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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe | | Berechne die RNF samt Transformationsmatrix für [mm] \pmat{ 8 & 4 & 12 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -4 } [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich steh vor einem für mich scheinbar unlösbaren Problem. Ich soll zu der oben genannten Matrix die rationale Normalform (RNF) bestimmen. In der Vorlesung hatten wir nur einen konstruktiven Beweis, mit dem ich nichts anfangen kann. Das dazugehörigen war mit Ausnahmen nur gespickt und vollkommen unbrauchbar.
Deswegen wäre es super, wenn mir hier vll jemand erklären könnte, wie ich dabei vorzugehen habe. Für eure Hilfe bin ich schon mal im Voraus dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Hanna80 |
Hallo Geddie!
Wie immer: wenn man einmal weiß wie es geht ist es ganz einfach (vor allem dieses Beispiel, weil du nur Schritt 1 machen mußt)
Also: 1.
Berechne die lokalen Minimalpolynom mit [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] und nimm das, welches gleich dem Minimalpolynom ist.
In diesem Fall ist das [mm] \mu_{A,e_2}[/mm]
2.
Dann Bilde deine Matrix [mm]T_1[/mm]. Als Spalten setzt du ([mm] e_2, Ae_2, A^2e_2, ..., A^{p_1-1}e_2, y_1, ... , y_m [/mm])
In deinem Fall ist der Grad von [mm] \mu_{A,e_2} = p_1 = 3[/mm] und da dein [mm] T_1 [/mm] nur eine 3 x 3 Matrix ist, brauchst du gar kein [mm] y_i.
[/mm]
Also [mm] T_1 [/mm] = ( [mm] e_2, Ae_2, A^2e_2 [/mm])
3.
Jetzt kann du entweder [mm]T^{-1}[/mm] ausrechnen und anschl mit [mm]T^{-1}AT = A_1 [/mm] deine Matrix [mm] A_1. [/mm]
Oder du bildest direkt [mm] A_1 [/mm] : indem du jeweils das A-fache von den Spalten von [mm] T_1 [/mm] als Linearkombination von den anderen Spalten darstellst.
Also: 1.Spalte: [mm] Ae_2 = 0 \* e_2 + 1 \* Ae_2 + 0 \* A^2e_2[/mm]
2. Spalte: [mm] A^2e_2 = 0 \* e_2 + 0 \* Ae_2 + 1 \* A^2e_2[/mm]
3. Spalte: [mm] A^3e_2 = \vektor{268 \\ 1 \\ -106} = 4 \* e_2 - 8 \* Ae_2 + 5 \* A^2e_2 [/mm]
Dann sieht dein [mm] A_1 [/mm] so aus : [mm] \pmat{ 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & 5 } [/mm]
Und siehe da, du hast schon eine Begleitmatrix, also bist du fertig.
Für die Richtigkeit der Zahlen übernehme ich absolut keine Garantie.
Schöne Grüße
Hanna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Geddie |
ja super. damit komm ich sicherlich weiter. danke dir. wie ich sehe bist du wohl auch auf bu wuppertal?!?! netter zug unter kommiltonen 
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