R.v. Hospital u. Grenzwertsatz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Fr 18.02.2011 | | Autor: | phychem |
Hallo
Ich beschäftige mich gerade etwas mit den Regeln von de l'Hospital und den Grenzwertsätzen. Dabei find ich auf drei Fragen keine genaue Antwort. Vlt. kann mir hier ja jemand weiterhelfen:
1. Frage:
Bekanntlich gilt ja: Besitzen [mm] f,g\in Abb(D\subset [/mm] X,Y) im Häufungspunkt [mm] a\in [/mm] X von D je einen ("echten", also nicht uneigentlichen) Grenzwert, so besitzt für [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} g(x)\not=0 [/mm] auch der Funktionenquotient
f/g: [mm] dom(f/g)=\{x\in D | g(x)\not=0 \}\to [/mm] Y , [mm] x\mapsto [/mm] f(x)/g(x)
einen Grenzwert in a. Es gilt dann nämlich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] (f/g)(x) = [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\ a} f(x)}{\limes_{x\rightarrow\ a} g(x)}
[/mm]
Nun zu mener Frage: Muss hier nicht noch vorausgesetzt werden, dass a auch Häufungspunkt von dom(f/g) ist? Oder ist das durch die Voraussetzung [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} g(x)\not=0 [/mm] bereits sichergestellt?
2. Frage:
Bei den Regeln von Hospital versteh ich die Voraussetzungen nicht ganz. Also dass entweder die Funktion im Nenner gegen [mm] \pm\infty [/mm] oder sowohl Zähler- als auch Nennerfunktion gegen 0 konvergieren müssen, ist klar. Nun findet man aber häufig noch eine der folgenden Forderungen:
i) [mm] g'(x)\not=0 [/mm] , [mm] x\in [/mm] (a,b)
ii) [mm] g(x)\not=0 [/mm] , [mm] x\in [/mm] (a,b)
iii) i) [mm] g'(x)\not=0 [/mm] und [mm] g(x)\not=0 [/mm] , [mm] x\in [/mm] (a,b)
Liege ich richtig in der Annahme, dass dies nur deshalb gefordert wird, um sicher zu gehen, dass a auch ein Häufungspunkt von dom(f/g) und dom (f'/g') ist? Würde es dann nicht schon ausreichen, einfach [mm] a\in [/mm] (dom(f/g))' und [mm] a\in [/mm] (dom(f'/g'))' zu fordern?
3. Frage:
Die Regeln von de l'Hospital gelten unter anderem ja dann, wenn die Funktion im Nenner für [mm] x\to [/mm] a gegen [mm] \pm [/mm] konvergiert. Dabei ist es egal, ob die Funktion im Zähler für [mm] x\to [/mm] a ebenfalls nur uneigentlich konvergiert oder gegen einen reellen Grenzwert strebt (wobei im zweiten Fall die Anwendung der Regeln von Hospital ja gar nicht notwendig wäre). Nachdem ich nun die Herleitung der Regel von de l'Hospital mehrmals durchgegangen bin, frag ich mich: Gilt die Regel nicht sogar auch dann, wenn die Zählerfunktion in a weder eigentlich noch uneigentlich konvergiert?!
Ich weiss, die Fragen erscheinen ziemlich "unwichtig", aber die Antworten würden mich trotzdem brennend interessieren.
Gruss phychem
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Fr 18.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Schreibwiese dom(f) versteh ich nicht, ist das der Definitionsbereich von f?
>
>
> 1. Frage:
> Bekanntlich gilt ja: Besitzen [mm]f,g\in Abb(D\subset[/mm] X,Y) im
> Häufungspunkt [mm]a\in[/mm] X von D je einen ("echten", also nicht
> uneigentlichen) Grenzwert, so besitzt für
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ a} g(x)\not=0[/mm] auch der
> Funktionenquotient
> f/g: [mm]dom(f/g)=\{x\in D | g(x)\not=0 \}\to[/mm] Y , [mm]x\mapsto[/mm]
> f(x)/g(x)
> einen Grenzwert in a. Es gilt dann nämlich:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ a}[/mm] (f/g)(x) =
> [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow\ a} f(x)}{\limes_{x\rightarrow\ a} g(x)}[/mm]
>
> Nun zu mener Frage: Muss hier nicht noch vorausgesetzt
> werden, dass a auch Häufungspunkt von dom(f/g) ist? Oder
> ist das durch die Voraussetzung [mm]\limes_{x\rightarrow\ a} g(x)\not=0[/mm]
> bereits sichergestellt?
genau so ist es.
