R[a,b] mit L2-Norm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Do 23.02.2012 | | Autor: | sinalco |
| Aufgabe | Es geht um die Frage ob der Raum R[a,b], der stückweise stetigen Funktionen auf dem Intervall [a,b] bzgl. der [mm] L^{2} [/mm] - Norm vollständig ist?!
Voraussetzung für Vollständigkeit: Cauchy-Folge von Elementen aus R[a,b] müssen Limes in R[a,b] haben.
Zitat aus Skript:
"Es gibt Cauchy-Folgen in R[a,b], die keinen Limes in R[a,b] haben. Dies legt einen Vervollständigungsprozess über Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen nahe. Der so entstehende vollständige normierte Raum wird [mm] L^{2}[a,b] [/mm] - Lebesguesche Hilbert-Raum über [a,b] genannt."
"... die [mm] L^{2}-Norm [/mm] ist daher auf R[a,b] nur eine semi-norm" |
1.) Was gäbe es für ein Beispiel für eine Cauchy-Folge die in R[a,b] bzgl. der [mm] L^{2} [/mm] - Norm nicht konvergiert.
2.) Was bedeutet, dass es sich nur um eine Semi-Norm handelt?
3.) Wie funktioniert der Vervollständigungsprozess ungefähr (skizziert)?
meine Gedanken dazu:
2.) Semi-Norm: die Definitheit ist nicht gegeben: aus [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel=0 [/mm] folgt nicht f(x)=0 [mm] \forall x\in\D
[/mm]
3.) Ich versteh nicht so ganz was meine Äquivalenzklassen dann bedeuten? Also weshalb diese irgendwas vervollständigen?
aber die Äquivalenzrelation müsste so aussehen:
[mm] \\f'_n \sim f_n :\gdw\parallel\\f'_n-f_n\parallel\to [/mm] 0 [mm] (n\to\infty)
[/mm]
Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Do 23.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es geht um die Frage ob der Raum R[a,b], der stückweise
> stetigen Funktionen auf dem Intervall [a,b] bzgl. der [mm]L^{2}[/mm]
> - Norm vollständig ist?!
>
> Voraussetzung für Vollständigkeit: Cauchy-Folge von
> Elementen aus R[a,b] müssen Limes in R[a,b] haben.
>
> Zitat aus Skript:
>
> "Es gibt Cauchy-Folgen in R[a,b], die keinen Limes in
> R[a,b] haben. Dies legt einen Vervollständigungsprozess
> über Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen nahe. Der so
> entstehende vollständige normierte Raum wird [mm]L^{2}[a,b][/mm] -
> Lebesguesche Hilbert-Raum über [a,b] genannt."
>
> "... die [mm]L^{2}-Norm[/mm] ist daher auf R[a,b] nur eine
> semi-norm"
> 1.) Was gäbe es für ein Beispiel für eine Cauchy-Folge
> die in R[a,b] bzgl. der [mm]L^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
- Norm nicht konvergiert.
alle folgenden Funktionen seien auf $[0,1]\,$ definiert: Wir setzen $f_1=0\,.$ Für jedes natürliche $n > 1$ seien $I^n_k\,,$ $k=1,\ldots,n$ definiert durch das folgende Schema/die folgende "Partitionsmethode für das Intervall $[0,1]\,$"
$$[0,1]=[0,1/n^2) \cup [1/n^2,\;1/(n-1)^2) \cup \ldots \cup [1/3^2,\;1/2^2) \cup [1/2^2,\;1] \equiv I_{1}^n \cup \ldots \cup I_n^n\,,$$
und wir setzen dann
$$f_n(x):=\sqrt{k \text{ für }x \in I^n_{n+1-k}\,.$$
Verständlicher wird das ganze an ein paar exemplarischen Beispielen:
$$f_2(x)=\begin{cases} 2, & \mbox{für } x \in [0,1/4)=I^2_2 \\ 1, & \mbox{für } x \in [1/4,1]=I^2_1 \end{cases}\,,$$
$$f_3(x)=\begin{cases} 3, & \mbox{für } x \in [0,1/9)=I^3_3 \\ 2, & \mbox{für } x \in [1/9,1/4)=I^3_2 \\ 1, & \text{für } x \in [1/4,1]=I^3_1 \end{cases}$$
.
.
.
Klar ist, dass $(f_n)$ in $L^2[0,1]$ nicht konvergieren kann (warum?). Weiter gilt aber, wenn $m \in \IN$ fest und $n > m$ ist, sicher
$$\int_0^1 |f_n(x)-f_m(x)|^2dx \le \sum_{k=m}^\infty \left(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1)^2}\right)k=\sum_{k=m}^\infty \frac{2k+1}{k(k+1)^2}\,.$$
Daher ist $(f_n)_n$ Cauchy - denn $\sum_{k=1}^\infty \frac{2k+1}{k(k+1)^2}$ konvergiert. (Warum?)
Prüfe das aber bitte unbedingt nochmal nach - kann gut sein, dass ich da was übersehen oder mich verrechnet habe! (Mir ist auch momentan, obwohl ich eben dachte, das überlegt zu haben, nicht mehr ganz klar, ob $(f_n)_n$ wirklich in $L^2[a,b]$ nicht konmvergieren kann - wobei man eh besser sicher von $\mathcal{L}^2[a,b]$ hier noch sprechen würde.)
> 2.) Was bedeutet, dass es sich nur um eine Semi-Norm
> handelt?
>
> 3.) Wie funktioniert der Vervollständigungsprozess
> ungefähr (skizziert)?
>
>
> meine Gedanken dazu:
>
> 2.) Semi-Norm: die Definitheit ist nicht gegeben: aus
> [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel=0[/mm] folgt nicht f(x)=0 [mm]\forall x\in\D[/mm]
Richtig!
> 3.) Ich versteh nicht so ganz was meine Äquivalenzklassen
> dann bedeuten? Also weshalb diese irgendwas
> vervollständigen?
Man definiert dann natürlich auch eine Norm auf der Menge der Äquivalenzklassen - insbesondere ist dabei die Wohldefiniertheit zu beachten, denn man sagt quasi: Die neue "Norm der Äquivalenzklasse" ist per Definitionem nichts anderes als "die alte Norm irgendeines Repräsentanten der Äquivalenzklasse". Dabei muss natürlich quasi die Wahl des Repräsentanten egal sein.
