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| Aufgabe | Satz von Radón-Nykódym:
Sei [mm](\Omega,\mathcal F)[/mm] ein Messraum, [mm]\mu[/mm] ein [mm]\sigma[/mm]-endliches Maß und [mm]\nu[/mm] ein [mm]\sigma[/mm]-endliches signiertes Maß mit [mm]\nu \ << \ \mu[/mm].
Dann existiert ein [mm]\mu[/mm]-f.s. eind. messbares [mm]f[/mm] mit [mm]\nu(A) \ = \ \mu \ 1_Af[/mm] für alle [mm]A\in\mathcal F[/mm].
[mm]\mu \ 1_Af[/mm] bezeichnet [mm]\int\limits_A{f \ d\mu}[/mm]
[mm](f[/mm] heißt auch [mm]\mu[/mm]-Dichte von [mm]\nu[/mm]) |
Hallo zusammen,
meine Frage bezieht sich auf einen Teil des Eindeutigkeitsbeweises.
Man muss ja zeigen, dass - wenn es zwei [mm]\mu[/mm]-Dichten [mm]f,g[/mm] von [mm]\nu[/mm] gibt - diese auf dem Komplement einer Nullmenge übereinstimmen.
Im Skript wird das so gemacht:
Seien [mm]f,g[/mm] zwei [mm]\mu[/mm]-Dichten von [mm]\nu[/mm], sei [mm]E:=\{n\ge f\ge g\}, \ \ \mu(E) \ < \ \infty[/mm].
[mm]\mu \ 1_Ef \ = \ \mu \ 1_Eg[/mm], also [mm]\mu \ 1_E(f-g) \ = \ 0[/mm], also [mm]f=g \ \ \mu[/mm]-f.s.
Begr.: [mm]f\ge 0[/mm] f.s., [mm]\mu \ f \ = \ 0; \ \ \mu\left\{f\ge 1/n\right\} \ \le \ n\mu \ 1_{\left\{f\ge 1/n\right\}}f \ \le \ n\mu \ f \ = \ 0[/mm] ;
[mm]\{f>0\}=\bigcup\left\{f\ge 1/n\right\} \ \Rightarrow \ f=0 \ \ \mu[/mm]-f.s
Ich versteht zwar alle Rechenschritte und kann alle Umformungen nachvollziehen, aber wieso hat man die Menge [mm]E[/mm] so gewählt und wo genau spielt das mit ein?
Wie steht [mm]E[/mm] im Zusammenhang mit der Nullmenge, auf deren Komplement man die Gleichheit von [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] zeigen muss?
Die Menge [mm]\{f>0\}[/mm], hier also eigentlich gemeint [mm]\{f-g>0\}[/mm] ist also eine Nullmenge als Vereinigung von Nullmengen.
Aber irgendwie fehlt mir der rote Faden ...
Besten Dank vorab für jede Erklärung!
Gruß
schachuzipus
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Servus miteinander,
ich wollte nur die Frage mal nach oben schubsen ...
Bin immer noch brennend interessiert.
Vllt. sind ja gerade vermessene Maßtheoretiker hier unterwegs ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
letzter Versuch, eine Antwort zu ergattern ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Do 09.08.2012 | | Autor: | blascowitz |
Hallo,
also ich finde den Eindeutigkeitsbeweis recht dünn. Eigentlich gilt ja nur das was du aufgeschrieben hast: Aus [mm] $f\geq [/mm] 0 $ fast überall und
[mm] $\int\limits_{X}f(x) \; [/mm] dx=0$
folgt $f=0 $ fast überall. Allerdings funktioniert das mit der Menge $E$ nicht, da dir ja keiner sagt, dass das Komplement der Menge $E$ eine Nullmenge ist. Also ein sehr dünner "Beweis".
Hast du beispielsweise mal in das Maßtheorie-Buch von Elstrodt geschaut, dort ist der Beweis gut erläutert.
Viele Grüße
Blasco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 09.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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