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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 So 01.08.2004 | | Autor: | Jessica |
Habe dann noch ein Problem bei dieser aufgabe:
Es sei [mm]P_3 = \left\{ a+bx+cx^2+dx^3|a,b,c,d\in\IR \right\} \le \IR[x][/mm] der Vektorraum der Polynome p mit Grad (p) [mm]\le 3[/mm]. Es sei weiter [mm]\Phi:P_3 \times P_3 \rightarrow \IR[/mm] ein Skalarprodukt gegeben durch [mm]\Phi(f,g)=f(1)g(1)-f(0)g(0) für f,g\inP_3[/mm]. Eine Basis B von [mm]P_3[/mm] ist [mm](1,x,x^2,x^3)[/mm].
1. Man berechne [mm]M_B^B(\Phi)[/mm].
2. Man brechne [mm]Rad(\Phi)[/mm]
3. Man berechne Rang, Signatur und Index von [mm]\Phi[/mm]
1. und 3. Rang , signatur zu berechnen ist mir klar. Ich weiß nur nicht wie ich [mm]Rad(\Phi)[/mm] berechnen kann und dann wollte ich mal fragen was der Index von [mm]\Phi[/mm] ist. Habe das nirgends gefunden.
Bis denne
Jessica
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Hallo Jessica,
du hast einen vierdimensionalen Vektorraum mit einer darauf definierten symmetrischen Bilinearform. Diese ist nicht positiv definit, also kein Skalarprodukt! Wäre sie eins, bestünde ihr Radikal nur aus dem Nullpolynom.
Die Bilinearform ist [mm]\Phi(f,g)=f(1)g(1)-f(0)g(0)[/mm] für [mm]f,g\in P_3[/mm], und du hast die Basis [mm]B = (1,x,x^2,x^3)[/mm] gegeben.
> 2. Man berechne [mm]Rad(\Phi)[/mm]
Was das ist, weißt du? Ich kenne das Radikal einer Bilinearform als die Menge der Vektoren, die senkrecht auf dem gesamten Raum stehen, d.h.
[mm] $\operatorname{Rad} \Phi [/mm] := [mm] \{ x\in P_3 \mid \forall y \in P_3: \Phi(x,y)=0 \}$.
[/mm]
Um diesen Unterraum zu bestimmen, kannst du hier erst einmal die notwendige Bedingung benutzen, dass ein x aus dem Radikal zumindest auf den vier Basisvektoren senkrecht stehen muss. Daraus kannst du ein Gleichungssystem für die Koeffizienten von x gewinnen. Wenn du dessen Lösungen bestimmt hast, kannst du zeigen, dass die zugehörigen Polynome sogar auf dem ganzen Raum senkrecht stehen, indem du das Skalarprodukt mit einem beliebigen y berechnest.
> 3. Man berechne Rang, Signatur und Index von [mm]\Phi[/mm]
>
> 1. und 3. Rang , signatur zu berechnen ist mir klar. Ich
> weiß nur nicht wie ich [mm]Rad(\Phi)[/mm] berechnen kann und dann
> wollte ich mal fragen was der Index von [mm]\Phi[/mm] ist. Habe das
> nirgends gefunden.
Bis zum Index bin ich in meinem Buch noch nicht vorgedrungen, aber ich hab ein bisschen geblättert:
Der Bilinearraum [mm] $(P_3, \Phi)$ [/mm] enthält unter Umständen Unterräume $U [mm] \ne \{0\}$ [/mm] mit der Eigenschaft, dass für alle x aus U die Gleichung [mm] $\Phi(x,x)=0$ [/mm] gilt. Die heißen total isotrope Unterräume. (Für diese Räume kann man sogar [mm] $\Phi(x,y)=0$ [/mm] für alle x,y aus U zeigen.) Der Index [mm] $\operatorname{ind} (P_3, \Phi)$ [/mm] ist nun definiert als die maximale Dimension eines total isotropen Unterraums.
Wie man den konkret bestimmt, weiß ich noch nicht.
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 So 01.08.2004 | | Autor: | Jessica |
Danke auch hier für.
Werde das mal ausprobieren.
Jessica
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Mo 02.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Servus,
zu der Sache mit dem Radikal habe ich mir mal folgendes überlegt:
Seien $f(x) = a + b*x + [mm] c*x^2 [/mm] + [mm] d*x^3 \in P_3$, [/mm] $g(x) = a' + b'*x + [mm] c'*x^2 [/mm] + [mm] d'+x^3$, [/mm] dann gilt:
[mm] $\Phi(f,g) [/mm] = f(1)*g(1) - f(0)*g(0)$, also
$0 = a*(b' + c' + d') + (b + c + d)*(a' + b' + c' + d')$.
Man kann zeigen, dass wenn $a$ ungleich 0 ist, dieses System nicht unabhängig von den gestrichenen Einträgen gelöst werden kann, also gilt bereits $a = 0$, damit erhalten wir:
$0 = b + c + d$ und damit eine Lösungsschar, die Elemente des Radikals von [mm] $\Phi$ [/mm] sind enthalten in
$L = [mm] \{(0,0+\lambda,1-\lambda,-1), (0,-1,0+\lambda,1-\lambda), (0, 1-\lambda,-1,0+\lambda), (0,0,0,0) | \lambda \in \IR \}$
[/mm]
Kann man das so stehen lassen, oder sind da gravierende Fehler drin?
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Di 03.08.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo AT-Colt,
> zu der Sache mit dem Radikal habe ich mir mal folgendes
> überlegt:
>
> Seien [mm]f(x) = a + b*x + c*x^2 + d*x^3 \in P_3[/mm], [mm]g(x) = a' + b'*x + c'*x^2 + d'+x^3[/mm],
> dann gilt:
>
> [mm]\Phi(f,g) = f(1)*g(1) - f(0)*g(0)[/mm], also
> [mm]0 = a*(b' + c' + d') + (b + c + d)*(a' + b' + c' + d')[/mm].