> aber die Äquivalenzrelation müsste so aussehen:
>
> [mm]\\f'_n \sim f_n :\gdw\parallel\\f'_n-f_n\parallel\to[/mm] 0
> [mm](n\to\infty)[/mm]
Nein. Man sagt, dass [mm] $f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] einander äquivalent sind, also [mm] $f_1 \sim f_2\,,$ [/mm] wenn
[mm] $$\int_a^b |f_1(x)-f_2(x)|^2dx=0$$
[/mm]
gilt. Setzt man für [mm] $f_1 \in \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] nun
[mm] $$[f_1]:=\{f \in \mathcal{L}^2[a,b]: \int_a^b |f(x)-f_1(x)|^2dx=0\}\,,$$
[/mm]
so ist [mm] $[f_1]$ [/mm] nichts anderes als die Äquivalenzklasse von [mm] $\mathcal{L}^2$-Funktionen [/mm] bzgl. [mm] $f_1\,.$ [/mm] Also
$$f [mm] \in [f_1] \gdw [/mm] f [mm] \sim f_1 \gdw \int_a^b|f(x)-f_1(x)|^2dx=0\,.$$
[/mm]
Damit kann man sagen:
[mm] $$L^2=\{[f]: f \in \mathcal{L}^2[a,b]\}\,.$$
[/mm]
In diesem Sinne besteht [mm] $L^2[a,b]$ [/mm] eigentlich nicht aus Funktionen, sondern aus Äquivalenzklassen. Jede Äquivalenzklasse $[f] [mm] \in L^2[a,b]$ [/mm] kann aber durch ein $g [mm] \in [/mm] [f] [mm] \subseteq \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] repräsentiert werden, naheliegend $f [mm] \in [f]\,.$ [/mm] Die [mm] $L^2[a,b]$-Gleichheit [/mm] für "Funktionen" $F,G [mm] \in L^2[a,b]\,,$ [/mm] eigentlich sind ja [mm] $F,G\,$ [/mm] Klassen von Funktionen, etwa $F=[f]$ und $G=[g]$ mit je einer (wirklichen) Funktion $f [mm] \in [/mm] F$ und $g [mm] \in G\,,$ [/mm] ist im Sinne der [mm] $L^2$-Norm [/mm] zu verstehen:
Also $F=G [mm] \gdw \|F-G\|_{L^2[a,b]}=0 \gdw [/mm] f [mm] \in [/mm] [g]=G [mm] \gdw \int_a^b |f(x)-g(x)|^2 dx=0\,.$
[/mm]
Man kann nun zeigen: Ist $f [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]\,,$ [/mm] so gilt für messbares [mm] $g\,,$ [/mm] dass $g [mm] \in [/mm] [f]$ genau dann, wenn [mm] $f=g\,$ [/mm] bis auf Ausnahme einer Borelsche-Nullmenge gilt. (Ich hoffe mal, ich unterschlage, vergesse oder unterdrücke da nicht eine wichtige Voraussetzung an [mm] $g\,.$)
[/mm]
Und was Deine Äquivalenzklassen nun quasi machen: Man sammelt alle Funktionen in einer Äquivalenzklasse, wenn das Integral über das Quadrat der betraglichen Differenz zweier solcher verschwindet - und eine Funktion aus einer Äquivalenzklasse repräsentiert dann die Äquivalenzklasse, der sie angehört. Und strenggenommen ist [mm] $\|f\|_{L^2[a,b]}$ [/mm] für $f [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] erstmal zu definieren:
Man definiert quasi
[mm] $$\|f\|_{L^2[a,b]}:=\|[f]\|_{L^2[a,b]}\,,$$
[/mm]
wobei man aber vorher
[mm] $$\|[f]\|_{L^2[a,b]}:=\|g\|_{\mathcal{L}^2[a,b]}$$
[/mm]
definiert hatte, für $g [mm] \in [f]\,,$ [/mm] und damit das Sinn macht, muss man die Repräsentantenunabhängigkeit (also Wohldefiniertheit) dann zeigen. Dann erhält man insgesamt (formal) sowas wie
[mm] $$\|f\|_{L^2[a,b]}:=\|[f]\|_{\mathcal{L}^2[a,b]}=\|f\|_{\mathcal{L}^2[a,b]}\,.$$
[/mm]
Grob gesagt: Wenn man die [mm] $L^2[a,b]$-Norm [/mm] einer [mm] $\mathcal{L}^2$-Funktion [/mm] formal als [mm] $\|f\|_{L^2[a,b]}$ [/mm] hinschreibt, so soll das bedeuten, dass man nicht $f [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]\,,$ [/mm] sondern die Funktionenklasse $[f] [mm] \in L^2[a,b]$ [/mm] meint - aber per Definitionem von [mm] $\|.\|_{L^2[a,b]}$ [/mm] kann ich die Norm von [mm] $\|[f]\|_{L^2[a,b]}$ [/mm] genauso wie die [mm] $\|f\|_{\mathcal{L}^2[a,b]}$ [/mm] berechnen. Das sind ein paar gängige, durchaus sinnige, aber sicher gerade anfangs verwirrende Notationen - deren Nutzen man erst zu schätzen lernen wird, wenn man sich viel mit dem Zeugs beschäftigt.
Und da manchmal ein einfaches Beispiel mehr sagt als tausend Worte:
Im [mm] $L^2[a,b]$-Sinne [/mm] kann man, wenn man
$$f(x)=1 [mm] \text{ nur für }x=a\,,$$
[/mm]
und [mm] $f(x)=0\,$ [/mm] sonst, und
$$g(x)=1 [mm] \text{ nur für }x=b\,,$$
[/mm]
und [mm] $g(x)=0\,$ [/mm] sonst, betrachtet, dann sagen:
Es gilt [mm] $f=g\,.$ [/mm] Ich schreibe sowas gerne als
$$f [mm] \stackrel{L^2[a,b]}{=}g\,,$$
[/mm]
denn im [mm] $L^2[a,b]$-Sinne [/mm] bedeutet [mm] $f=g\,$ [/mm] keinesfalls [mm] $f(x)=g(x)\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [a,b]\,,$ [/mm] sondern vielmehr [mm] $[f]=[g]\,,$ [/mm] bzw. $f [mm] \in [/mm] [g]$ bzw. [mm] $\int_a^b |f(x)-g(x)|^2dx=0\,.$ [/mm] D.h. [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] sind identisch bis auf eine Ausnahmenge, die eine Nullmenge ist.
P.S.:
Du musst auch ein wenig aufpassen, weil hier oft Repräsentanten und Äquivalenzklassen synonym verwendet werden, ohne das explizit jedesmal zu erwähnen, was man eigentlich meint:
Wenn ich sage, dass die [mm] $L^2\,$-Nullfunktion $1_{\IQ}$ [/mm] erfüllt [mm] $1_{\IQ}(x)=1$ [/mm] für $x [mm] \in \IQ\,,$ [/mm] so spreche ich einmal von [mm] $[1_{\IQ}]=[0]\,,$ [/mm] und das andere mal rede ich von dem Repräsentanten [mm] $1_{\IQ} \in [/mm] [0]$ - der Repräsentant ist wirklich eine Funktion.
Und es gibt auch sozusagen spezielle Definitionen für [mm] $\lim_{x \to \infty}f(x)$ [/mm] bzgl. einer Funktion $f [mm] \in L^2\,,$ [/mm] da steht dann was von "für jeden Repräsentanten gilt ... bis auf Ausnahme einer Nullmenge ..." mit drin. Aber das sind alles noch ein paar Gewöhnungssachen, die auch erstmal auf Dich zukommen müssen.