> 2. Frage:
> Bei den Regeln von Hospital versteh ich die
> Voraussetzungen nicht ganz. Also dass entweder die Funktion
> im Nenner gegen [mm]\pm\infty[/mm]
das muss für Zähler und nenner gelten!
>oder sowohl Zähler- als auch
> Nennerfunktion gegen 0 konvergieren müssen, ist klar. Nun
> findet man aber häufig noch eine der folgenden
> Forderungen:
> i) [mm]g'(x)\not=0[/mm] , [mm]x\in[/mm] (a,b)
> ii) [mm]g(x)\not=0[/mm] , [mm]x\in[/mm] (a,b)
> iii) i) [mm]g'(x)\not=0[/mm] und [mm]g(x)\not=0[/mm] , [mm]x\in[/mm] (a,b)
du müsstest genauer sagen, wie und wo das vorkommt. etwa was mit (a,b) gemeint ist. denn etwa die Forderung [mm] g(x)\ne [/mm] 0 für x=a widerspricht ja der Forderung f(x) und g(x) gegen 0.
> Liege ich richtig in der Annahme, dass dies nur deshalb
> gefordert wird, um sicher zu gehen, dass a auch ein
> Häufungspunkt von dom(f/g) und dom (f'/g') ist? Würde
> es dann nicht schon ausreichen, einfach [mm]a\in[/mm] (dom(f/g))'
> und [mm]a\in[/mm] (dom(f'/g'))' zu fordern?
>
> 3. Frage:
> Die Regeln von de l'Hospital gelten unter anderem ja dann,
> wenn die Funktion im Nenner für [mm]x\to[/mm] a gegen [mm]\pm[/mm]
> konvergiert. Dabei ist es egal, ob die Funktion im Zähler
> für [mm]x\to[/mm] a ebenfalls nur uneigentlich konvergiert oder
> gegen einen reellen Grenzwert strebt (wobei im zweiten Fall
> die Anwendung der Regeln von Hospital ja gar nicht
> notwendig wäre). Nachdem ich nun die Herleitung der Regel
> von de l'Hospital mehrmals durchgegangen bin, frag ich
> mich: Gilt die Regel nicht sogar auch dann, wenn die
> Zählerfunktion in a weder eigentlich noch uneigentlich
> konvergiert?!
wenn nur der Nenner gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert, braucht man L'Hopital nicht, der GW von f/g ist 0, solange der GW von f endlich ist.
wenn f bestimmt divergiert gilt L'Hopital
ich hoffe, ich habe deine Fragen verstanden.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:33 Fr 18.02.2011 | | Autor: | phychem |
Danke für die Antwort.
> Hallo
> Deine Schreibwiese dom(f) versteh ich nicht, ist das der
> Definitionsbereich von f?
Ja genau.
> > 2. Frage:
> > Bei den Regeln von Hospital versteh ich die
> > Voraussetzungen nicht ganz. Also dass entweder die Funktion
> > im Nenner gegen [mm]\pm\infty[/mm]
> das muss für Zähler und nenner gelten!
hmm. In vielen Analysis-Büchern und Skripten (AmannEscher, Heuser, etc.) wird aber nur die uneigentliche Konvergenz der Nennerfunktion gefordert.
> >oder sowohl Zähler- als auch
> > Nennerfunktion gegen 0 konvergieren müssen, ist klar. Nun
> > findet man aber häufig noch eine der folgenden
> > Forderungen:
> > i) [mm]g'(x)\not=0[/mm] , [mm]x\in[/mm] (a,b)
> > ii) [mm]g(x)\not=0[/mm] , [mm]x\in[/mm] (a,b)
> > iii) i) [mm]g'(x)\not=0[/mm] und [mm]g(x)\not=0[/mm] , [mm]x\in[/mm] (a,b)
> du müsstest genauer sagen, wie und wo das vorkommt. etwa
> was mit (a,b) gemeint ist. denn etwa die Forderung [mm]g(x)\ne[/mm]
> 0 für x=a widerspricht ja der Forderung f(x) und g(x)
> gegen 0.
