dann einfach andersrum?
also: leere menge (g)=leere menge (f) [mm] \gdw [/mm] g(0)=f(0)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Erst schon mal vielen dank für die schnelle Antwort.
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> Ich habe jetzt nur nicht so richtig verstanden, wieso du
> hier mit der leeren Menge arbeitest?
Bua !! Aua !! Ich arbeite nicht mit der leeren Menge . Das
[mm] \phi [/mm]
ist ein griechischer Buchstabe (phi). Sieht , das gebe ich zu, der leeren Menge [mm] \emptyset [/mm] etwas ähnlich.
FRED
>
> Bei der Surjektivität muss ich zeigen, dass für alle y
> aus R ein x element R existiert für das gilt f(x)=y
>
> also jeder Funktionswert wird mindestens einmal angenommen
>
> mach ich das dann einfach andersrum?
>
> also: leere menge (g)=leere menge (f) [mm]\gdw[/mm] g(0)=f(0)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Di 22.11.2011 | | Autor: | Ashley22 |
Oh Okay das erklärt einiges.
Nur verstehe ich trotzdem nicht so richtig warum ich, wenn ich sage phi von f = phi von g ist äquivalent zu f(0)=g(0) ist äquivalent zu f=g schon die injektivität bewiesen habe.
Kann ich dann bei surjektivität sagen phi von g=phi von f idt äquivalent zu g(0)=f(0) ist äquivalent zu g=f?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:35 Di 22.11.2011 | | Autor: | Ashley22 |
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> Also ich hab das
Hallo,
was meinst du mit "das"?
Sag' genau, was Du gerade zeigen willst.
Mir ist das nicht klar.
> jetzt so gemacht
>
> (RR) x1 [mm]\sim[/mm] x2
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1)=f(x1)
>
> (RS) x1 [mm]\sim[/mm] x2 [mm]\Rightarrow[/mm] x2 [mm]\sim[/mm] x1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1)=f(x2) [mm]\Rightarrow[/mm] f(x2)=f(x1)
>
> (RT) x1 [mm]\sim[/mm] x2 und x2 [mm]\sim[/mm] x3 dann x1 [mm]\sim[/mm] x3
>
> f(x1)=f(x2) und f(x2)=f(x3) dann f(x1)=f(x3)
>
> wie kann ich dann weitermachen?
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> phi von f
Hallo,
[mm] \Phi [/mm] bekommst Du so: \ Phi (ohne die Lücke nach dem Backslash).
>
> Nur verstehe ich trotzdem nicht so richtig warum ich, wenn
> ich sage phi von f = phi von g ist äquivalent zu f(0)=g(0)
> ist äquivalent zu f=g schon die injektivität bewiesen
> habe.
Die Folgerung, daß aus f(0)=g(0) folgt, daß f=g, stimmt nicht - und Fred folgert so auch nicht. Schau Dir genau an, was gefolgert wird.
Für die Injektivität von [mm] \Phi:V/U\to \IR [/mm] ist doch zu zeigen, daß aus
[mm] \Phi([f])=\Phi([g]) [/mm] folgt, daß [f]=[g]. ("Funktionswerte gleich ==> Argumente gleich").
Sei also [mm] \Phi([f])=\Phi([g]).
[/mm]
Vollziehe nun freds beweis Schritt für Schritt nach und schreibe für alle, was getan wird, eine Begründung auf.
Bedenke, daß Du Aufgabenteil a) verwenden darfst.
>
> Kann ich dann bei surjektivität sagen phi von g=phi von f
> idt äquivalent zu g(0)=f(0) ist äquivalent zu g=f?
Jetzt guck erstmal nach, was "surjektiv" bedeutet und schreib dann hin, was zu zeigen ist. Über das "Wie" können wir anschließend nachdenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Ashley22 |
danke für die Antwort ich gaube ich hab die Injektiviät jetzt verstanden.