P.P.S.:
Du kannst auch vieles am Anfang von Funktionalanalysis, Dirk Werner, nachlesen!
Nebenbei noch:
Ich hoffe, dass sich irgendjemand meine obige Funktionenfolge mal genauer anguckt und entweder sagt, dass die leider nicht passt (und wo dann mein Fehler ist), oder noch ein Argument findet, warum diese Folge wirklich nicht konvergent bzgl. [mm] $\mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] sein kann!
Edit: Das Beispiel oben kann nicht passen, der Fehler bei der Cauchyfolgenargumentation liegt darin, dass ich vergessen hatte, [mm] $|f_n-f_m|$ [/mm] zu quadrieren: Dann steht oben nur $... [mm] \le \sum_{k=m}^\infty \frac{2k+1}{(k+1)^2}\,,$ [/mm] was leider eine divergente Reihe "beinhaltet". Also der Teil mit der Riemann-Cauchyfolge, die nicht in [mm] $L^2[a,b]$ [/mm] konvergiert, steht noch aus!
Ergänzung: Jetzt ist das Chaos aus meinem Kopf ein wenig weg. Zu zeigen ist ja, dass eine Cauchyfolge in $R[a,b]$ keinen Grenzwert in $R[a,b]$ hat - in [mm] $L^2[a,b]$ [/mm] hat sie stets einen, denn $R[a,b] [mm] \subseteq L^2[a,b]$ [/mm] (nebenbei: auch hier beachte man wieder, dass man eigentlich $R[a,b] [mm] \subseteq \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] meint). Kein Wunder, dass das, was ich machen wollte, so nicht funktionieren kann. Vielleicht eine andere Idee: Irgendwie eine $R[a,b]$-Cauchyfolge angeben, die "im Riemann-betrags-quadratintegrablen-Sinne"gegen [mm] $1_{\IQ} \notin [/mm] R[a,b]$ "streben müsste..."
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 Fr 24.02.2012 | | Autor: | sinalco |
zunächst vielen Dank für die ausführliche Antwort!
zu 1.):
Ich gebe mich damit zufrieden, dass es eine solche Funktion gibt. Ich dachte es gäbe ein einfaches Beispiel, (es geht um eine mündliche Prüfung) das ich nennen kann um dies zu untermauern.
zu 2.) und 3.)
Deine Argumentation habe ich verstanden. Sowohl das mit den Repräsentanten und den Äquivalenzklassen. Prinzip ist ähnlich wie bei uns die reellen Zahlen eingeführt wurden.
einfache Frage zuerst:
lautet die [mm] L^{2}-Norm [/mm] nicht wie folgt:
$ [mm] (\int_a^b |f_1(x)-f_2(x)|^2dx)^{1/2}=0 [/mm] $
Du hast doch $ [mm] \|f\|_{L^2[a,b]}^2 [/mm] $ verwendet?! Oder ändert dies nichts?
Erzeugt wird die Norm durch das [mm] L^2-Skalarprodukt: [/mm]
[mm] (f,g)_{L^2} [/mm] = [mm] \int_a^bf(x)g(x)dx [/mm] und über [mm] \parallel\\f\parallel:=(f,f)^{1/2} [/mm] ergibt sich obiges!
Ich habe immernoch den Gedanken im Kopf, dass ich nun versuche einen Raum zu finden, bzgl. dem die [mm] L^2 [/mm] -Norm nun definit ist. Warum ist sie das nun? Was bedeutet die Definitheit auf dem $ [mm] \mathcal{L}^2[a,b]\, [/mm] $?
[mm] \parallel\\f\parallel_{L^2[a,b]} [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] $ [mm] (\int_a^b |f(x)|^2dx)^{1/2}=0 [/mm] $
Dass dies erfüllt ist, ist mir klar, da [mm] f\in[f]. [/mm] Außerdem muss das für alleFunktionen aus [mm] L^2[a,b] [/mm] gelten, da sie eben genau dadurch konstruiert wurden.
Meinungen dazu jederzeit willkommen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:42 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zunächst vielen Dank für die ausführliche Antwort!
>
> zu 1.):
>
> Ich gebe mich damit zufrieden, dass es eine solche Funktion
> gibt. Ich dachte es gäbe ein einfaches Beispiel, (es geht
> um eine mündliche Prüfung) das ich nennen kann um dies zu
> untermauern.
da gibt es sicher Beispiele - ich habe nur gerade keine im Kopf. Und daher wollte ich mir was zusammenbauen (was aber so auch nicht passen konnte).
> zu 2.) und 3.)
>
> Deine Argumentation habe ich verstanden. Sowohl das mit den
> Repräsentanten und den Äquivalenzklassen. Prinzip ist
> ähnlich wie bei uns die reellen Zahlen eingeführt wurden.
Genau - eigentlich ist das immer wieder das gleiche Prinzip.
> einfache Frage zuerst:
>
> lautet die [mm]L^{2}-Norm[/mm] nicht wie folgt:
>
> [mm](\int_a^b |f_1(x)-f_2(x)|^2dx)^{1/2}=0[/mm]
Vorsicht: [mm] $\|f\|_{L^2[a,b]}=(\int_a^b |f(x)|^2dx)^{1/2}\,.$ [/mm] (Du berechnest quasi nur die "Länge einer Funktion(enklasse des [mm] $L^2[a,b]$)".) [/mm]
Du hast bei Dir sowas wie [mm] $\|f_1-f_2\|_{L^2[a,b]}$ [/mm] linkerhand stehen, und wenn Du sagst, dass diese [mm] $=0\,$ [/mm] sein soll, dann heißt dass, dass [mm] $f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] in der gleichen Äquivalenzklasse liegen.
> Du hast doch [mm]\|f\|_{L^2[a,b]}^2[/mm] verwendet?!
Richtig.
> Oder ändert
> dies nichts?
An den Stellen, wo ich dies getan habe, spielt das keine Rolle (ich hoffe, ich habe da nicht aus Versehen etwas übersehen). Das ist doch klar, oder? Es gilt etwa $r=0 [mm] \gdw r^2=0$ [/mm] für jedes $r [mm] \ge [/mm] 0$ (sogar für jedes $r [mm] \in \IC$). [/mm] Und außerdem gilt doch für $r [mm] \in [0,\infty) \cup \{\infty\}=[0,\infty]\,,$ [/mm] dass $r < [mm] \infty \gdw r^2 [/mm] < [mm] \infty\,.$
[/mm]
So gilt etwa (ich schreibe kurz [mm] $\|.\|:=\|.\|_{L^2[a,b]}$)
[/mm]
$$f [mm] \in L^2[a,b] \gdw (\int_a^b |f(x)|^2dx)^{1/2}=\|f\| [/mm] < [mm] \infty \gdw \int_a^b |f(x)|^2dx=\|f\|^2 [/mm] < [mm] \infty\,.$$
[/mm]
Wenn natürlich die Frage wäre, [mm] $\|f\|$ [/mm] für ein konkretes $f [mm] \in L^2[a,b]$ [/mm] zu berechnen, dann liefert natürlich [mm] $\|f\|^2$ [/mm] nicht den gleichen Wert wie [mm] $\|f\|\,.$
[/mm]
> Erzeugt wird die Norm durch das [mm]L^2-Skalarprodukt:[/mm]
>
> [mm](f,g)_{L^2}[/mm] = [mm]\int_a^bf(x)g(x)dx[/mm] und über
> [mm]\parallel\\f\parallel:=(f,f)^{1/2}[/mm] ergibt sich obiges!