Achso. (a,b) soll ein offenes (möglicherweise unbeschränktes) Intervall sein, welches hier als Definitionsbereich von f und g dient. Die Funktionswerte f(a) und g(a) sind also gar nicht definiert.
Die Voraussetzung i) stammt aus dem Analysis Buch von Königsberger sowie dem Buch von Heuser. Die Voraussetzung ii) aus dem Buch von Amann und Escher. Voraussetzung iii) findet man im Skript meines Analysis-Prof.
Wozu dienen diese Voraussetzungen? Sind i) und ii) ausreichend und damit äquivalent?
> > Liege ich richtig in der Annahme, dass dies nur deshalb
> > gefordert wird, um sicher zu gehen, dass a auch ein
> > Häufungspunkt von dom(f/g) und dom (f'/g') ist? Würde
> > es dann nicht schon ausreichen, einfach [mm]a\in[/mm] (dom(f/g))'
> > und [mm]a\in[/mm] (dom(f'/g'))' zu fordern?
> > 3. Frage:
> > Die Regeln von de l'Hospital gelten unter anderem ja dann,
> > wenn die Funktion im Nenner für [mm]x\to[/mm] a gegen [mm]\pm[/mm]
> > konvergiert. Dabei ist es egal, ob die Funktion im Zähler
> > für [mm]x\to[/mm] a ebenfalls nur uneigentlich konvergiert oder
> > gegen einen reellen Grenzwert strebt (wobei im zweiten Fall
> > die Anwendung der Regeln von Hospital ja gar nicht
> > notwendig wäre). Nachdem ich nun die Herleitung der Regel
> > von de l'Hospital mehrmals durchgegangen bin, frag ich
> > mich: Gilt die Regel nicht sogar auch dann, wenn die
> > Zählerfunktion in a weder eigentlich noch uneigentlich
> > konvergiert?!
> wenn nur der Nenner gegen [mm]\infty[/mm] konvergiert, braucht man
> L'Hopital nicht, der GW von f/g ist 0, solange der GW von f
> endlich ist.
> wenn f bestimmt divergiert gilt L'Hopital
> ich hoffe, ich habe deine Fragen verstanden.
> Gruss leduart
Wäre es denn falsch, die Regeln von Hospital anzuwenden, wenn der Zähler gegen einen reellen Wert und der Nenner gegen [mm] \pm\infty [/mm] konvergiert?
Mich erstaunt einfach die Tatsache, dass in vielen Büchern nur die Konvergenz des Nenner gegen [mm] \pm\infty [/mm] gefordert wird. Demnach könnte der Zähler sogar unbestimmt divergieren....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 20.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 20.02.2011 | | Autor: | phychem |
Ich verstehe immer noch nicht so ganz, weshalb in der Formulierung der Regeln von de l`Hospital entweder [mm] g(x)\not=0 [/mm] oder/und [mm] g`(x)\not=0 [/mm] für alle Argumente x vorausgesetzt wird....
Da dies in der gesamten Analysis-Literatur der Fall ist, wird doch wohl jemand wissen, warum dem so ist...
Ausserdem ist mir im Fall, dass der Nenner gegen plus/minus Unendlich strebt, immer noch so ganz klar, was für den Zähler vorauszusetzen ist. Ich bin der Meinung, das der Zähler sowohl konvergent, bestimmt divergent als auch unbestimmt divergent sein kann, wäre aber froh, wenn mir das jemand bestätigen oder widerlegen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mo 21.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo phychem
Du musst die Herleitung für g(x) gegen [mm] \infty [/mm] f beliebig, und f(x),g(x) gegen 0 unterscheiden.
Bei den von dir angeführten Büchern, hat ich nur den Heuser zur Hand, da geht das ziemlich durcheinander.
das wichtigste bei beiden ist die Existenz des GW von f'/g' damit ist schon klar, dass [mm] f'\ne [/mm] 0 vors. ist.
im ersten Fall -g(x) gegen [mm] \infty-
[/mm]
ist [mm] g(x)\ne [/mm] 0 für x>a Vors. über den Zähler f(x) braucht man KEINE Vors, eben ausser lim f'/g' existiert, also auch f' existiert. L'Hopital ist aber unnötig, fall f(x) im betrachteten Intervall beschränkt ist)
dass du g'/ne 0 in einen Intervall vorraussetzt, ist für die Anwendung des erweiterten Mittelwertsatzes(wie bei Heuser) beim Beweis nötig.
