R-Vektorraum und Q-Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Mo 06.12.2004 | | Autor: | info |
Hallo!
Ich bin gerade meine Mathe-Aufgaben zu lösen und bin nun auf einige Schwierigkeiten gestoßen. Die Frage lautet: "Die Menge R (reelle Zahlen) kann man auffassen als R-Vektorraum, aber auch als Q-Vektorraum. Was sind deren Dimensionen? Begründung!"
Meine Überlegung zum R-Vektorraum:
Die Dimension beträgt hier unendlich, weil keine endliche Basis existiert. Die Menge besteht aus allen Vektoren, die die reellen Zahlen auf der x-Achse repräsentieren. Liege ich damit richtig?
Zum Q-Vektorraum:
Habe hier leider keinen Lösungsansatz. Mir fällt nicht ein, wie man R durch einen Q-Vektorraum darstellen kann. Bitte um Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Di 07.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Info,
> Hallo!
> Ich bin gerade meine Mathe-Aufgaben zu lösen und bin nun
> auf einige Schwierigkeiten gestoßen. Die Frage lautet: "Die
> Menge R (reelle Zahlen) kann man auffassen als
> R-Vektorraum, aber auch als Q-Vektorraum. Was sind deren
> Dimensionen? Begründung!"
>
> Meine Überlegung zum R-Vektorraum:
> Die Dimension beträgt hier unendlich, weil keine endliche
> Basis existiert. Die Menge besteht aus allen Vektoren, die
> die reellen Zahlen auf der x-Achse repräsentieren. Liege
> ich damit richtig?
Leider nein. Eine Basis von [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist gegeben durch [m]\{1\}[/m], wobei $1$ die reelle $1$ (also [mm] $1_{\IR}$) [/mm] ist.
(Du kannst auch, für jedes $a [mm] \in \IR\setminus\{0\}$, [/mm] die Menge [m]\{a\}[/m] als Basis nehmen. Also:
[mm] $\left\{\wurzel{2}\right\}$, $\left\{\pi\right\}$, $\left\{\frac{-5}{8}\right\}$... [/mm] sind ebenfalls Basen des [mm] $\IR$-Vektorraums $\IR$.)
[/mm]
Warum ist das eine Basis? Zum Beispiel, weil es ein minimales Erzeugendensystem ist:
Die Minimalität ist klar. Andererseits gilt für jedes $r$ aus dem ([m]\IR[/m]-)Vektorraum [mm] $\IR$:
[/mm]
Es existiert ein [mm] $\lambda$ [/mm] im Körper [mm] $\IR$, [/mm] so dass:
[mm] $\lambda*1=r$.
[/mm]
Du brauchst ja nur [mm] $\lambda:=r$ [/mm] zu setzen, schon hast du so ein [m]\lambda[/m] gefunden.
(Die Dimension von [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist also $1$, da die Menge [m]\{1_{\IR}\}[/m] eine Basis dieses Vektorraums ist, und die Anzahl der Elemente in dieser Basis gleich Eins ist!)
> Zum Q-Vektorraum:
Eine (und damit jede) Basis hierzu kann nicht aus endlich vielen Elementen bestehen (mit anderen Worten: [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] hat die Dimension [m]\infty[/m]). Denn jeder endlichdimensionale [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] ist abzählbar (das liegt im Wesentlichen einfach daran, dass abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen abzählbar sind. Und endliche Mengen sind abzählbar, und [m]\IQ[/m] ist auch abzählbar.) [mm] $\IR$ [/mm] ist aber überabzählbar!
Viele Grüße,
Marcel
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