Genau. Das ist eine Standardmethode, ganz kurz gesagt: Ist $<.,.>$ ein Skalarprodukt, so ist
[mm] $$\|x\|:=\sqrt{}$$
[/mm]
die vom Skalarprodukt induzierte Norm. Ebenso induziert jede Norm auch eine Metrik, via
[mm] $$d(x,y):=\|x-y\|\,.$$ [/mm]
> Ich habe immernoch den Gedanken im Kopf, dass ich nun
> versuche einen Raum zu finden, bzgl. dem die [mm]L^2[/mm] -Norm nun
> definit ist.
Das ist sie doch auf [mm] $L^2[a,b]$!
[/mm]
> Warum ist sie das nun? Was bedeutet die
> Definitheit auf dem [mm]\mathcal{L}^2[a,b]\, [/mm]?
Naja, das würde nun wirklich heißen: Ist $f [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] und ist $|.|$ eine Norm auf [mm] $\mathcal{L}^2[a,b]\,,$ [/mm] so würde [mm] $|f|=0\,$ [/mm] besagen, dass dann [mm] $f\,$ [/mm] die [mm] $\mathcal{L}^2[a,b]$-Nullfunktion, [/mm] nennen wir sie mal [mm] $N\,$ [/mm] mit $N:[a,b] [mm] \to \IR\,,$ [/mm] wäre. D.h. dann insbesondere, dass $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] wäre [mm] ($f\,$ [/mm] hat den gleichen Definitions- und den gleichen Zielbereich wie [mm] $N\,$) [/mm] und dass zudem [mm] $f(x)=N(x)\,$ [/mm] für jedes $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ gelten würde - kurz: Es wäre [mm] $f=N\,$ [/mm] die "klassische Gleichheit zweier Funktionen".
Beispiel:
[mm] $f(x):=x^2$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] [-1,1] [mm] \setminus \{0\}\,$ [/mm] mit $f(0):=1$ und [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] auf $[-1,1]$ erfüllen
$$f=g [mm] \text{ im }L^2[-1,1]\text{-Sinne, also }\;\;\; [/mm] f [mm] \stackrel{L^2[-1,1]}{=}g\,,$$
[/mm]
oder anders gesagt [mm] $\|[f]-[g]\|_{L^2[-1,1]}=0\,.$
[/mm]
(Dabei ist, siehe auch unten, [mm] $[f]-[g]:=[f-g]\,.$)
[/mm]
Auf [mm] $\mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] gilt aber natürlich auch [mm] $\|f-g\|_{\mathcal{L}^2[a,b]}=0\,,$ [/mm] aber hier gilt nicht [mm] $f=g\,,$ [/mm] denn $f,g [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] sind "wirklich" Funktionen: Wäre also [mm] $f=g\,,$ [/mm] und das bedeutet [mm] $f=g\,$ [/mm] "im klassischen Sinne der Funktionengleichheit", so müßte ja auch [mm] $f(x)=g(x)\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ gelten. Aber es ist ja $f(0) [mm] \not=g(0)\,.$
[/mm]
Es wird klarer, wenn man es sich nochmal genauer hinschreibt: $f [mm] \in L^2[a,b]$ [/mm] bedeutet, weil man da ja eigentlich schon [mm] $f\,$ [/mm] als "repräsentierende Funktion" auffasst, und [mm] $f\,$ [/mm] sei nun auch eine "klassische Funktion":
Man meint eigentlich $[f] [mm] \in L^2[a,b]$ [/mm] mit $f [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]\,.$ [/mm] Zur Deutlichkeit schreiben wir also nun immer $[f] [mm] \in L^2[a,b]$ [/mm] mit Repräsentanten $f [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]\,.$
[/mm]
Und etwa [mm] $\|[f]-[g]\|_{L^2[a,b]}$ [/mm] bedeutet, weil [mm] $\|.\|_{L^2[a,b]}$ [/mm] eine Norm auf [mm] $L^2[a,b]$ [/mm] ist, nichts anderes als [mm] $[f]-[g]=[N]\,,$ [/mm] wenn $N [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] "die klassische Nullfunktion auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] bezeichne".
Also: Wenn man anstatt $f [mm] \in L^2[a,b]$ [/mm] besser $[f] [mm] \in L^2[a,b]$ [/mm] mit $f [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] und $f [mm] \in [/mm] [f]$ schreibt, so besagt
[mm] $$\|f-g\|_{L^2[a,b]}$$
[/mm]
nichts anderes als
[mm] $$\|[f]-[g]\|_{L^2[a,b]}$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$[f]=[g]\,.$$
[/mm]
Das bedeutet aber keinesfalls $f=g$ im klassischen Sinne, sondern [mm] $[f]=[g]\,$ [/mm] besagt nur, dass die klassischen Funktionen [mm] $f,g\,$ [/mm] gleich im Sinne von "Gleichheit bis auf Ausnahmemenge mit Maß Null" sind. In diesem Sinne ist auch $f=g$ im [mm] $L^2$-Sinne [/mm] was anderes wie [mm] $f=g\,$ [/mm] im [mm] $\mathcal{L}^2$-Sinne: [/mm] Ersteres besagt [mm] $[f]=[g]\,,$ [/mm] letzteres beinhaltet auch [mm] $f(x)=g(x)\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [a,b]\,.$
[/mm]
> [mm]\parallel\\f\parallel_{L^2[a,b]}[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] [mm](\int_a^b |f(x)|^2dx)^{1/2}=0[/mm]
>
> Dass dies erfüllt ist, ist mir klar, da [mm]f\in[f].[/mm] Außerdem
> muss das für alleFunktionen aus [mm]L^2[a,b][/mm] gelten, da sie
> eben genau dadurch konstruiert wurden.
>
> Meinungen dazu jederzeit willkommen!
