Radioaktiver Zerfall < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Do 23.11.2006 | | Autor: | MasterMG |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hi, ich habe bei einer Aufgabe Probleme einen Ansatz zu finden. Vielleicht ist jemand so freundlich und hilft mir auf die Sprünge.
Aufgabe:
Sei N(t) die Zahl der zur Zeit t vorhandenen radioaktiven Atomkerne. Die pro Zeiteinheit zerfallenden Atomkerne dN(t)/dt sind proportional zu N(t).
Wie formuliere ich nun diese Aussage als homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung für N(t) mit konstanten Koeffizienten?
Was muss ich dabei beachten, bzw. wie soll ich vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Do 23.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Antwort steht da doch eigentlich schon: N'(t)=k*N(t) wobei k negativ ist, also kannst du vielleicht besser schreiben N'(t)=-k*N(t)
Wars wirklich das, was du wissen wolltest?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Do 23.11.2006 | | Autor: | MasterMG |
Das ist schon mal der erste Schritt zu dem, was ich wissen wollte, danke sehr. k ist hier wohl der konstante Koeffetient? Der nächste Schritt wäre es zu zeigen, dass ein Exponentialeinsatz für die Fundamentallösung zur allgemeinen Lösung für N(t) mit einer multiplikativen unbestimmten Konstanten führt. Wie bzw. auf welche Weise kann man das zeigen? Ist k diese multiplikativ unbestimmte Konstante? MFG
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Als Ansatz setzt du einfach mal [mm] $N(t)=Ae^{Bt}$ [/mm] ein.
Daß A die Anfangsmenge ist, erkennst du an [mm] $N(0)=Ae^{B*0}=A$
[/mm]
Nun mußt du nur noch B ausrechnen, und da steckt das k drin!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Do 23.11.2006 | | Autor: | MasterMG |
Ok, danke schon mal dafür, und das B rechne ich aus, indem ich [mm] N(t)=Ae^{B*t} [/mm] nach B umstelle?
$ N'(t)=-k*N(t) [mm] \gdw [/mm] $
[mm] N(t)=-k*Ae^{B*t} \gdw
[/mm]
[mm] (N'(t))/(-k*A)=e^{B*t} \gdw
[/mm]
$ ln((N'(t))/(-k*A))=B*t [mm] \gdw [/mm] $
$ (ln((N'(t))/(-k*A)))/t=B $
oder muss ich da anderes vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Do 23.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Master
Du bist auf dem Holzweg!
Der Ansatz ist doch [mm] N(t)=A*e^{Bt}
[/mm]
daras folgt dann:
[mm] N'(t)=A*B*e^{Bt}
[/mm]
Das setzt du in die Diffgl. ein und versuchst B so zu bestimmen, dass die Gleichung stimmt!
also eingesetzt:
[mm] A*B*e^{Bt}=-k*A*e^{Bt}
[/mm]
diese Gleichung muss jetzt für ALLE t stimmen. Was ist muss dann B sein?
Wenn du B hast, kannst du jetzt ausrechnen welche Anfangsmenge du hast?
Den Ansatz mit [mm] A*e^{Bt} [/mm] macht man, weil die efkt die einzige ist, die bei der Ableitung bis auf einen Faktor wieder dieselbe fkt ergibt.
Die Dgl sagt ja: gesucht eine funktion, deren Ableitung = der Funktion mal dem Faktor -k ist!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Do 23.11.2006 | | Autor: | MasterMG |
Hi, Leduart, erstmal vielen dank für deine Mühe. Die Aufgabe ist mir jetzt deutlich verständlicher als vorher, aber leider dennoch nicht ganz klar. Dass das A die Anfangsmenge der radioktiven Kerne ist, ist mir einleuchtend, aber für was steht dieses B nun überhaupt? Oder spielt es keine Rolle, weil ich nur dadurch die Konstante errechnen möchte? Und wie kann ich dann noch die Konstante für die Anfangsbedingung [mm] N(t_{0})=N_{0} [/mm] bestimmen?
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Do 23.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die konstante k bestimmt wie schnell das Zeug zerfällt! in der Zeit t=1/k zerfällt immer 1/e des Vorrats, der noch da ist. oder in der Zeit ln2/k zerfällt immer grad die Hälfte, von dem was am Anfang der Zeit da war. deshalb heisst ln2/k auch Halbwertszeit, 1/k kannst du auch E-telwertzeit nennen.
Was soll denn [mm] t_0 [/mm] sein? meistens doch 0 also kennst du doch [mm] N(t_0) [/mm] sonst musst du halt [mm] t_0 [/mm] einsetzen und hast wie für jede Andere Zeit [mm] N(t_0)=A*e^{-k*t_0} [/mm] entweder kennt man k und A oder k und [mm] t_0 [/mm] und [mm] N(t_0) [/mm] dann kann man A ausrechnen usw.
Gruss leduart.
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