Radius eines Halbkreises < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Eine 400-m-Laufbahn in einem Stadion besteht aus zwei parallelen Strecken und zwei angesetzten Halbkreisen. Für welchen Radius x der Halbkreise wird die rechteckige spielfläche maximal? |
hallo, ich weiß jetzt nicht, was ich mir als zielfunktion suchen soll, ist es das rechteck oder der halbkreis?
wäre für jede hilfe dankbar
lg transparent
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Do 14.09.2006 | | Autor: | SLe |
Die gesuchte Funktion ist die Funktion die den Flächeninhalt des Rechtecks beschreibt. Die Länge der Laufbahn setzt sich zusammen aus dem Umfang zweier Halbkreise des Radius x und zweier Strecken der Länge s.
Also: 400 = 2 pi x + 2 s
daraus folgt: s = (400 - 2 pi x) / 2
Die Fläche des Rechtecks ist: A = 2 x s = x (400 - 2 pi x)
Davon das x für das Maximum berechnen.
x ist dann ca. 31,8, wenn ich mich nicht verrechnet hab.
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danke für die schnelle hilfe. ich kann deinen rechenweg leider nicht nachvollziehen. brauche ich nicht auch noch nebenbedingungen? oder habe ich nur 2 hauptbedingungen? fragen über fragen ;)
lg transparent
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Do 14.09.2006 | | Autor: | SLe |
Du hast ja mit der Gleichung für die Länge der Gesamtstrecke und der Gleichung für den Flächeninhalt 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, nämlich x und s. Die eine Gleichung hab ich nach s aufgelöst und in die zweite Gleichung eingesetzt. Diese Gleichung für den Flächeninhalt, in der dann nur noch x vorkommt mußt du dann nach x differenzieren und die daraus entstandene Gleichung gleich null setzen und nach x auflösen um den Extremwert zu erhalten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo transparent!
Deine Nebenbedingung ist ja: $400 \ = \ [mm] 2\pi*x+2s$
[/mm]
Die Hauptbedingung (das, was extremiert werden soll: die Rechteckfläche) ist dann entsprechend die Flächenfunktion:
$A \ = \ 2*x*s$
Gruß
Loddar
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Danke nochmals für die Hilfe bisher. Nun habe ich aber ein einfaches rechnerisches Problem, da ich nicht weiß, wie ich die entstandene Klammer auflösen soll, die sich ergibt, wenn ich die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetze; ein blödes Problem, ich weiß.
Wie löse ich also:
A= a* (400*2*pi*x/2) ?
Ich sehr dankbar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 So 17.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo transparent,
> Danke nochmals für die Hilfe bisher. Nun habe ich aber ein
> einfaches rechnerisches Problem, da ich nicht weiß, wie ich
> die entstandene Klammer auflösen soll, die sich ergibt,
> wenn ich die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetze;
> ein blödes Problem, ich weiß.
>
> Wie löse ich also:
>
> A= a* (400*2*pi*x/2) ?
Wie kommst du an diese Gleichung? SLe hat dir folgende Zielfunktion hergeleitet:
$ A(x) = x (400 - 2 [mm] \pi [/mm] x) $
$ = 400x - 2 [mm] \pi x^2 [/mm] $
Mit dieser Funktion kannst du jetzt weiterrechnen.
Gruß
Sigrid
> Ich sehr dankbar
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