Da weiß ich nicht genau, was Du meinst. Machen wir es mal so und hantieren wir wieder mit dem obigen Beispiel:
[mm] $f(x):=x^2$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] [-1,1] [mm] \setminus \{0\}\,$ [/mm] mit $f(0):=1$ und [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] auf [mm] $[-1,1]\,.$ [/mm]
Wenn ich nun wieder kurz [mm] $\|.\|:=\|.\|_{L^2[a,b]}$ [/mm] schreibe, und nun sind [mm] $f,g\,$ [/mm] von oben wieder wirklich "Funktionen im klassischen Sinne", dann macht, wie gesagt, erstmal
[mm] $$\|f\|$$
[/mm]
keinen Sinn, weil ja [mm] $f\,$ [/mm] eine einzelne Funktion, und nicht eine Funktionenklasse ist - aber [mm] $L^2[a,b]$ [/mm] besteht aus "Elementen, die Funktionenklassen sind".
Aber man gibt der Notation [mm] $\|f\|$ [/mm] nun eine Bedeutung, indem man sagt: [mm] $$\|f\|:=\|[f]\|\,.$$
[/mm]
Und nun gilt beispielsweise die Aussage [mm] $\|f\|=\|g\|\,,$ [/mm] denn dies ist nur eine Kurzschreibweise für die Aussage
[mm] $$\|[f]\|=\|[g]\|\,.$$
[/mm]
Und da offenbar $f [mm] \in [/mm] [g]$ (beides sind [mm] $L^2[a,b]$-Funktionen [/mm] und unterscheiden sich nur auf der Menge [mm] $\{0\}\,,$ [/mm] die (als abzählbare Menge) Maß [mm] $0\,$ [/mm] hat) ist [mm] $\|f-g\|_{\mathcal{L}^2[a,b]}^2=\int_a^b [/mm] |f(x)-g(x)|^2dx=0$ und damit gilt insbesondere [mm] $\|[f]\|=\|[g]\|\,,$ [/mm] da wir ja sogar [mm] $[f]=[g]\,$ [/mm] haben. (Wir haben aber i.a. nicht [mm] $f=g\,$ [/mm] im klassischen Sinne - denn [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] können auf einer Nullmenge voneinander verschiedene Funktionswerte haben!)
Es ist halt wirklich immer wichtig, sich klarzumachen, mit "was man nun eigentlich hantiert": Hantiere ich mit einem Repräsentanten, d.h. ich behandel wirklich eine Funktion im klassischen Sinne? Oder mache ich eine Aussage über die Klasse von Funktionen?
Beispiel:
Wir betrachten [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] auf [mm] $[a,b\,]$ [/mm] als (klassische) Funktion $[a,b] [mm] \to \IR\,.$ [/mm] Wir setzen mal [mm] $G:=[g]=\{r: [a,b] \to \IR, \int_{a}^b |g(x)-r(x)|^2dx=0\}\,.$
[/mm]
Nun schreibt man [mm] $\|g\|_{L^2[a,b]}\,,$ [/mm] meint damit aber eigentlich [mm] $\|[g]\|_{L^2[a,b]}\,.$ [/mm]
Und die Frage ist nun: Was ist denn eigentlich [mm] $\|G\|_{L^2[a,b]}\,.$ [/mm] Man kann ja schlecht sagen, dass
[mm] $$\|G\|_{L^2[a,b]}=\sqrt{\int_{a}^{b}|G(x)|^2dx}\,.$$
[/mm]
Denn was soll [mm] $G(x)\,$ [/mm] da sein: Die Funktionenklasse [mm] $G\,$ [/mm] ausgewertet an der Stelle [mm] $x\,$?? [/mm] Das macht keinen Sinn. Vielmehr gilt per Definition:
[mm] $$\|G\|_{L^2[a,b]}:=\sqrt{\int_{a}^b|r(x)|^2dx}=\|r\|_{\mathcal{L}^2[a,b]}$$
[/mm]
für einen Repräsentanten $r [mm] \in G\,.$ [/mm] Dabei ist $r:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion im klassischen Sinne, die [mm] $\int_a^b |r(x)-x^2|^2dx=0$ [/mm] erfüllt. Und wann macht diese Definition nur Sinn?
Naja, wenn $u,v [mm] \in [/mm] G$ beliebig sind, dann muss sicher
[mm] $$\|u\|_{\mathcal{L}^2[a,b]}=\|v\|_{\mathcal{L}^2[a,b]}$$
[/mm]
oder anders gesagt
[mm] $$\sqrt{\int_{a}^{b}|u(x)|^2dx}=\sqrt{\int_{a}^{b}|v(x)|^2dx}$$
[/mm]
gelten - denn wie sollte sonst [mm] $\|G\|_{L^2[a,b]}$ [/mm] wohldefiniert sein, wenn dieser Wert von der Wahl des Repräsentanten abhängen würde??
Einfaches Beispiel:
Man identifiziert in [mm] $\IQ$ [/mm] ja etwa [mm] $1/2=2/4=3/6=\ldots$ [/mm]
Sagen wir mal ein wenig genauer, es sei (etwa) [mm] $[1/2]:=\{p/(2p): p \in \IZ \setminus \{0\}\}\,.$
[/mm]
Nun würde ich gerne etwa [mm] $f([1/2])=f(\{p/(2p): p\in \IZ \setminus \{0\}\})$ [/mm] definieren. Wenn ich nun sagen würde, es sei
$$f([1/2])=p$$
wenn $p [mm] \not=0$ [/mm] eine ganze Zahl ist so, dass $p/(2p) [mm] \in [1/2]\,,$ [/mm] dann wäre dies nicht wohldefiniert:
Der Repräsentant $3/(2*3) [mm] \in [/mm] [1/2]$ liefert dann nämlich [mm] $f([1/2])=3\,,$ [/mm] aber der Repräsentant $4/(2*4) [mm] \in [/mm] [1/2]$ liefert [mm] $f([1/2])=4\,.$ [/mm]
P.S.:
Es ist ja auch etwa für $[f],[g] [mm] \in L^2[a,b]$ [/mm] die Differenz [mm] $[f]-[g]\,$ [/mm] definiert als [mm] $[f-g]\,.$
[/mm]
Also: Wenn Dich das ganze zu sehr verwirrt: Schreibe halt wirklich [mm] $f\,$ [/mm] für eine Funktion $f [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]\,,$ [/mm] und dann schreibe halt [mm] $[f]\,$ [/mm] mit $f [mm] \in [f]\,,$ [/mm] wenn Du die zu $f [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] assoziierte Funktionenklasse $[f] [mm] \in L^2[a,b]$ [/mm] meinst. Um da wirklich erstmal einen Überblick zu bekommen, kann das anfangs hilfreich sein: Dann sieht man nämlich, ob die Elemente, die man betrachtet, "klassische" Funktionen sind, oder "Funktionenklassen, die aus klassischen Funktionen bestehen".
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Sa 25.02.2012 | | Autor: | SEcki |
> > Ich gebe mich damit zufrieden, dass es eine solche Funktion
> > gibt. Ich dachte es gäbe ein einfaches Beispiel, (es geht
> > um eine mündliche Prüfung) das ich nennen kann um dies zu
> > untermauern.
>
> da gibt es sicher Beispiele - ich habe nur gerade keine im
> Kopf. Und daher wollte ich mir was zusammenbauen (was aber
> so auch nicht passen konnte).