Für alle üblicherweise mit L'Hopital behandelten beliebig oft (oder wenigstens mehrfach) differenzierbaren fkt. ist L'hopital (auch wiederholt) nichts anderes, als dass man die fkt an einer Stelle durch ihr Taylorpolynom + Restgleid ersetzt.
sind damit deine fragen beantwortet?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Do 24.02.2011 | | Autor: | phychem |
Hallo
Entschuldige, dass ich erst jetzt antworte. Ich war die letzten Tage ziemlich im Stress und hab ehrlichgesagt keine Antwort mehr erwartet.
> das wichtigste bei beiden ist die Existenz des GW von
> f'/g' damit ist schon klar, dass [mm]f'\ne[/mm] 0 vors. ist.
Warum denn [mm]f'\ne[/mm] 0? Meinst du nicht eher, [mm]g'\ne[/mm] 0, also dass nicht g'(x)=0 für alle x sein darf?
> im ersten Fall - g(x) gegen [mm]\infty -[/mm]
> ist [mm]g(x)\ne[/mm] 0 für x>a Vors. über den Zähler f(x)
> braucht man KEINE Vors, eben ausser lim f'/g' existiert,
> also auch f' existiert.
Dass die Ableitung f' existieren muss ist klar. Aber muss denn auch ein Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\a} [/mm] f(x) existieren?
> dass du g'/ne 0 in einen Intervall vorraussetzt, ist für
> die Anwendung des erweiterten Mittelwertsatzes(wie bei
> Heuser) beim Beweis nötig.
Hmm, ja das stimmt. Seltsam, dass dies nicht auch von Amman&Escher vorausgesetzt wird. Diese argumentieren nämlich ebenfalls mit dem erweiterten Mittelwertsatz (der erste Teil des Beweises ist sogar identisch zu dem von Heuser). Sie setzen dafür voraus, dass g keine Nullstelle hat. Aber wozu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Do 24.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > das wichtigste bei beiden ist die Existenz des GW von
> > f'/g' damit ist schon klar, dass [mm]f'\ne[/mm] 0 vors. ist.
>
> Warum denn [mm]f'\ne[/mm] 0? Meinst du nicht eher, [mm]g'\ne[/mm] 0, also
> dass nicht g'(x)=0 für alle x sein darf?
ja, du hast recht, ich hatte mich verschrieben.
> > im ersten Fall - g(x) gegen [mm]\infty -[/mm]
> > ist [mm]g(x)\ne[/mm] 0
> für x>a Vors. über den Zähler f(x)
> > braucht man KEINE Vors, eben ausser lim f'/g' existiert,
> > also auch f' existiert.
>
> Dass die Ableitung f' existieren muss ist klar. Aber muss
> denn auch ein Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow\a}[/mm] f(x)
> existieren?
nein, der kann beliebig sein
>
> > dass du g'/ne 0 in einen Intervall vorraussetzt, ist für
> > die Anwendung des erweiterten Mittelwertsatzes(wie bei
> > Heuser) beim Beweis nötig.
>
> Hmm, ja das stimmt. Seltsam, dass dies nicht auch von
> Amman&Escher vorausgesetzt wird. Diese argumentieren
> nämlich ebenfalls mit dem erweiterten Mittelwertsatz (der
> erste Teil des Beweises ist sogar identisch zu dem von
> Heuser). Sie setzen dafür voraus, dass g keine Nullstelle
> hat. Aber wozu?
Dazu müsste man den Beweis sehen, den ich nicht da habe.
prinzipiell, da ja g(x) gegen [mm] \infty [/mm] geht, muss g'>0 ab irgend einem pkt gelten und g>0 falls dann g das vorzeichen wechselt, muss g' irgendwo =0 sein, die vors entsprechen sich also.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Do 24.02.2011 | | Autor: | phychem |
hmmm, vlt. stell ich mich grad etwas dumm an, aber ich seh die Äquivalenz der Voraussetzungen [mm] g(x)\not=0 [/mm] und [mm] g`(x)\not=0 [/mm] grad nicht:
Es sind ja folgenden drei Fälle möglich:
[mm] \limes_{x\rightarrowa} [/mm] g(x) = 0 , [mm] \infty [/mm] und [mm] -\infty
[/mm]
In allen drei Fällen folgt aus [mm] g`(x)\not=0 [/mm] nicht zwingend [mm] g(x)\not=0 [/mm] und aus [mm] g(x)\not=0 [/mm] nicht zwingend [mm] g`(x)\not=0.