>
>
> Man kann zeigen, dass wenn [mm]a[/mm] ungleich 0 ist, dieses System
> nicht unabhängig von den gestrichenen Einträgen gelöst
> werden kann, also gilt bereits [mm]a = 0[/mm], damit erhalten wir:
>
> [mm]0 = b + c + d[/mm]
Bis hierhin ist es richtig. Jedes Element f des Radikals muss also die Bedingungen
$a = 0, b + c + d = 0$ erfüllen. Man sieht auch sofort, dass sie hinreichend sind, dass also ein Polynom mit dieser Bedingung im Radikal liegt.
> und damit eine Lösungsschar, die Elemente des
> Radikals von [mm]\Phi[/mm] sind enthalten in
> [mm]L = \{(0,0+\lambda,1-\lambda,-1), (0,-1,0+\lambda,1-\lambda), (0, 1-\lambda,-1,0+\lambda), (0,0,0,0) | \lambda \in \IR \}[/mm]
Das ist leider falsch. Zum Beispiel ist auch (0, -2, 1, 1) eine Lösung.
Der Radikal ist folgender Unterraum von [mm] P_3 [/mm] :
[mm] $\operatorname{Rad}\Phi$ [/mm] = [mm] $\{ bx + cx^2 + dx^3 \mid b,c,d\in\IR, b+c+d=0 \}$
[/mm]
Da kann man noch die Nebenbedingung eliminieren:
[mm] $\operatorname{Rad}\Phi$ [/mm] = [mm] $\{ (-c-d)x + cx^2 + dx^3 \mid c,d\in\IR \}$
[/mm]
oder eine Erzeugerdarstellung wählen:
[mm] $\operatorname{Rad}\Phi$ [/mm] = [mm] $(x^2 [/mm] - [mm] x)\IR [/mm] + [mm] (x^3 [/mm] - [mm] x)\IR$ [/mm] = [mm] $\langle \{x^2-x, x^3-x\} \rangle$
[/mm]
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Di 03.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
> Hallo AT-Colt,
Sers SirJective,
> > und damit eine Lösungsschar, die Elemente des
> > Radikals von [mm]\Phi[/mm] sind enthalten in
> > [mm]L = \{(0,0+\lambda,1-\lambda,-1), (0,-1,0+\lambda,1-\lambda), (0, 1-\lambda,-1,0+\lambda), (0,0,0,0) | \lambda \in \IR \}[/mm]
>
>
> Das ist leider falsch. Zum Beispiel ist auch (0, -2, 1, 1)
> eine Lösung.
Naja, da habe ich das beim Aufschreiben etwas salop gemacht, natürlich sind es die Werte, die ich angegeben habe und alle Vielfachen, es ergibt sich nämlich für [mm] $\lambda [/mm] = 2$:
[mm] $(0,0+\lambda,1-\lambda,-1) [/mm] = (0,2,-1,-1) = -(0,-2,1,1)$...
> Der Radikal ist folgender Unterraum von [mm]P_3[/mm] :
> [mm]\operatorname{Rad}\Phi[/mm] = [mm]\{ bx + cx^2 + dx^3 \mid b,c,d\in\IR, b+c+d=0 \}[/mm]
>
> Da kann man noch die Nebenbedingung eliminieren:
> [mm]\operatorname{Rad}\Phi[/mm] = [mm]\{ (-c-d)x + cx^2 + dx^3 \mid c,d\in\IR \}[/mm]
>
> oder eine Erzeugerdarstellung wählen:
> [mm]\operatorname{Rad}\Phi[/mm] = [mm](x^2 - x)\IR + (x^3 - x)\IR[/mm] =
> [mm]\langle \{x^2-x, x^3-x\} \rangle[/mm]
Das ist wesentlich eleganter und übersichtlicher und ziemlich genau das, was ich gesucht habe ^^
Ich danke Dir!
> Gruss,
> SirJective
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Mi 04.08.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo AT-Colt,
> > > und damit eine Lösungsschar, die Elemente des
> > > Radikals von [mm]\Phi[/mm] sind enthalten in
> > > [mm]L = \{(0,0+\lambda,1-\lambda,-1), (0,-1,0+\lambda,1-\lambda), (0, 1-\lambda,-1,0+\lambda), (0,0,0,0) | \lambda \in \IR \}[/mm]
> > [...]
>
> Naja, da habe ich das beim Aufschreiben etwas salop
> gemacht, natürlich sind es die Werte, die ich angegeben
> habe und alle Vielfachen, es ergibt sich nämlich für
> [mm]\lambda = 2[/mm]:
> [mm](0,0+\lambda,1-\lambda,-1) = (0,2,-1,-1) = -(0,-2,1,1)[/mm]...
OK, wenn du noch Vielfache nimmst, dann erhältst du den richtigen Raum.
Eine Anmerkung noch: Die drei angegebenen Vektor-Scharen sind bereits Vielfache voneinander, so dass du nur eine der drei Scharen mit ihren Vielfachen brauchst.
> > Der Radikal ist folgender Unterraum von [mm]P_3[/mm] :
> > [...]
> > [mm]\operatorname{Rad}\Phi[/mm] = [mm](x^2 - x)\IR + (x^3 - x)\IR[/mm] =
> > [mm]\langle \{x^2-x, x^3-x\} \rangle[/mm]
>
> Das ist wesentlich eleganter und übersichtlicher und
> ziemlich genau das, was ich gesucht habe ^^
> Ich danke Dir!
So lernte ich es in Lineare Algebra 
Gern geschehen.
Gruss,
SirJective
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