Wenn stueckweise stetig heisst: endlich viele Sprungstellen, dann ist ein Beispiel eher banal. Sei eine Unterteilung mit den Stellen [m]1/n,n\in \IN[/m] gegeben. Dann nehme ich eine Funktion f, die fuer 0 gleich 0 und auf den Stuetzstellen 0 ist, auf den Zwischenintervallen auch konstant 0 oder 1 ist, aber dieser Wert alterniert, also zwischen [m]1/2[/m] und 1 ist sie 0, zwischen [m]1/3[m] und [m]1/2[/m] 1 usw usf.
Es ist nun banal einfach, eine Folge von Funktionen mit nur endlich vielen Sprungstellen zu finden, die in der Norm gegen f konvergiert - naemlich eine Folge von Treppenfunktionen. Damit finden sich auch ad hoc Beispiele fuer stetige und diffbare Funktionen, die das leisten.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Sa 25.02.2012 | | Autor: | sinalco |
Also mir ist klar, dass man durch die Definition der Äquivalenzklassen aufpassen muss, was gemeint ist und dass es [mm] \parallel\\f\\\parallel_{L^2[a,b]} [/mm] nicht gibt.
Also heißt dass diese Äquivalenzklasse $ [mm] \|[f]\|_{L^2[a,b]}\,. [/mm] $ alle Funktionen beschreibt die bzgl. der [mm] L^2-Norm [/mm] äquivalent zu f sind. Der Raum [mm] L^2[a,b] [/mm] besteht dann aus der Menge dieser Äquivalenzklassen.
eine Frage ist noch offen und zwar weshalb die [mm] L^2-Norm [/mm] auf diesem Raum definit ist.
ganz klassisch:
[mm] \parallel\\f\\\parallel [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] f=0
in diesem Fall:
$ [mm] \|[f]\|_{L^2[a,b]}\,. [/mm] $=0 [mm] \gdw [/mm] [f]=0
Ahh ... ich glaube ich blicke jetzt durch:
also dass dies
$ [mm] \|[f]\|_{L^2[a,b]}\,. [/mm] $=0 [mm] \gdw [/mm] [f]=0
gelten muss folgt doch daraus, dass die Äquivalenzklasse [f] genau darüber definiert ist:
[f] sind alle [mm] f\in[f] [/mm] für die gilt: [mm] (\integral_{a}^{b}{|f(x)|^2dx})^{1/2}=0
[/mm]
Das müsste doch stimmen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also mir ist klar, dass man durch die Definition der
> Äquivalenzklassen aufpassen muss, was gemeint ist und dass
> es [mm]\parallel\\f\\\parallel_{L^2[a,b]}[/mm] nicht gibt.
es gibt's so eigentlich erstmal nicht, aber es wird halt definiert - danach gibt's das schon (wozu hat man sonst Definitionen?).
> Also heißt dass diese Äquivalenzklasse
> [mm]\|[f]\|_{L^2[a,b]}\,.[/mm] alle Funktionen beschreibt die bzgl.
> der [mm]L^2-Norm[/mm] äquivalent zu f sind.
Ja, aber das ist doch gerade die Definition der Äquivalenzklasse. Besser finde ich die Charakterisierung:
Für $f [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b], [/mm] g [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] gilt $g [mm] \in [/mm] f$ genau dann, wenn [mm] $f(x)=g(x)\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b] [mm] \setminus [/mm] N$ gilt, wobei $N [mm] \subseteq [/mm] [a,b]$ eine Nullmenge ist.
> Der Raum [mm]L^2[a,b][/mm]
> besteht dann aus der Menge dieser Äquivalenzklassen.
>
> eine Frage ist noch offen und zwar weshalb die [mm]L^2-Norm[/mm] auf
> diesem Raum definit ist.
>
> ganz klassisch:
>
> [mm]\parallel\\f\\\parallel[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] f=0
Genau!
> in diesem Fall:
>
> [mm]\|[f]\|_{L^2[a,b]}\,. [/mm]=0 [mm]\gdw[/mm] [f]=0
Du meinst das richtige, aber wenn Du das später irgendwann mal liest, wirst Du wieder sowas denken, wie, dass ganz rechts die Nullfunktion steht. Das ist aber nicht so, denn genau rechts steht die Äquivalenzklasse eben dieser "klassischen Nullfunktion auf [mm] $[a,b]\,.$" [/mm] Du hast es aber im Folgenden auch richtig erkannt, ich schreib's mal ausführlicher:
Sei [mm] $\text{O}: [/mm] [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $\text{O}(x):=0$ [/mm] für alle $x [mm] \in [a,b]\,.$ [/mm] Dann steht oben
[mm] $$\|[f]\|_{L^2[a,b]}$=0 \gdw [f]=[\text{O}]\,.$ [/mm]
>
> Ahh ... ich glaube ich blicke jetzt durch:
>
> also dass dies
>
> [mm]\|[f]\|_{L^2[a,b]}\,. [/mm]=0 [mm]\gdw[/mm] [f]=0
>
> gelten muss folgt doch daraus, dass die Äquivalenzklasse
> [f] genau darüber definiert ist:
>
> [f] sind alle [mm]f\in[f][/mm] für die gilt:
> [mm](\integral_{a}^{b}{|f(x)|^2dx})^{1/2}=0[/mm]
Vorsicht: Erstmal gilt [mm] $[f]=\{g \in \mathcal{L}^2[a,b]: (\int_a^b|f(x)-g(x)|^2dx)^{1/2}=0\}\,.$ [/mm] (Was auch [mm] $\{g \in \mathcal{L}^2[a,b]: \int_a^b|f(x)-g(x)|^2dx=0\}$ [/mm] ist.)
Was Du meinst, ist (vielleicht hast Du auch nur vergessen, das zu erwähnen):
$[f]$ mit der Eigenschaft [mm] $\|[f]\|_{L^2[a,b]}=0$ [/mm] ist die Klasse, die alle $f [mm] \in \red{\mathcal{L}^2[a,b]}$ [/mm] enthält, so dass
[mm] $$(\int_a^b |f(x)|^2dx)^{1/2}=0\,.$$
[/mm]
> Das müsste doch stimmen oder?
Was Du hingeschrieben hast, war nicht ganz korrekt. Aber vielleicht machen wir es mal so:
Betrachte [mm] $E:=1_{\IQ \cap [a,b]}\,.$ [/mm] Dann gilt etwa
[mm] $$\|[f]\|_{L^2[a,b]}=0 \gdw [f]=[E]\,.$$
[/mm]
Stört das die Definitheit? Nein, denn wegen $E [mm] \in [\text{O}]$ [/mm] steht da
$$[f]=[E] [mm] \gdw [f]=[\text{O}]$$
[/mm]
[mm] ($\text{O}$ [/mm] war die Nullfunktion auf $[a,b]$).