[/mm]
Aus [mm] g`(x)\not=0 [/mm] folgt (da von einem perfekten Intervall als Definitionsbereich ausgegangen wird) lediglich, dass g strikt monoton ist. Aber g kann ja trotzdem eine Nullstelle haben....
Ich werd mir das heut Abend nochmals genauer anschauen. Danke für deine Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Do 24.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab nur von dem Fall g(x) gegen [mm] \infty [/mm] gesprochen nicht von g(x) gegen 0
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Do 24.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
>
> > > das wichtigste bei beiden ist die Existenz des GW von
> > > f'/g' damit ist schon klar, dass [mm]f'\ne[/mm] 0 vors. ist.
> >
> > Warum denn [mm]f'\ne[/mm] 0? Meinst du nicht eher, [mm]g'\ne[/mm] 0, also
> > dass nicht g'(x)=0 für alle x sein darf?
> ja, du hast recht, ich hatte mich verschrieben.
> > > im ersten Fall - g(x) gegen [mm]\infty -[/mm]
> > > ist
> [mm]g(x)\ne[/mm] 0
> > für x>a Vors. über den Zähler f(x)
> > > braucht man KEINE Vors, eben ausser lim f'/g' existiert,
> > > also auch f' existiert.
> >
> > Dass die Ableitung f' existieren muss ist klar. Aber muss
> > denn auch ein Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow\a}[/mm] f(x)
> > existieren?
> nein, der kann beliebig sein
> >
> > > dass du g'/ne 0 in einen Intervall vorraussetzt, ist für
> > > die Anwendung des erweiterten Mittelwertsatzes(wie bei
> > > Heuser) beim Beweis nötig.
> >
> > Hmm, ja das stimmt. Seltsam, dass dies nicht auch von
> > Amman&Escher vorausgesetzt wird. Diese argumentieren
> > nämlich ebenfalls mit dem erweiterten Mittelwertsatz (der
> > erste Teil des Beweises ist sogar identisch zu dem von
> > Heuser). Sie setzen dafür voraus, dass g keine Nullstelle
> > hat. Aber wozu?
> Dazu müsste man den Beweis sehen, den ich nicht da habe.
Hallo leduart,
> prinzipiell, da ja g(x) gegen [mm]\infty[/mm] geht, muss g'>0 ab
> irgend einem pkt gelten
Das stimmt nicht. Beispiel: $g(x)= x* [mm] \sin(x)+2x= x(\sin(x)+2) \ge [/mm] x$ für x >0. Somit: g(x) [mm] \to \infty [/mm] für x [mm] \to \infty.
[/mm]
Es ist $g'(x)= [mm] \sin(x)+x [/mm] * [mm] \cos(x) [/mm] +2$ und damit ist
$g'((2n+1) [mm] \pi)= [/mm] -(2n+1) [mm] \pi+2 [/mm] < 0$ für (n [mm] \in \IN)
[/mm]
FRED
> und g>0 falls dann g das vorzeichen
> wechselt, muss g' irgendwo =0 sein, die vors entsprechen
> sich also.
> gruss leduart
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Do 24.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Danke, du hast natürlich (wie immer) recht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Do 24.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> Danke, du hast natürlich (wie immer) recht.
Streiche bitte das "wie immer", denn es trifft nicht zu
Gruß FRED
> Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:54 Sa 26.02.2011 | | Autor: | phychem |
Falls es jemanden interessiert:
Hab mich durch einige Herleitungen durchgearbeitet und bin dabei zu folgendem Schluss gekommen:
Es ist ausreichend f`(x) [mm] \not= [/mm] 0 für alle Argumente zu fordern! Die Forderung f(x) [mm] \not= [/mm] 0 ist weder ausreichend noch notwendig.
Warum sie in so vielen Skripten und Büchern auftaucht, ist mir rätselhaft.
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