Für Surjektivität muss ich zeigen, dass für alle y aus [mm] \IR [/mm] gilt, dass mindestens ein x element [mm] \IR [/mm] existiert für das gilt f(x)=y
Wenn ich mir jetzt also einmal f(0)=0 und g(0)=0 nehme und dann sage, dass f(0)=0 ist ist die f(0) das f(x) von oben und die 0 das y also die 0 aus den g(0) aber wie kann ich das aufschreiben das man das auch so erkennt?
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> Für Surjektivität muss ich zeigen, dass für alle y aus
> [mm]\IR[/mm] gilt, dass mindestens ein x element [mm]\IR[/mm] existiert für
> das gilt f(x)=y
Hallo,
nein. Die Funktion [mm] \Phi [/mm] hat doch als Definitionsbereich den Quotientenraum V/U.
Du mußt also zeigen, daß Du zu jedem [mm] y\in \IR [/mm] eine Äquivalenzklasse [f] findest, so daß [mm] \Phi([f])=y.
[/mm]
<==> f(0)=y.
So. Jetzt sag' mal irgendeine Funktion, die an der Stelle 0 den Funktionswert y hat.
Gruß v. Angela
D
>
> Wenn ich mir jetzt also einmal f(0)=0 und g(0)=0 nehme und
> dann sage, dass f(0)=0 ist ist die f(0) das f(x) von oben
> und die 0 das y also die 0 aus den g(0) aber wie kann ich
> das aufschreiben das man das auch so erkennt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Ashley22 |
Okay,
das wäre dann zum Beispiel y=x oder?
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> Okay,
>
> das wäre dann zum Beispiel y=x oder?
Hallo,
ich weiß nicht, was Du hier mit x meinst.
Schildere den Gedanken bitte nachvollziehbar und zusammenhängend.
Waren wir nicht an der Stelle stehegeblieben, daß wir eine Funktion f suchten, für welche f(0)=y gilt?
Wenn 's Dir mit y zu schwer ist, überleg's halt mal für y=5.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Ashley22 |
Ja so hab ich das ja auch gemeint statt y=x kann man natürlich auch f(x)=x schreiben und dann ist f(0)=0 folglich gilt f(0)=y oder seh ich das falsch?
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> Ja so hab ich das ja auch gemeint statt y=x kann man
> natürlich auch f(x)=x schreiben und dann ist f(0)=0
> folglich gilt f(0)=y oder seh ich das falsch?
Hallo,
es scheint einges durcheinander zu gehen.
Wir machen es jetzt mal für die 5.
Wenn die Funktion [mm] \Phi [/mm] surjektiv ist, dann gibt es eine Funktion f, so daß
[mm] \Phi([f])=5 [/mm] ist, was gleichbedeutend ist mit f(0)=5.
Jetzt sag' endlich eine Funktion, die an der Stelle 0 den Funktionswert 5 hat. Das kann doch wohl nicht so schwierig sein!
Die von Dir vorgeschlagene Funktion mit der Funktionsgleichung f(x):=x ist doch Kokolores. Da ist f(0)=0. Und weil [mm] 0\not=5, [/mm] ist das nicht so eine Funktion, wie wir sie suchen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Ashley22 |
Ja gut dann wäre das halt f(x)=x+5 aber voher hattest du doch gesagt ich soll eine suchen, die an der stelle 0 den funktionswert 0 hat und da stimmt doch f(x)=x, oder?
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> Ja gut dann wäre das halt f(x)=x+5 aber voher hattest du
> doch gesagt ich soll eine suchen, die an der stelle 0 den
> funktionswert 0 hat
Nö. Ich schrieb:
> > > > So. Jetzt sag' mal irgendeine Funktion, die an der Stelle 0 den Funktionswert y hat.
Du hast ja nun endlich eine Funktion gefunden mit f(0)=5.
Es geht übrigens noch einfacher mit der konstanten Funktion - aber es ist egal welche der vielen möglichen Funktionen Du nimmst.
Nun wird es Dir ja auch gelingen, eine Funktion anzugeben, für welche f(0)=y ist für vorgegebenes y.
Gruß v. Angela
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