Und [mm] $[\text{O}]$ [/mm] ist ja eben das neutrale additive Element auf
[mm] $$L^2[a,b]=\{[f]: f \in \mathcal{L}^2[a,b]\}=\Bigg\{\;\Big\{g: \underbrace{\int_a^b |f(x)-g(x)|^2dx=0}_{\gdw \sqrt{\int_a^b |f(x)-g(x)|^2dx}=0}\Big\}: f \in \mathcal{L}^2[a,b]\;\Bigg\}\,.$$
[/mm]
Wie gesagt: Es gilt etwa für $[f],[g] [mm] \in L^2[a,b]$
[/mm]
[mm] $$[f]+[g]:=[f+g]\,$$
[/mm]
wobei für $f,g [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] dann [mm] $f+g\,$ [/mm] definiert ist durch
$$(f+g)(x):=f(x)+g(x) [mm] \text{ für alle }x \in [a,b]\,.$$
[/mm]
Also nochmal:
[mm] $$\|[f]\|_{L^2[a,b]}=0$$
[/mm]
gilt genau dann, wenn [mm] $[f]=[\text{O}]$ [/mm] oder anders gesagt:
Für den Repräsentanten $f [mm] \in [/mm] [f]$ und den Repräsentanten [mm] $\text{O} \in [\text{O}]$ [/mm] muss gelten, dass [mm] $f(x)=\text{O}(x)$ [/mm] für fast alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ (das ist hier eine Kurzsprechweise für "bis auf eine Ausnahmemenge vom Maß [mm] $0\,$" [/mm] - nicht verwechseln mit "für alle bis auf endlich viele"!) gilt.
Oder anders gesagt (per Definitionem von [mm] $\text{O}$):
[/mm]
[mm] $[f]=[\text{O}]$ [/mm] gilt genau dann, wenn [mm] $f(x)=0\,$ [/mm] für fast alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ gilt.
Und wegen [mm] $1_{\IQ \cap [a,b]} \in [\text{O}]$ [/mm] bedeutet das auch:
[mm] $[f]=[\text{O}]$ [/mm] gilt genau dann, wenn [mm] $f(x)=1_{\IQ \cap [a,b]}(x)\,$ [/mm] für fast alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ gilt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Sa 25.02.2012 | | Autor: | sinalco |
Habe mir gerade von oben das ganze nochmal durchgelesen. Entweder verstehe ich etwas nicht ganz oder du hast irgendwas übersprungen, weil es deckt sich nicht ganz mit meiner anfänglichen Frage:
Es stand im Skript:
"Es liegt eine Vervollständigung des R[a,b] über Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen nahe ..."
Aber die Äquivalenzklassen die wir definiert haben sind einzelne Funktionen - also eine Menge von Funktionen für die die [mm] L^2 [/mm] Konvergenz gegen null gewährleistet ist.
Cauchy Folgen aus R[a,b] wären doch aber [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (f'_n)_{n\in\IN} [/mm] ... dann eine Äquivalenzrelation dafür wäre:
[mm] f_n \sim f'_n\:\gdw \parallel\\f_n\\-\\f'_n\parallel\to0 (n\to\infty)
[/mm]
Was ist dann aber der Raum [mm] L^2[a,b]? [/mm] Ist dann [mm] L^2[a,b] [/mm] := [mm] \{[f_n]\} [/mm] - also die Menge aller Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen die bzgl. der [mm] L^2 [/mm] Norm konvergieren - also für die dies [mm] \parallel\\f_n\\-\\f'_n\parallel\to0 (n\to\infty) [/mm] (wobei dies natürlich nur für ein [mm] f'_n\in[(f_n)] [/mm] gilt)
Das Ganze wundert mich nur, weil ich eigentliche dachte, dass ich jede Äquivalenzklasse noch mit einer Funktion identifizieren muss - da [mm] L^2[a,b] [/mm] doch aus Funktionen besteht und nicht aus Cauchy-Folgen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Habe mir gerade von oben das ganze nochmal durchgelesen.
> Entweder verstehe ich etwas nicht ganz oder du hast
> irgendwas übersprungen, weil es deckt sich nicht ganz mit
> meiner anfänglichen Frage:
>
> Es stand im Skript:
>
> "Es liegt eine Vervollständigung des R[a,b] über
> Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen nahe ..."
>
> Aber die Äquivalenzklassen die wir definiert haben sind
> einzelne Funktionen
? Ne, Du hast eine Menge von Funktionen, die Du alle in eine Klasse schmeißt!
> - also eine Menge von Funktionen für
> die die [mm]L^2[/mm] Konvergenz gegen null gewährleistet ist.
Seit wann bedeutet Cauchyfolge, dass man Nullkonvergenz hat??
> Cauchy Folgen aus R[a,b] wären doch aber [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm]
> und [mm](f'_n)_{n\in\IN}[/mm] ... dann eine Äquivalenzrelation
> dafür wäre:
>
> [mm]f_n \sim f'_n\:\gdw \parallel\\f_n\\-\\f'_n\parallel\to0 (n\to\infty)[/mm]
Da verstehe ich nicht, was Du nun meinst!
> Was ist dann aber der Raum [mm]L^2[a,b]?[/mm] Ist dann [mm]L^2[a,b][/mm] :=
> [mm]\{[f_n]\}[/mm]
Ne! Was sind nun die [mm] $f_n$? [/mm] Ich hatte das doch schonmal hingeschrieben:
[mm] $$L^2[a,b]=\{[f]: f \in \mathcal{L}^2[a,b]\}\,.$$
[/mm]
> - also die Menge aller Äquivalenzklassen von
> Cauchy-Folgen die bzgl. der [mm]L^2[/mm] Norm konvergieren - also
> für die dies [mm]\parallel\\f_n\\-\\f'_n\parallel\to0 (n\to\infty)[/mm]
> (wobei dies natürlich nur für ein [mm]f'_n\in[(f_n)][/mm] gilt)
>
> Das Ganze wundert mich nur, weil ich eigentliche dachte,
> dass ich jede Äquivalenzklasse noch mit einer Funktion
> identifizieren muss - da [mm]L^2[a,b][/mm] doch aus Funktionen
> besteht und nicht aus Cauchy-Folgen.
Ah okay, kapiert, bei Dir war oben [mm] $f_n'$ [/mm] gar nicht die Ableitung... Dir ist irgendwie immer noch nicht ganz klar, wann man was wie rechnet:
Ich kann es auch mal ganz extrem aufblasen:
Seien [mm] $F_n \in L^2[a,b]\,.$ [/mm] Dann gibt es [mm] $f_n \in \mathcal{L}^2[a,b]$ [/mm] mit [mm] $F_n=[f_n]\,,$ [/mm] wobei [mm] $[.]\,$ [/mm] halt wieder so verwendet wird, wie ich das nun schon mehrmals getan habe: Als Kurznotation für die Äquivalenzklasse.
Nun wollen wir wissen, was es denn heißt, dass [mm] $(F_n)_n$ [/mm] eine Cauchyfolge bzgl. der [mm] $L^2[a,b]$-Norm [/mm] ist:
Wegen [mm] $F_n=[f_n]$ [/mm] heißt das, dass wir wissen wollen, was es heißt, dass [mm] $([f_n])_n$ [/mm] eine Cauchyfolge ist?
Naja, rein formal heißt das erstmal, dass
[mm] $$([f_n])_n$$
[/mm]
Cauchyfolge bzgl. [mm] $L^2[a,b]$-Norm [/mm] genau dann ist, wenn es für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] so gibt, dass für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$ folgt
[mm] $$\|\;[f_n]-[f_m]\;\|_{L^2[a,b]}=\|\;[f_n-f_m]\;\|_{L^2[a,b]} [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Per Definitionem ist das aber nichts anderes als die Aussage, wenn [mm] $f_n \in F_n$ [/mm] (irgend-)ein Repräsentant von [mm] $F_n \in L^2[a,b]$ [/mm] ist:
[mm] $(F_n)_n \equiv (\;[f_n]\;)_n$ [/mm] ist genau dann Cauchyfolge bzgl. [mm] $\|.\|_{L^2[a,b]}\,,$ [/mm] wenn die Funktionenfolge der Repräsentanten [mm] $(f_n)_n$ [/mm] (die Folge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] ist eine "klassische" Funktionenfolge) eine Cauchyfolge bzgl. der [mm] $\mathcal{L}^2[a,b]$-[b]Halb-[/b]Norm [/mm] ist (wie gesagt: Die Wahl der Repräsentanten spielt dabei keine Rolle) - denn:
(Das hier folgende lies Dir bitte GENAU durch, denn hier steht der Bezug, was eine [mm] $L^2[a,b]$-Cauchyfolge [/mm] mit [mm] $\mathcal{L}^2[a,b]$-Cauchyfolgen [/mm] zu tun hat!):
Seien [mm] $\mathcal{L}^2[a,b] \ni f_n \in F_n \in L^2[a,b]\,.$ [/mm] (Das ist nur kurz alles verpackt, wie ich es sonst geschrieben habe: Seien [mm] $F_n \in L^2[a,b]\,,$ [/mm] dann gibt es [mm] $f_n \in F_n$ [/mm] mit [mm] $[f_n]=F_n$ [/mm] etc. pp...)
Dann gilt:
[mm] $(F_n)_n$ [/mm] ist Cauchyfolge bzgl. [mm] $\|.\|_{L^2[a,b]}$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $([f_n])_n$ [/mm] ist Cauchyfolge bzgl. [mm] $\|.\|_{L^2[a,b]}$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $\forall \epsilon [/mm] > 0$ [mm] \exists [/mm] $N [mm] \in \IN:$ $\forall [/mm] n,m [mm] \ge [/mm] N$ folgt [mm] $\|[f_n]-[f_m]\|_{L^2[a,b]}<\epsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw (\star)$
[/mm]
Nun beachte, dass [mm] $[f_n]-[f_m]:=[f_n-f_m]\,,$ [/mm] denn somit folgt
[mm] $(\star) \gdw$ $\forall \epsilon [/mm] > 0$ [mm] \exists [/mm] $N [mm] \in \IN:$ $\forall [/mm] n,m [mm] \ge [/mm] N$ folgt [mm] $\|f_n-f_m\|_{\mathcal{L}^2[a,b]}<\epsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $(f_n)_n$ [/mm] ist Cauchyfolge bzgl. [mm] $\|.\|_{\mathcal{L}^2[a,b]}\,.$
[/mm]
Das einzige, was Dir irgendwo immer noch unklar ist, obwohl ich es schon mehrfach erwähnt habe (das ist kein Vorwurf: ich will nur deutlich machen, dass das schon eine Wichtigkeit hat!):
Du musst Dir klarmachen, was das [mm] $-\,$ [/mm] (Minuszeichen!) für $F,G [mm] \in L^2[a,b]$ [/mm] bedeutet:
Denn:
Es wird ja sowas wie [mm] $\|\;F-G\;\|_{L^2[a,b]}$ [/mm] oben benutzt. Das ist also das gleiche wie [mm] $\|[f]-[g]\|_{L^2[a,b]}$ [/mm] für $f [mm] \in [/mm] F$ und $g [mm] \in G\,,$ [/mm] wobei $f,g$ beides [mm] $\mathcal{L}^2[a,b]$-Funktionen [/mm] sind.
Nun macht aber [mm] $\|[k]\|_{L^2[a,b]}$ [/mm] aber erstmal nur Sinn für $[k] [mm] \in L^2[a,b]\,.$ [/mm] Was ist denn oben $[f]-[g]=:[k]$ und warum ist dann $[k] [mm] \in L^2[a,b]$? [/mm] Naja, man weiß:
$[f]-[g]:=[f-g]$
Anders gesagt: $F-G=:K$ ergibt sich für $F,G [mm] \in L^2[a,b]$ [/mm] so:
Wähle einen Repräsentanten $f [mm] \in [/mm] F$ und $g [mm] \in G\,,$ [/mm] die "kleinen" sind beides [mm] $\mathcal{L}^2[a,b]$-Funktionen [/mm] (also "klassische" Funktionen).
Bilde die Funktion $k:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] mit $k(x):=f(x)-g(x)$ für alle $x [mm] \in [a,b]\,.$ [/mm] Dann ist $k [mm] \in \mathcal{L}^2[a,b]\,.$ [/mm] Daraus folgt $K:=[k] [mm] \in L^2[a,b]\,.$
[/mm]
(Auch hier siehst Du wieder die Wichtigkeit der Repräsentantenunabhängigkeit bei der Definition von [mm] $F-G\,.$!)
[/mm]
Also zusammenfassend: Das, was bei Euch im Skript steht, ist, kurzgesagt, nichts anderes als
[mm] $([f_n])_n$ [/mm] ist Cauchyfolge bzgl. [mm] $\|.\|_{L^2[a,b]}$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $(f_n)_n$ [/mm] Cauchyfolge bzgl. [mm] $\|.\|_{\mathcal{L}^2[a,b]}$ [/mm] ist.
P.S.:
Vorgehensweise (grob skizziert!):
Man stellt fest: [mm] $R[a,b]\,$ [/mm] ist bzgl. [mm] $\|.\|_{\mathcal{L}^2[a,b]}$ [/mm] (es ist $R[a,b] [mm] \subseteq \mathcal{L}^2[a,b]$) [/mm] nicht vollständig
-> man vervollständig ihn:
Der Raum [mm] $(\mathcal{L}^2[a,b],\|.\|_{\mathcal{L}^2[a,b]})$ [/mm] ist vollständig, aber leider nur halbnormiert
-> Man "arbeitet mit Äquivalenzklassen":
Der Raum [mm] $(L^2[a,b],\|.\|_{L^2[a,b]})$ [/mm] ist Banachsch!
Gruß,
Marcel
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